第3章 圆概念清单速记表（知识清单）新教材苏科版九年级上册

该初中数学“圆”章节知识清单系统梳理了圆的核心内容，涵盖圆的相关概念、确定条件、对称性、圆周角、位置关系、正多边形与扇形等知识范畴，搭建了从基础概念到定理应用再到公式计算的递进式学习支架。 清单采用“章节-概念-定义-相关概念”四维结构呈现知识体系，如将垂径定理与圆心角、弧、弦关系关联对比，标注“同圆或等圆”关键前提（重难点），培养学生的几何直观与推理意识。特别设计“相关概念”栏目辅助关联记忆，如圆周角定理对应“同弧、圆心角的一半”等，不同基础学生可高效掌握，教师可据此精准设计教学，提升课堂实效。

第3章 圆清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 3.1 圆的相关概念 圆 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。其中，定点叫作圆心，定长叫作半径。以点为圆心的圆记作“⊙”，读作“圆”。 圆心、半径、定长、点集 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径。 弦、直径、圆心、半径 弧（圆弧）、半圆、优弧与劣弧 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 弧、半圆、优弧、劣弧、弧的表示 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角。 圆心角、顶点在圆心、所对的弧 同心圆与等圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆；半径相等的两个圆叫作等圆。 同心圆、等圆、圆心、半径 同圆或等圆的半径相等 根据圆的定义，同圆或等圆的半径相等。 半径、同圆、等圆 3.2 确定圆的条件 确定圆的条件 经过一个已知点可以画无数个圆；经过两个已知点也可以画无数个圆（圆心在线段的中垂线上）；经过在同一条直线上的三个点不能画圆。结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 三点确定一个圆、垂直平分线、圆心 三角形的外接圆与外心 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形。外心是三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆、外心、内接三角形、垂直平分线 多边形的外接圆与圆的内接多边形 一般地，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆，这个多边形叫作圆的内接多边形。 外接圆、内接多边形、顶点在圆上 3.3 圆的对称性 圆是中心对称图形 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。特别地，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称。 中心对称、对称中心、圆心 等弧 在同圆或等圆中，可以把重合的弧叫作等弧。 等弧、重合、同圆或等圆 圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆心角、弧、弦、等量关系 弧的度数 我们把的圆心角所对的弧叫作的弧。的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。圆心角的度数与圆的半径大小无关，圆弧的度数也与圆的半径大小无关。 弧的度数、圆心角度数、半径无关 圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 轴对称、对称轴、直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 垂径定理、直径、弦、平分弧 3.4 圆周角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。 圆周角、顶点在圆上、两边与圆相交 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 圆周角定理、同弧、圆心角的一半 圆周角定理的推论 直径所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 直径、直角、圆周角为90° 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补。 内接四边形、对角互补、 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系 如果的半径为，点到圆心的距离为，那么点在圆内；点在圆上；点在圆外。圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，圆的内部、外部分别是到圆心距离小于、大于半径的点的集合。 圆内、圆上、圆外、与比较 直线与圆的位置关系 当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。 相交、相切、相离、切线、切点 直线与圆位置关系的判定 如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与相交；直线与相切；直线与相离。 与比较、圆心到直线的距离 圆的切线判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线判定、半径的外端、垂直 圆的切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线性质、垂直、切点、半径 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 切线长、切点、圆外一点 切线长定理 过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。 切线长定理、两条切线、切线长相等 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形。 内切圆、内心、角平分线、外切三角形 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为、（），圆心距为，则两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含。 外离、外切、相交、内切、内含、圆心距 3.6 正多边形与圆 正多边形的中心与半径 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径。可以通过确定一个正多边形的外接圆来确定正多边形的中心和半径。 外接圆、中心、半径、正多边形 3.7 扇形 扇形 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形。 扇形、弧、两条半径 弧长公式 在半径为的圆中，弧长与它所对的圆心角度数之间有如下关系：。 弧长、圆心角、半径、 扇形面积公式 的圆心角所在的扇形面积是圆面积的，即 ；由扇形面积公式与弧长公式可得 。 扇形面积、弧长、半径、圆心角 圆锥的母线 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫作圆锥的母线。 圆锥、底面、侧面、母线 圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。若圆锥的母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积 。 圆锥侧面积、侧面展开图、扇形、母线 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $