第二十五章 一元二次方程 数学活动 一元二次方程的探究 （分层同步练习·反思性作业单） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖一元二次方程根的分布、整数根等核心知识点，通过前置速忆-基础自检-分层作业-复盘反思路径巩固知识，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程解法、韦达定理、判别式等单一知识点|设置“探究根的定值”“整数k值求解”等基础应用题型，强化概念理解| |能力提升|根与系数关系、判别式综合应用|结合等腰三角形边长、根的比例关系等情境，设计综合推理题，发展推理能力| |拓展探究|跨学科与实际情境应用|通过“矩形面积探究”“代数式最值”等问题，培养数学眼光与模型意识|

数学活动 一元二次方程的探究 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①通过动手操作、列表、画图等活动，探究一元二次方程根的分布、整数根等规律。 ②探究整数根问题常设方程的两根为整数，利用韦达定理建立关系。 ③由特殊到一般，归纳猜想并加以验证是数学探究的基本方法。 2. 与本节课相关的旧知识：一元二次方程的解法、韦达定理、因式分解。 3. 预习时遇到的疑问：整数根问题为什么要结合判别式是完全平方数来讨论？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①探究时只看一个特例就下结论，缺乏一般性验证。 ②整数根问题漏掉对判别式为完全平方数的讨论。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 方程x²-5x+6=0的两根是____。 2. 若x²+px+q=0两根为2、3，则p=____，q=____。 3. 判别式Δ=9是完全平方数，则两根为____数。 4. 方程x²+2x+m=0有整数根，则m可能是____。 5. 探究：x²-x=0的根是____。 6. 若两根为整数，则Δ必为____数。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 探究方程x²-(k+2)x+2k=0的根，发现无论k取何值，总有一个根是定值，求这个定值。 2. 已知关于x的方程x²+mx-10=0的一个根是-5，求m及另一个根。 3. 探究：写出3个以2和-3为根的一元二次方程。 4. 若方程x²+px+q=0的两根都是整数，且p+q=2，求这个方程。 5. 方程x²-3x+k=0有整数根，求整数k的值。 6. 探究：不解方程，判断方程2x²+3x-1=0两根的符号。 7. 若关于x的方程x²+(k+1)x+k=0有一个正根和一个负根，求k的取值范围。 8. 探究x²+2x-3=0与(x+1)²=4的关系，你发现了什么？ 9. 已知方程x²-5x·sinA+1=0的一个根是2，求sinA。 10. 若一元二次方程x²+ax+b=0的两根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3，x₁x₂=2，求a、b。 11. 探究：方程x²+2x+3=0有无实数根？为什么？ 12. 写出一个两根之和为4、两根之积为3的一元二次方程。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 探究：已知关于x的方程x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0。(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 解： 2. 阅读材料：若一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为m:n，则可以设两根为mt、nt，再用韦达定理。请用此方法解：方程x²-6x+k=0的两根之比为2:3，求k及两根。 3. 探究整数根：已知关于x的方程x²+(m+2)x+1/4m²-2=0有两个不相等的整数根，m为整数，求m的值。 解： 4. 已知关于x的一元二次方程x²+(2k-1)x+k²=0有两个不相等的实数根，其中有一根为0，求k的值及另一个根。 解： 5. 探究：当m是什么整数时，关于x的方程x²-mx+m-2=0的两根都是整数？ ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 观察下列方程及其根：①x²-1=0，根±1；②x²-2x=0，根0、2；③x²-3x+2=0，根1、2。(1)你发现二次项系数为1的一元二次方程x²+px+q=0的两根与p、q有什么关系？(2)若两根为-2和5，请直接写出这个方程。 解： 2. 数学活动：用一条长20cm的铁丝能否围成面积为26cm²的矩形？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由，并求出能围成的最大面积。 解： 3. 探究：已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程a(1-x²)-2√2bx+c(1+x²)=0有两个相等的实数根。(1)判断△ABC的形状；(2)若c=10，求△ABC的面积。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 活动：在边长为1的正方形纸板上，能否剪出一个面积为1/2的矩形，且长是宽的2倍？请列方程探究并说明。 解： 2. 活动：某同学用配方法探究“代数式x²-4x+7的值”，发现它的最小值是3。请你仿照探究代数式2x²+8x-3的最小值。 解： 3. 活动：设计一个面积为24m²的矩形花园，使其周长为整数，且长宽之比为3:2，判断是否存在这样的花园。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 数学活动 一元二次方程的探究 参考答案 一、自习前置速忆 探究法：特殊→一般→验证；整数根需Δ为完全平方数。 二、基础随堂自检 1.2、3　2.-5，6　3.有理　4.0或-3（答案不唯一）　5.0、1　6.完全平方 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.定值x=2　2.m=3，另一根2　3.x²+x-6=0等　4.x²-x-2=0　5.k=0或2　6.一正一负　7.k<0　8.配方即原方程　9.5/4　10.a=-3,b=2　11.无实根，Δ<0　12.x²-4x+3=0 ★★ 能力提升 1.(1)Δ=(2k-3)²≥0；(2)周长10　2.k=216/25，两根12/5,18/5　3.m=2　4.k=-1，另一根3　5.m=0或3 ★★★ 拓展探究 1.(1)两根和=-p，积=q；(2)x²-3x-10=0　2.不能，最大面积25cm²　3.(1)直角三角形；(2)25 五、学以致用 1.不能，宽=0.5，长=1，超出正方形　2.最小值-11　3.存在，长6m宽4m 学科网（北京）股份有限公司 $