第四章 整式的加减（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第四章整式的加减单元复习强化卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，全面考查整式概念、运算及应用，适配单元复习检测与培优训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|单项式系数次数（2、8题）、合并同类项（3题）|立足基础，考查抽象能力与符号意识| |填空题|6/12|多项式次数项数（13题）、规律探究（15题）|梯度提升，体现推理意识与模型意识| |解答题|8/72|整式运算（19题）、作差法比较大小（23题）、实际应用（17题）|综合创新，发展运算能力与应用意识|

第四章 整式的加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是，常数项是 3．如果关于的多项式合并后不含项和项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 6．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 9．若关于x的多项式减去多项式其结果为常数项，则的运算结果是（   ） A．40 B．13 C．3 D．－13 10．下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．式子是七次三项式 D． 11．小宇设计了一套简易运算程序，对四边形的4个顶点和4条边赋值，使得每条边两个顶点上的数字之和等于这条边的数值．如图，已知三条边的值，那么第四条边的值“？”为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 12．已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 14．已知，则_____． 15．有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式：______． （2）请写出第个单项式（为正整数）：______． 16．若，则_________ 17．某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 18．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 20．（8分）已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 21．（8分）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 22．（8分）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 23．（10分）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 24．（10分）以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 25．（10分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 26．（10分）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】∵ ∴ ． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是，常数项是 【答案】A 【详解】解：选项A中，单项式的系数为，故A正确，符合题意； 选项B中，单项式系数为，不是，故B错误，不符合题意； 选项C中，是分式，不属于整式，又因为单项式属于整式，故C错误，不符合题意； 选项D中，多项式的最高项次数是，常数项是，不是，故D错误，不符合题意． 3．如果关于的多项式合并后不含项和项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 项的系数为，项的系数为， 由题意可知，且， 解得，，， ． 故选：C． 4．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 5．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 6．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 7．按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个代数式为，分子等于序号1，分母等于序号1加1，a的指数等于序号1； 第2个代数式为，分子等于序号2，分母等于序号2加1，a的指数等于序号2； 第3个代数式为，分子等于序号3，分母等于序号3加1，a的指数等于序号3； ．．． ∴第个代数式中，分子为，分母为，的指数为，即第个代数式为． 8．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 【答案】C 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是4，原说法错误，不符合题意； C、1是单项式，原说法正确，符合题意； D、是三次多项式，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 9．若关于x的多项式减去多项式其结果为常数项，则的运算结果是（   ） A．40 B．13 C．3 D．－13 【答案】B 【详解】解： ， 又∵运算结果为常数项， ∴二次项系数，一次项系数， 解得，， ∴， 故选：B． 10．下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．式子是七次三项式 D． 【答案】B 【详解】解：选项A，∵当时，，题目结论为，∴A错误； 选项B，∵有理数乘法中，异号两数相乘得负，已知，，∴与异号，可得，∴B正确； 选项C，∵多项式的最高次项是，次数为，∴该式是四次三项式，C错误； 选项D，∵与不是同类项，不能合并，∴D错误． 11．小宇设计了一套简易运算程序，对四边形的4个顶点和4条边赋值，使得每条边两个顶点上的数字之和等于这条边的数值．如图，已知三条边的值，那么第四条边的值“？”为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【详解】解：令左侧顶点的数为，则上顶点的数为，下顶点的数为，右侧顶点的数为， ∴， ∴第四条边的值为． 12．已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故选A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【答案】 / 三 三 【详解】单项式的系数为. ， 该多项式中次数最高项为，次数为3，共有3个单项式，因此该多项式是三次三项式. 14．已知，则_____． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴ ． 15．有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式：______． （2）请写出第个单项式（为正整数）：______． 【答案】 【详解】解：（1）根据单项式可知它们的系数的分母是从3开始的连续奇数，系数的分子是从2开始的连续偶数，的指数是系数的分子、分母的和， 故第10个单项式为， 故答案为：． （2）由（1）可得第个单项式为． 故答案为：． 16．若，则_________ 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 17．某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 【答案】A 【详解】解：由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴由①④可知：， ∴， 由②知：，由⑤知：，由③⑤得,即， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是A． 18．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 20．（8分）已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与是同类项， ∴，解得， ∴原式． 21．（8分）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 22．（8分）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 【详解】略 23．（10分）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 24．（10分）以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 25．（10分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 26．（10分）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章整式的加减（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 5 6 > 8 10 11 12 A A C D B D A C B B A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） π。1 13.3/3π 三 三 14.16 2n 15. 2n+1 16.-2025 17.A 1 18. 3 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(8分)【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①m=2 -3x2y+xy+y+2x ；② 【详解】(1)解：由题意知”=1 -3x2y4+2x+y “，此时原多项式变为 所以此时多项式的次数为6； (2)解：O”=2时，原多项式变为 m+2y4-3x2ys+2x+y 因为该多项式是关于x,y的八次四项式， 所以m+2+4=8, 解得m=2: y-3xy3+2x+y ②由题意得，原多项式为 则按'的降幂重新排列为： -3x2y3+x4y4+y+2x 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分)【答案】02xy+g」 (2)10 【详解】山)解.M-2N-(4y-3）23x-2gr) =4x2y-3xy2-6x2y+4xy2 =-2x2y+xy2 (2)解：：单项式-2a+2b与5ab2-4是同类项， .1+2x=5,2-4y=6,解得x=2,y=-1, =-2×2×(-1)+2×(-1)2=10 原式 21.(8分)【答案】(1)-1 (2)1 (3)-243 【详解】(4)解：当x=0时，(2x-=(2x0-=a,=-1， 故答案为：-1： (2)解：取x=1,则2x-旷°=(2x1-°=a,+a+a,+a,+a+a,=1 (3)解：取x=-1,则 (2x-1°=[2x(-1)）-1]=(-3°=a(-1+a(-1)°+a(-1)°+a2(-1}+a(-1)+a=-a+a4-a+a2-a+a=-243 22.(8分)【答案】解：这三位同学的说法都正确，理由如下： .5a3-(a2-3a+3a）+(a2-a-2a2）-2a+2026 =5a3-a2+3a-3a3+a2-a-2a3-2a+2026 =5a3-3a3-2a3-a2+a2+3a-a-2a+2026 =2026, 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多项式 a3-(a2-3a+3a）+(a2-a-2a）-2a+2026 的结果恒等于2026，与4的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确。 【详解】略 23.(10分)【答案】(1)> (②2x2-x+1>2-x-3 (3)A<B 4a+3b-(3a+4b) 【详解】(1)解： =4a+3b-3a-4b =a-b, a-b>0, :a+3汤-(B知+40)>0 .4a+3b>3a+4b: (2)解：2-x+1-(2-x-3) =2x2-x+1-x2+x+3 =x2+4, .x2≥0， .x2+4≥4>0， 2x2-x+1-(x2-x-3)>0 .2x2-x+1>x2-x-3: (3)解：A-B +2四m】 2m+2m- 2 -n2 -3m-n 32 3 316 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =m-n2 m-n2<-2<0, .A-B<0, ..A<B. 24.(10分)【答案】(1)一；过程见解析 (2)-6 【详解】(1)解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式=5a2-2a-1-12+8a-4a2 =5a2-4a2-2a+8a-1-12 =a2+6a-13 (2)解：当a=1时，原式=1+6×1-13=6. 25.(10分)【答案】(1)< (2)见解析 89S 【详解】(1)解：：x-y+5<0, :x+2-0-3)=x+2-y+3=x-y+5<0 x+2<y-3: (2)证明：，a>b, .a-b>0, 计算a-0+b 2得： a-atb=2a-(a+b)_a-b 2 2 2 ,a-b>0 416 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 a-b>0, . ..asatb 2 a+b 计算2 b得： a+b_b=atb-2b_a-b 2 2 .'a-b>0 a-b>0 . a+bzb . 综上可得a>a+b 2 b: (3)解：设每块A型钢板的面积为x,每块B型钢板的面积为，且(x<') S1=5x+6y ),则 S2=4x+7y S-S2=5x+6y-(4x+7y =5x+6y-4x-7y =x-y, 又x<y, .x-y<0 S-9<0 9 26.(10分)【答案】(1)3 (2)a=2b 【详解】(1)解：关于x的多项式3mx+2m2-m-4x+1的值与x的取值无关， 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3mx+2m2-m-4x+1=(3m-4)x+(2m2-m+1) ∴.3m-4=0, 解得：m 3 (2)解：设AB=DC=x, 由图可知： S1=a(x-3b),S2=2b(x-2a） ..S-S,a(x-3b)-2b(x-2a)=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab “当1B的长变化时， S-S2 的值始终保持不变， …含x项的系数为0， 即a-2b=0. .a=2b 616