湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高一上学期数学综合测试（4）

**基本信息** 聚焦高一数学必修1集合与不等式，基础题（如集合交补运算、不等式性质）巩固概念，创新题（如下位序列探究）培养逻辑推理与数学抽象，适配周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式性质|基础概念辨析，如已知集合A、B求A∩∁_RB| |多选|3/18|命题否定、充分条件|考查逻辑推理，如判断“a＞b”是“a²＞b²”的充分条件| |填空|3/15|集合元素性质|细节理解，如含参数集合元素之和问题| |解答|5/77|集合关系、不等式应用|综合应用，如企业处理二氧化碳成本问题（数学建模）、下位序列探究（创新思维）|

曾都一中2026年秋高一数学综合测试（4） 时间： 2026.09.17-- 18:30-20:30 内容：人教A版必修1一二章 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则A∩（∁RB）＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1，2} D．{﹣2，0，1} 2．如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（　　） A．a2＜b2 B．a2＜ab C． D． 3．已知实数a，b满足1＜a＜3，﹣1＜b＜2，则2a﹣b的取值范围是（　　） A．（0，4） B．（3，4） C．（3，7） D．（0，7） 4．已知集合，集合B＝{a2，a+b，0}，若A∩B＝A∪B，则a2020+b2020的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 5．若∃x∈[0，4]，使得不等式x2﹣2x+a＞0成立，则实数a的取值范围（　　） A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a＞8 D．a＞﹣8 6．已知不等式ax＜b的解集为，则不等式的解集为（　　） A． B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D． 7．已知集合，则（　　） A．A⫌B B．A⫋B C．A＝B D．A∩B＝∅ 8．对集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照从最大的数开始，交替地减、加后继续的数所得的结果．例如，集合{1，2，4，7，10}的“交替和”是10﹣7+4﹣2+1＝6，{7，10}的“交替和”是10﹣7＝3，{3}的“交替和”是3等，则集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为（　　） A．1024 B．1280 C．2408 D．2304 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，2x﹣1≥0”的否定是“∀x∈R，2x﹣1＜0” B．命题“∃x∈R，x2﹣2x﹣3＝0”是真命题 C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 D．“x＞2”是“x＞﹣1”的充分不必要条件 10．关于x的不等式x2﹣（a﹣2）x﹣2a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围可能是（　　） A．0≤a＜1 B．0＜a≤1 C．﹣5＜a≤﹣4 D．﹣5≤a＜﹣4 11．下列说法正确的有（　　） A．的最小值为2 B．已知x＞1，则的最小值为 C．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3 D．设x，y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知集合U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，3}，∁UA＝{5}，则实数a的值为　 　 ． 13．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合 为　 　 ． 14．已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|2﹣m≤x≤2+m}． （1）若A∩B＝B，求实数m的取值范围； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16．（本小题满分15分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 17．（本小题满分15分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}及非空集合C＝{x|x2﹣ax+b＝0}． （1）若B＝C，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得A∩C＝B，若存在，求出a与b的值，若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 19．（本小题满分17分） 对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" (1)对于，试求的"下位序列"; (2)设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 曾都一中2026年秋高一数学综合测试（4）答案 BCDA DCCA ABD BD BCD ﹣4或2 {a|a＝0或a＞1} 8．解：设集合A的所有非空子集的交替和为Sn， 则S1＝1＝1×20，S2＝1+2+（2﹣1）＝4＝2×21， S3＝1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）＝12＝3×22， S4＝1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3） +（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1） ＝32＝4×23，． 11．A选项：当x＜0时，0，A选项错误； B选项：x＞1时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； C选项：由x＞0，y＞0，x+2y＝3xy，即， 所以， 当且仅当，即x＝y＝1时等号成立， 所以2x+y的最小值为3，C选项正确； D选项：由9x2+y2+xy＝1，则（3x+y）2＝1+5xy， 又，即，当且仅当3x＝y时等号成立， 所以，故， 则有，当且仅当时等号成立，即3x+y的最大值为，D选项正确． 14．解：由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 由在时恒成立，则当时，恒成立； 当时，恒成立.故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立.故答案为：. 15．解：（1）由A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，可得 A＝{x|﹣1≤x≤6}， 由A∩B＝B 可得B⊆A， （1分） 当B≠∅，则，可得0≤m≤3， （3分） 当B＝∅，则2﹣m＞2+m，可得m＜0， （5分） 综上所述，m的取值范围为{m|m≤3}． （6分） （2）由题可得：A真包含于B， 则或，解得m≥4， 故m的取值范围为{m|m≥4}． （13分） 16．解：（1）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为：， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低；（7分） （2）该单位每月的获利：， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.（15分） 17．解：（1）因为B＝C，且C为非空集合，所以a≠0，即， 则x2﹣ax+b＝0只有一个根为，故， 解得，； （6分） （2）由题意得A＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{1，﹣3}， 由于A∩C＝B，所以B⊆A且B⊆C， ①当a＝0时，B＝∅，只需要满足集合C非空且A∩C＝∅即可， 则满足a2﹣4b≥0，且当x＝1或x＝﹣3时，x2+b≠0， 故{b|b≤0且b≠﹣1，﹣9}； ②当a≠0时，， 若，则a＝1， 此时只需满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为﹣3， 将x＝1代入x2﹣x+b＝0，得b＝0，即C＝{1，0}，满足题意； 若，则， 此时只需满足集合C只有一个根为﹣3或一个根为﹣3，另一个根不为1， 将x＝﹣3代入，得b＝﹣8， 令，解得x＝﹣3或，即满足题意； 综上：当a＝0，{b|b≤0且b≠﹣1，﹣9}时满足题意；当a＝1，b＝0时满足题意；当，b＝﹣8时满足题意． （15分） 18．（1）由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. （4分） （2）因为，所以，， 当且仅当，即时成立. （10分） （3）因为，， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件. （17分） 19.解：（1）由题意可知此时则的“下位序列”为.（4分） （2）由题意可知此时取，则，猜想， 先证左边则， 再证右边则，综上. （10分） （3）由题意可知①，又则， 此时于是解得 又对集合内的每个，上式都成立，则， 下证满足题意，由①可知， 再由（2）可知， 即对集合内的每个，总存在是满足题意的. 综上所述：正整数的最小值为. （17分） 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $