第二十七章 反比例函数 数学活动 用矩形“画”双曲线 （分层同步练习·反思性作业单） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以反比例函数矩形面积性质为核心，通过三级分层设计实现从基础巩固到拓展探究的知识进阶，融入反思性学习与跨学科应用，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心概念直接应用（矩形面积计算、k值确定）|题量充足（12题），聚焦易错点（象限忽略、面积变化）| |能力提升|性质验证与作图实践（多点验证、坐标描点）|自主选做（5题），强调过程性推理与操作| |拓展探究|综合探究与素养迁移（三角形面积关联、跨学科应用）|学优挑战（3题），融合阅读与探究，发展创新意识|

数学活动 用矩形“画”双曲线 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①在反比例函数y=k/x图象上任取点，向坐标轴作垂线围成矩形，面积恒为|k|。 ②利用这一性质，可以通过确定若干个等面积的矩形顶点来描出双曲线。 ③这是数形结合的重要体现，揭示了反比例函数的几何本质。 2. 与本节课相关的旧知识：反比例函数图象、矩形面积、坐标描点。 3. 预习时遇到的疑问：为什么用等面积矩形能描出双曲线？矩形面积为什么不变？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①描点时矩形面积变化，导致点不在双曲线上。 ②忽略象限，只在第一象限描点。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. y=6/x上任一点矩形面积=____。 2. 矩形面积=|k|，k=6时面积=____。 3. 描双曲线需要先确定若干个____的顶点。 4. 双曲线y=6/x在第____象限。 5. 点(2,3)在y=k/x上则k=____。 6. 用矩形画双曲线的依据是____不变。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 在y=6/x的图象上取点P(2,3)，则矩形PAOB（PA⊥x轴，PB⊥y轴）的面积为（　）A.3　B.6　C.9　D.12 2. 用矩形法画双曲线y=8/x，每个矩形面积应为____。 3. 点(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)是否在同一双曲线上？____。 4. y=k/x上一点(3,-2)，矩形面积=____，k=____。 5. 若矩形面积为10，则k=____。 6. 双曲线y=6/x上点P向x轴作垂线，△POA面积=____。 7. 用矩形法画双曲线时，矩形的一边在____轴上。 8. 已知双曲线上点(1,6)、(2,3)，求双曲线解析式。 9. 矩形面积为4的双曲线解析式为____。 10. 点(2,3)、(3,2)、(4,1.5)是否在y=6/x上？____。 11. 用矩形法画双曲线，k>0时矩形应画在第____象限。 12. 双曲线y=k/x经过点(-2,3)，则矩形面积=____。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 在反比例函数y=6/x的图象上取点A(1,6)、B(2,3)、C(3,2)、D(6,1)。(1)分别作矩形，求各矩形面积；(2)你发现了什么？ 解： 2. 用矩形法画双曲线y=12/x。(1)取x=2,3,4,6求对应点；(2)验证各点矩形面积都为12。 解： 3. 已知双曲线y=k/x经过点A(2,3)。(1)求k；(2)在双曲线上另取三个点，验证矩形面积都等于|k|。 解： 4. 在反比例函数y=-6/x的图象上取点P，作矩形PAOB。(1)矩形面积是多少？(2)P在哪些象限？ 5. 用矩形法画双曲线时，小明取了点(1,4)、(2,2)、(3,1)。(1)这些点在同一双曲线上吗？(2)若在，求解析式。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 探究：在反比例函数y=6/x的图象上，点P₁、P₂、P₃的横坐标分别为1、2、3。分别过这些点作x轴垂线，求三个垂足与原点、对应点构成的三角形面积。你发现了什么？ 解： 2. 阅读：用矩形法画双曲线体现了数形结合。请你用矩形法在坐标系中画出y=4/x的图象（取4个点），并说明步骤。 解： 3. 已知反比例函数y=k/x的图象经过点A(2,3)。(1)求解析式；(2)在图象上取点B作BM⊥x轴，求△OBM的面积；(3)若在图象上再取点C，△OCN的面积是多少？ 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某物理实验中，电压U一定时电流I与电阻R成反比例。测得R=10Ω时I=2A。(1)求U；(2)用矩形法在I-R坐标系中描出反比例函数图象的大致形状。 解： 2. 某蓄水池排水管每小时排水Q m³，t h排空。已知Q=8时t=6。(1)求容积；(2)在Q-t坐标系中画出反比例函数图象。 解： 3. 某工厂生产零件，每天生产x个，y天完成。已知x=200时y=15。(1)求生产总量；(2)写出y与x关系式；(3)判断这是什么函数。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 数学活动 用矩形“画”双曲线 参考答案 一、自习前置速忆 矩形面积恒为|k|；用等面积矩形描点得双曲线。 二、基础随堂自检 1.6　2.6　3.等面积矩形　4.一、三　5.6　6.矩形面积 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.8　3.是　4.6，-6　5.±10　6.3　7.坐标　8.y=6/x　9.y=4/x　10.是　11.一、三　12.6 ★★ 能力提升 1.(1)都为6；(2)面积不变　2.(1)(2,6)(3,4)(4,3)(6,2)；(2)验证　3.(1)k=6；(2)验证　4.(1)6；(2)二、四　5.(1)在；(2)y=4/x ★★★ 拓展探究 1.都为3，面积不变　2.略　3.(1)y=6/x；(2)3；(3)3 五、学以致用 1.(1)20V；(2)略　2.(1)48m³；(2)略　3.(1)3000个；(2)y=3000/x；(3)反比例 学科网（北京）股份有限公司 $