第三章 圆（单元自测卷·南京专用）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册“圆”，以文化传承（如古建筑正六边形、《九章算术》弧田）与现实应用（大观河拱桥、蚂蚁绕圆锥）为情境，覆盖核心知识，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|点与圆位置关系、垂径定理等|第7题结合古建筑求阴影面积，体现文化传承| |填空题|10/20|命题判断、外接圆半径等|第13题引用《九章算术》弧田公式，培养应用意识| |解答题|9/64|切线证明、拱桥计算等|第27题材料阅读迁移拓展，发展创新意识与推理能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（南京专用） 第三章圆（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.①②③ 10.5 11.120/120度 12.36 13.5 14.B=2a-90° 15.8V2 16.68.56 17.①②④⑤ 18.2 三、解答题（共9小题，共64分） 19.(5分) 【详解】(1)解：连接OB, D OA⊥BC,且OA为⊙O的半径， .BE=EC,AB=AC.l分 ,∠A0C=58, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B0A=∠AOC=58, ∠ADB=号∠BOA=29°.3分 3 (2)解：OB=OA=5,OE=3, BE=V0B2-0E-52-32=4' BC=2BE=8.5分 20.(5分) 【详解】(1)解：，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， :根据圆周角定理可知，∠ABD=号×2×360°=72，∠BAC=号× ×360°=36°， 25 25 .∠APB=180°-72°-360=72°.2分 (2)证明：由(1)可知，∠ABP=∠APB, .AB=AP. :根据圆周角定理可知，∠PBC=∠PCB=××360°=36 ∴.BP=CP, .∴.AC=AP+CP=AB+BP.5分 21.(6分) 【详解】(1)解：连接OA, A 由题意得：AD=号AB=30米，OD=(r-18)米， 在Rt△AD0中，有，2=302+r-182分 解得r=34米；3分 (2)解：连接OA, .OE=OP-PE=30米， 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六在Rt△AE0中，AE=AO2-0E-16（米)，4分 .AB=32米。 .AB=32>30, .不需要采取紧急措施。6分 22.(6分) 【详解】(1)证明：，：BD是⊙O的直径， .∠BAD=90, .∴.∠ABO+∠ADB=90°，1分 .·DA平分∠BDE, .∴.∠ADB=∠ADE, AE⊥CD, .∠AED=90°， .∴.∠EAD+∠ADE=90°， .∴.∠ABO=∠EAD: 3分 (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∴.∠ABO=∠BAO, .·∠ABO=∠EAD, ∴.∠BAO=∠EAD, .'∠BAD=90°， .∠BAO+∠OAD=90°，5分 ∴.∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°， .AE⊥CD,OH⊥CD ∴.四边形AOHE是矩形， .EH=OA=5..6分 23.(8分) 【详解】（①）过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， .AO⊥BC,且AO平分∠BAC.1分 ,AB与⊙O相切于D, .OD⊥AB .OH⊥AC, ∴.OH=OD .OD是⊙O的半径， ∴OH也等于⊙O的半径， .AC是⊙O的切线.3分 (20△EGF是等腰直角三角形，证明如下： .EF是⊙O的直径 .∠EDF=90 .DG平分∠EDF, ∴.∠EDG=∠FDG=45°. ..EG=FG, ..EG=FG. .∴△EGF是等腰直角三角形.5分 ②连接OG, D B 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .在Rt△EDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, EF=VDE2+DF=V62+8=10' ∴.⊙O的半径r=OE=OF=OG=5. .DG平分∠EDF, ∠FDG=号∠EDF=45o, ∴.∠GOF=2∠FDG=90°. 360。×nr2=1 90° ∴.扇形OGF的面积：S扇形OGF ×nx52=25 4 、.7分 △0GF的面积：SG号×0G×0F=×5x5=25 2 S%-25n25 42、8分 24.(6分) 【详解】(1)解：，AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线， .PA=PB,∠CAP=90°， .∠P=40°， ∠PAB=∠PBA=18040=700, 2 .∠BAC=90°-70°=20°， 又：AC为直径， .∠CBA=90°， ∠ACB=90°-20°=70°.3分 (2)解：由(1)可知∠ABC=90°，∠BAC=20°，∠C=70°， .AB=AB, ∴.∠E=∠C=70, .AB=AD ∠ADB=180,20°-=80， .∠EAC=∠ADB-∠E=80°-70°=10， 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAB=∠BAC+∠EAC=20°+10°=30°， 作BF⊥AE于E,在R△ABF中，BF=号AB=×4=2, 2 2 B ∴△ABE的面积SAe=33×2×号=33.6分 25.(7分) 【详解】（①）解：如图①，点O即为所求； 图① 2分 (2)解：如图②，点D1(或D2、D3、D4、D5、D6、D)即为所求（写一个即可）； D6◆ D: D D 图② 4分 (3)解：如图③，设过点A的网格线分别交圆于点M,N,过点B的网格线分别交圆于点P,Q,连接PQ, MN,相交于点O, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 图③ .7分 由网格可得：∠MAN=90°，∠PBQ=90°， ∴MN和PQ均为圆的直径， .点O为该圆的圆心 26.(12分) 【详解】（①）证明：连接BD、BC, .AC=AD ∴.∠ADC=∠ACD ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90°， .∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD, .∠BDC=∠BCD, ..BC=BD. .∠BAC=∠BAD, .AB平分∠CAD;3分 图1 (2)证明：连接AF, .FC=FC. ∴.∠FAC=∠FDC, .BD=BD, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BFD=∠BAD, .∠ADF=2∠BFD, .∠ADF=2∠BAD, .AB平分∠CAD, .∠CAD=2∠BAD, ∴.∠CAD=∠ADF, 又，∠FAC=∠FDC, ∴.∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC, ∴FD=AC, .'.DF=CA, CA=DA, .DF=DA;6分 D 图2 (3)解：连接AF、OD, 由(1)知，AB平分∠CAD, ∴.∠EAD=∠EAC, .AC=AD,AE=AE, .△ACE≌△ADE|SAS, ∴.∠AED=∠AEC, :∠AED+∠AEC=180°， .∠AED=∠AEC=90, 即AB⊥CD,7分 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE+DE2=OD2, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DAC≌△ADF|SAS, ∴.CD=FA, .BF BE=CD, ..BF +BE=FA, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠AFB=90, 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF=AB, AF=CD. .CD2+BF2=AB2,8分 又：AB为⊙O的直径，AB⊥CD, AB=20B=20D.DE-CE-CD. 六2DE+BF2=2OB 整理得，4DE2+BF2=4OB2, 即4DE2+BF2=4OD 又.0E2+DE2=0D2, 4DE2+BF2=4|0E2+DE2 整理得，4DE2+BF2=40E+4DE2, BF2=40E2,10分 .OE=3, BF=6, 设BE=X,则OD=OB=OE+BE=3+X,CD=BF+BE=6+X, D那-CD-6+x-3+x 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE+DE=OD, 2112 33*2-3+ 整理得：x+4x-12=0, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：X1=2,X2=-6(舍)， BE=2, DE=3+1x=4, 2 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE+DE=BD, .BD=2+42=20, BD=25.…12分 图3 27.(9分) 【详解】(1)解：如图，作以AB为直径的⊙O, B .·∠ABC=90, ∴.∠ABP+∠PBC=90 .'∠PAB=∠PBC, .∴.∠BAP+∠ABP=90°. ∴.∠APB=90°， ∴.点P在以AB为直径的⊙O上 .连接OC交⊙O于点P,此时CP最小. .点O是AB的中点，AB=10, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=0B=1AB=5, 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=6,OB=5, ..OC=BC2+OB2=V61 .CP=OC-OP=61-5 .CP的最小值为61-5；3分 (2)解：如图，作以AD为直径的圆，连接AC,BD交于点O, B .正方形ABCD, .AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, ∴.△ADE≌△DCF SAS, ∴.∠DAE=∠CDF, ∴.∠DAE+∠ADP=∠ADP+∠CDF=∠ADE=90°， .∠APD=90 .点P在运动中保持∠APD=90°， .∴.点P的运动路径是以AD为直径的圆的弧DPO, 、.点的运动降8长为06=36分 (3)解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA, OB,OC, .AD是BC边上的高， ∴.∠OED=∠OFD=∠FDE=90, ∴.四边形OEDF是矩形， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OF=DE,OE=DF, B E D .·∠BAC=45°， .∠B0C=90. 在Rt△BOC中，BC=BD+DC=3+1=4, .∴.B0=C0=2V2 .‘OE⊥BC,O为圆心， ·BE3BC=2, ∴.DE=OF=BD-BE=1. 在Rt△BOE中，BO=22,BE=2, .∴.OE=DF=2 在Rt△AOF中，AO=2V2,OF=DE=1, ∴.AF=V7, .AD=AF+DF=R7+2.9分 12/12 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 圆 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 10．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 11．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 12．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 13．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 14．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 15．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 16．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 17．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 18．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 20．（5分）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 21．（6分）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 22．（6分）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 23．（8分）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 24．（6分）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 25．（7分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图，已知经过点，画出所在圆的圆心； (2)在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）； (3)在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心． 26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 27．（9分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 圆 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 4．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 5．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 6．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 8．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】证明，得到，进而得到，进而画出的图象，分和两种情况，利用图象法，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出的图象如图， ∵当与点重合时，，当点与点重合时，， ∴是过和的曲线， 由图象可知，当时，，当时，， 即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 10．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 【答案】5 【分析】已知直角三角形两条直角边长，直角三角形外接圆的直径等于斜边长，先由勾股定理求出斜边长，再计算半径即可． 【详解】解：设两条直角边分别为，，斜边为． 由勾股定理得：． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆直径为， ∴外接圆半径为． 11．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 12．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 13．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 14．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【答案】 【分析】沿过点A的母线将圆锥侧面展开，根据底面半径求出侧面展开的扇形的圆心角，再由两点之间线段最短确定最短路线，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长， 底面半径是2， 底面圆的周长为， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为， 圆锥的母线长是8， 圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则， 解得， 即扇形的圆心角为． ， 在中，由勾股定理得， 即最短的路线长是． 16．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 17．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 18．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 20．（5分）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）略 21．（6分）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 22．（6分）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明： 是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 23．（8分）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 24．（6分）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 25．（7分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图，已知经过点，画出所在圆的圆心； (2)在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）； (3)在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心． 【答案】(1)解：如图，点即为所求； (2)解：如图，点（或）即为所求（写一个即可）； (3)解：如图，设过点的网格线分别交圆于点，，过点的网格线分别交圆于点，，连接，，相交于点， 由网格可得：，， ∴和均为圆的直径， ∴点为该圆的圆心． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （）根据轴对称的性质找出格点或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （）设过点的网格线分别交圆于点，，过点的网格线分别交圆于点，，连接，，相交于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图， 由网格可得：，， ∴和均为圆的直径， ∴点为该圆的圆心． 26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 27．（9分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 圆 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 10．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为________． 11．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 12．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 13．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 14．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 15．如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 16．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 17．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 18．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 20．（5分）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 21．（6分）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 22．（6分）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 23．（8分）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 24．（6分）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 25．（7分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图，已知经过点，画出所在圆的圆心； (2)在图中找一格点，使（找出一个符合条件的格点即可）； (3)在图中，正方形网格中的圆经过格点，画出该圆的圆心． 26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 27．（9分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $