第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学复习讲义通过分点梳理与表格对比系统构建轴对称图形与等腰三角形知识体系，将轴对称、垂直平分线、角平分线、等腰三角形等核心知识按“定义-性质-判定”逻辑呈现，用框架图明确知识点内在联系，突出轴对称性质应用、等腰三角形定理综合运用等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的轴对称图形识别到综合的最短路径问题、折叠问题，如“将军饮马”模型培养几何直观，等腰三角形性质证明题提升推理意识。每个题型配典例与变式，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第十五章 轴对称图形与等腰三角形复习讲义 教学目标 1. 理解轴对称图形、两个图形关于直线对称的概念，掌握轴对称的性质，能辨别、绘制轴对称图形； 2. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，能运用性质进行计算和证明； 3. 理解等腰三角形、等边三角形的概念，熟练掌握其性质定理与判定定理； 4. 掌握含30°角的直角三角形的性质，能运用该性质解决相关计算问题； 5. 能结合轴对称知识解决几何计算与证明问题，提升图形变换思维与几何推理能力。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称的性质及其简单应用； （2）线段垂直平分线、角平分线的性质与判定； （3）等腰三角形、等边三角形的性质和判定的运用； （4）含30°角的直角三角形的性质应用。 2. 难点 （1）利用轴对称性质进行图形分析、几何推理与解题； （2）综合运用等腰三角形相关定理解决综合性几何证明与计算题； （3）结合轴对称变换、线段与角的性质，梳理复杂几何图形中的边角关系。 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.元素：这条直线就是它的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对应点（也叫对称点）。 注意： ①对称轴是一条直线，而不是射线或线段； ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条； ③轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 知识点02 轴对称 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 2.成轴对称的两个图形全等。 3.轴对称和轴对称图形的区别与联系： 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.垂直平分线的定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 3.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。 5.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形。 2.具体步骤：①找图形的关键点： ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 3.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法： ①写出坐标—写出对称点的坐标； ②描点—根据对称点的坐标描点； ③连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形。 知识点05 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) ； 2.点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) ； 3.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 ； 4.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 。 知识点06 线段垂直平分线的性质与判定 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。 2.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。 知识点07 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。 作法： ①如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点08 尺规作图——作已知角的平分线 1.已知∠AOB，作∠AOB的平分线。 作法：①如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； ②如图（2），分别以点M，N为圆心，以大于长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P； ③如图（3），作射线OP，则OP即为所求。 知识点09 尺规作图——作直线的垂线 1.已知直线，且点在直线上，过点作直线的垂线。 作法：作平角的平分线，直线即为所求（如下图（1））。 2.已知直线，且点在直线外，过点作直线的垂线。 作法：①任意取一点，使点与点分别在直线两侧； ②以为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； ③分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点； ④连接直线，就是所求垂线（如下图（2））。 知识点10 角平分线的性质与判定 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。 知识点11 等腰三角形的性质与判定 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（简写成“三线合一”）。 3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴。 4.定义法判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 5.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点12 等边三角形的性质与判定 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 3.定义法判定：三边都相等的三角形是等边三角形。 4.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 5.等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点13 含30°角的直角三角形性质 1. 含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.性质的逆用：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°。 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·广西桂林·期末）下列给出的运动简易图标中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照轴对称图形的概念即可判断． 【详解】解：要判断是否具有轴对称性，关键是看图形能否沿某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合， A、C、D的图形无法找到这样的直线，不具备轴对称性； B的图形沿中间竖直直线对折后，两侧能完全重合，具有轴对称性． 【变式2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线被称作对称轴．据此判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图形，其对称轴如下： 对于A、B、D选项中的图形，都不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠后两部分重合，故A、B、D选项中的图形均不是轴对称图形． 综上，只有C选项中的图形是轴对称图形． 【变式3】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形定义逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 【典例1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 题型03 对称轴 【典例1】下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意； B、有3条对称轴，符合题意； C、有1条对称轴，不符合题意； D、有1条对称轴，不符合题意． 【变式1】下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，分别找出各图形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、该图形是等边三角形结构，有条对称轴； B、该图形不是轴对称图形，有条对称轴； C、该图形是正五边形与五角星的组合，有条对称轴； D、该图形是圆与正六边形的组合，有条对称轴， 对称轴数量最多的是D． 【变式2】画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【答案】解：如图所示即为所作． 【详解】略 【变式3】下面的图形都是轴对称图形或两个图形成轴对称，请分别找出它们的对称轴． 【答案】对称轴如图所示： 【详解】略 题型04 根据轴对称的性质判断 【典例1】如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 【变式1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解： 与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 题型05 根据轴对称的性质求解 【典例1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 【典例2】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 【答案】(1)5 (2)12 (3)18 【分析】（1）先得出，再求出的长，由此即可得； （2）先得出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出，再根据的边上的高与的边上的高相等可得的面积与的面积之间的关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，即， ∵，， ∴的面积为． （3）解：由（1）已得：，，的面积为12， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相等， ∴的面积为． 【变式1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，和关于直线对称，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 1 【详解】解：和关于直线对称， 直线为的对称轴， ，与关于直线对称， ， ， ， . 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 【答案】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接 交于，交于，   ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 中，， . 【变式4】如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出 的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 题型06 轴对称中实际问题 【典例1】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 【典例2】某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出，结合反射性质，再利用三角形外角性质建立方程求解即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知， ， 是的外角， ， ， ， ． 【变式2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 【变式3】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 题型07 在坐标系中作轴对称图形 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 【答案】(1)如图，即为所求； (2)6.5 【分析】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 【变式1】（25-26八年级上·海南·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，均在格点上． (1)作出关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求． (2)，， (3) 【分析】（1）作出点A，B，C的对称点，，，依次连接即可解答； （2）直接根据平面直角坐标系写出各点坐标； （3）根据割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 【变式2】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再由图象写出坐标即可； （2）作点关于对称点，连接，与轴相交于点，由，即可推出点为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_________； (3)求的面积； 【答案】(1)解：即为所求作的三角形，如图所示：    由图可知：． (2)y轴； (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （2）利用轴对称的性质解决问题即可； （3）根据割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为； （3）解：． 题型08 坐标系中的对称 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式2】（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 题型09 折叠问题 【典例1】（25-26七年级下·广西钦州·期末）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由折叠的性质得，将的周长转化为即可求解． 【详解】（1）解：， 由折叠的性质得：， ∴． （2）解：由折叠的性质得：， 的周长． 【变式1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则________度． 【答案】 【分析】利用长方形对边平行的性质，设，结合两次折叠的角度相等关系，用表示出的度数，再根据平行线同旁内角互补列方程求出，最后通过邻补角关系算出的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ 由沿折叠可知： ∴， 由沿折叠可知： ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为；再将长方形纸片的另一角也折叠，使顶点落在点处，在的延长线上，折痕为． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？ (3)的补角为____________． 【答案】(1) (2)，发现始终为 (3) 【分析】（1）根据图形翻折变换的性质可知，，故可得出结论； （2）根据图形翻折变换的性质可知，，故可得出结论； （3）根据补角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵由翻折而成，由翻折而成，， ∴，， ∴； （2）解：∵由翻折而成，由翻折而成，， ∴，， ∴， 发现始终为； （3）解：∵由（2）知，，， ∴的补角是． 【变式4】（25-26七年级下·河南南阳·期末）一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 如图，延长交于点F， ∵，， 由折叠知， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由折叠得，结合，利用同旁内角互补求得，．对顶角相等得，在中，故，最终． （2）延长交于点，由三角形外角性质得，且．由折叠知，代入得，故． （3）由折叠得，，．根据平角定义得，，结合，得．将两式相加整理得． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， 由折叠可得，， ， ， ，， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 由折叠的性质可得，，， 由题意知， ①， ②， , ， ， ①+②整理得，， ． 题型10 最短路径问题 【典例1】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．即铺设管道路径最短的方案是方案3 故选：C； 【变式1】小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了轴对称、最短路径问题、对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，依据轴对称的性质即可得解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小． 由对称性可知：， ∵， ∴， ∴的值最小时，点应该满足． 【变式3】综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】略 题型11 轴对称综合问题 【典例1】（25-26八年级下·四川南充·期末） 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点． (1)填空∶ ________，________； (2)如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE， ①求直线AD的表达式： ②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由． 【答案】(1)； (2)①直线的表达式为：； ②点一定落在直线上，理由如下： 如图，过点作轴于点，则有， 即， 由题意知，， ， 又 ，， ， ，， 设点的坐标为，则， 对于，当时，有， 在点的运动过程中，点一定落在直线上． 【分析】（1）根据已知点坐标得到直线的表达式，得到点坐标，进而得到直线的表达式． （2）①根据与点关于轴的对称，得到点的坐标，进而得到直线的表达式； ②过点作轴于点，通过证明，得到对应线段相等，设点的坐标为，根据线段的等量关系得到点，代入直线的表达式，得证结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴代入，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴当时，， ∴点，代入直线，得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：①点与点关于轴对称， ， 设直线的表达式为， 则有，解得：， 直线的表达式为：， ②略； 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即被垂直平分． (1)小深通过测量得到了，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面为轴对称图形，请说明理由． (2)若四边形是轴对称图形，且，，求的度数． 【答案】(1)解：还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； 还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； (2) 【分析】（1）添加条件或，证明，得到，再证明，得到，则可证明被垂直平分，则制作的风筝面为轴对称图形； （2）设交于点O，证明，得到，则；再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设交于点O， ∵四边形是轴对称图形，即被垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求一次函数的解析式； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的和最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)15 (3)存在， 【分析】（1）先求出点B的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设平移后的直线与y轴交于点D，由一次函数平移的性质可得直线的解析式为，把，联立，求出点M的坐标为．连接，过点M作，垂足为H，则，由此计算即可得出结果； （3）作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q，由对称性知，周长，即此时周长最小．待定系数法求出直线的解析式为，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得，即点B的坐标为． 把代入，得， 解得，即点A的坐标为． 把代入，得，即． （2）解：设平移后的直线与y轴交于点D， 则由题意可知直线的解析式为． 把，联立，得， 解得， ∴点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H， 把代入，得，解得，即点C的坐标为， ∴， 则 ； （3）解：如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 把代入，得． ∴点Q的坐标为． 题型12 线段垂直平分线的性质与判定 【典例1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 【典例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 【变式2】如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 【变式4】如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 题型13 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【典例1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 【典例2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用尺规作图即可． （2）根据垂直平分线性质和三角形周长的差值计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请利用尺规作图法，作出的边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【分析】边上的中线是顶点与边中点的连线，只需先作出的中点，再连接点和中点即可，利用作线段垂直平分线的方法可得到的中点． 【详解】解：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两侧两点，过两交点作直线，该直线与交于点，即为的中点，连接，线段即为所求作的边上的中线，保留作图痕迹即可． 【变式3】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：线段的垂直平分线，如图所示： (2)解：正确， 理由如下： 连接和，如图所示： ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， 直线就是线段的垂直平分线． 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段的垂直平分线； （2）连接和，由尺规作图得到，，由全等三角形的判定与性质得到、，结合垂直平分线定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 题型14 角平分线的性质与判定 【典例1】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【典例2】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是上一点，，，且，则点到的距离为__________． 【答案】4 【分析】由，，可得，由，可求，如图，作于，则点D到的距离为，由角平分线的性质可得． 【详解】解：，， ∴，即， 又∵， ∴， 如图，作于，则点D到的距离为， ∵，，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 【变式4】如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 题型15 尺规作图——作已知角的平分线 【典例1】如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和为和角平分线的性质求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在中，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知．求作：点P，使点P到点B，点C的距离相等，且点P到边与的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点P即为所求． 【分析】作边的垂直平分线与的角平分线交于点P，即可求解． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【分析】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 题型16 等腰三角形 【典例1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略； （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11． 【变式1】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明： 平分， ， ， ， ， ． (2)24 【分析】（1）可证，，即可得证； （2）作交于，可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于， 平分，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：， ． ， ， ． ． ． ． (2)证明：如图，过点作于点， ， ， ． ，， ． 是的中点， ． ， ． ． ， 【分析】（1）由得，，由得，证得，进一步可得结论． （2）过点作于点，则可证明，再证明，得，得出，故可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型17 等边三角形 【典例1】如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质得出，，由等边三角形的性质得出，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：∵将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到， ∴，，， ∴的周长是． 【典例2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先利用证明，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴是等边三角形，故②正确； 故选D． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【答案】27 【分析】连接，结合等边三角形的性质、角平分线的定义以及垂直平分线的性质证明为等边三角形，易得，进而可得，可证明，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的平分线交于点O，和的垂直平分线交于E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 题型18 含30°角的直角三角形 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 【典例2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ； (2)的长为． 【分析】（1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案； （2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【变式1】（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 【变式2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【答案】(1)证明： 为等边三角形， ，． 为直角三角形， ， ， ，即， ， ， 即点为的中点． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质、直角三角形中两锐角互余、含角的直角三角形的性质，即可得证； （2）利用平移的性质、外角的性质、等角对等边，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由平移得，，，， ． 由（1）可知，，， ，， ， ， ． 答：的长为． 【变式4】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质， (2)∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； （2）解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）对称美展现了平衡、和谐等美学特质，常被运用于各领域作品的创作与设计上．下列品牌标志是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各选项图形进行分析判断即可． 【详解】解：A、C、D不是轴对称图形，B是轴对称图形． 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是． 4．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 6．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 【答案】3 【分析】根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ，， ． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如下图，即为所求， 【分析】作线段的垂直平分线交于D，得，得，即可得解． 【详解】略． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，射线即为所求， 【分析】根据判定全等三角形的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求． 【详解】略． 10．在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【答案】证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】略 11．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)5 (3)如图，点P即为所求． 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，A，B分别是x轴，y轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若，，则点C到的距离是________． 【答案】3 【分析】如图，过点C作于点D，首先求出，由角平分线求出，得到，然后根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴点C到的距离是3． 3．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．请根据题意，回答以下问题： (1)如图①，纸片沿折叠，点落在内部点处，若，求的度数； (2)如图②，纸片沿折叠，使点落在外部点处，请直接写出之间的数量关系_______________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，进一步求出度数，则可求出度数； （2）可先求出表达式，再求出表达式，两式进行相减，再进一步转化成含的式子即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， ； （2）解：由题意得，， ， ， ， ， 故数量关系为． 5．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），是等腰直角三角形，，，，三点在一条直线上，过点作于．若，的面积为6，求的长； (3)如图（2），点，，连接，，．当最小时，求的值． 【答案】(1)，，． (2) (3) 【分析】（1）利用绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）过B作于H，证明是等腰直角三角形得到，，，，再证明，，再证明得到，，，进而得，设，，利用三角形面积公式推导出，进而可求解； （3）将沿着方向平移到，则，，作点B关于直线对称的点，连接，，则，，，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，利用待定系数法求出直线的表达式为，进而求得点N坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，． （2）解：过点B作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴ ， 设，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． （3）解：∵点，，， ∴点N在直线上运动，点M在直线上运动， 如图，将沿着方向平移到，则，， 作点B关于直线对称的点，连接，，则，， ∴，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点， 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得， 则， 由得． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：① ，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证 ，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形复习讲义 教学目标 1. 理解轴对称图形、两个图形关于直线对称的概念，掌握轴对称的性质，能辨别、绘制轴对称图形； 2. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，能运用性质进行计算和证明； 3. 理解等腰三角形、等边三角形的概念，熟练掌握其性质定理与判定定理； 4. 掌握含30°角的直角三角形的性质，能运用该性质解决相关计算问题； 5. 能结合轴对称知识解决几何计算与证明问题，提升图形变换思维与几何推理能力。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称的性质及其简单应用； （2）线段垂直平分线、角平分线的性质与判定； （3）等腰三角形、等边三角形的性质和判定的运用； （4）含30°角的直角三角形的性质应用。 2. 难点 （1）利用轴对称性质进行图形分析、几何推理与解题； （2）综合运用等腰三角形相关定理解决综合性几何证明与计算题； （3）结合轴对称变换、线段与角的性质，梳理复杂几何图形中的边角关系。 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.元素：这条直线就是它的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对应点（也叫对称点）。 注意： ①对称轴是一条直线，而不是射线或线段； ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条； ③轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 知识点02 轴对称 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 2.成轴对称的两个图形全等。 3.轴对称和轴对称图形的区别与联系： 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.垂直平分线的定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 3.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。 5.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形。 2.具体步骤：①找图形的关键点： ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 3.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法： ①写出坐标—写出对称点的坐标； ②描点—根据对称点的坐标描点； ③连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形。 知识点05 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) ； 2.点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) ； 3.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 ； 4.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 。 知识点06 线段垂直平分线的性质与判定 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。 2.线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。 知识点07 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。 作法： ①如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点08 尺规作图——作已知角的平分线 1.已知∠AOB，作∠AOB的平分线。 作法：①如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； ②如图（2），分别以点M，N为圆心，以大于长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P； ③如图（3），作射线OP，则OP即为所求。 知识点09 尺规作图——作直线的垂线 1.已知直线，且点在直线上，过点作直线的垂线。 作法：作平角的平分线，直线即为所求（如下图（1））。 2.已知直线，且点在直线外，过点作直线的垂线。 作法：①任意取一点，使点与点分别在直线两侧； ②以为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； ③分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点； ④连接直线，就是所求垂线（如下图（2））。 知识点10 角平分线的性质与判定 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。 知识点11 等腰三角形的性质与判定 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（简写成“三线合一”）。 3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴。 4.定义法判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 5.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点12 等边三角形的性质与判定 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 3.定义法判定：三边都相等的三角形是等边三角形。 4.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 5.等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点13 含30°角的直角三角形性质 1. 含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.性质的逆用：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°。 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·广西桂林·期末）下列给出的运动简易图标中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 【典例1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 题型03 对称轴 【典例1】下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【变式3】下面的图形都是轴对称图形或两个图形成轴对称，请分别找出它们的对称轴． 题型04 根据轴对称的性质判断 【典例1】如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 根据轴对称的性质求解 【典例1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【典例2】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，已知与关于直线对称，直线分别与、交于点，，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． (3)求的面积． 【变式1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，和关于直线对称，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 【变式4】如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 题型06 轴对称中实际问题 【典例1】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【典例2】某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【变式3】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 题型07 在坐标系中作轴对称图形 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 【变式1】（25-26八年级上·海南·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，均在格点上． (1)作出关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求出的面积． 【变式2】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_________； (3)求的面积； 题型08 坐标系中的对称 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 题型09 折叠问题 【典例1】（25-26七年级下·广西钦州·期末）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 【变式1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则________度． 【变式3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为；再将长方形纸片的另一角也折叠，使顶点落在点处，在的延长线上，折痕为． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？ (3)的补角为____________． 【变式4】（25-26七年级下·河南南阳·期末）一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 题型10 最短路径问题 【典例1】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【变式1】小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【变式2】如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 【变式3】综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 题型11 轴对称综合问题 【典例1】（25-26八年级下·四川南充·期末） 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点． (1)填空∶ ________，________； (2)如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE， ①求直线AD的表达式： ②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即被垂直平分． (1)小深通过测量得到了，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面为轴对称图形，请说明理由． (2)若四边形是轴对称图形，且，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求一次函数的解析式； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的和最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 题型12 线段垂直平分线的性质与判定 【典例1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【典例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【变式2】如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【变式4】如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型13 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【典例1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【典例2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请利用尺规作图法，作出的边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式3】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 题型14 角平分线的性质与判定 【典例1】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【变式2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是上一点，，，且，则点到的距离为__________． 【变式3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【变式4】如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 题型15 尺规作图——作已知角的平分线 【典例1】如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【变式2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知．求作：点P，使点P到点B，点C的距离相等，且点P到边与的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 题型16 等腰三角形 【典例1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【变式1】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【变式3】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，求证：． 题型17 等边三角形 【典例1】如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【变式4】如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 题型18 含30°角的直角三角形 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【典例2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【变式1】（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【变式3】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【变式4】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）对称美展现了平衡、和谐等美学特质，常被运用于各领域作品的创作与设计上．下列品牌标志是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 5．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 6．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 10．在直角三角形中，，三等分，，求证：． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，A，B分别是x轴，y轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若，，则点C到的距离是________． 3．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．请根据题意，回答以下问题： (1)如图①，纸片沿折叠，点落在内部点处，若，求的度数； (2)如图②，纸片沿折叠，使点落在外部点处，请直接写出之间的数量关系_______________． 5．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），是等腰直角三角形，，，，三点在一条直线上，过点作于．若，的面积为6，求的长； (3)如图（2），点，，连接，，．当最小时，求的值． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $