第十二章 函数与一次函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学复习讲义通过结构化框架和对比表格系统梳理函数与一次函数知识体系，将变量常量、函数概念、三种表示方法等基础知识点与一次函数图像性质、实际应用等重点内容分层呈现，用表格对比函数表示方法差异、一次函数性质与象限关系，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于以“典例+变式”分层设计20类题型，如外卖骑手工资方案（题型15）通过一次函数模型解决实际问题，培养模型意识，一次函数与不等式结合题（题型18）借助图像分析解集，发展几何直观，基础题巩固概念，综合题提升推理能力，为教师提供精准分层教学素材，助力学生系统掌握知识并提升应用能力。

第十二章 函数与一次函数复习讲义 教学目标 1. 了解变量、常量的含义，理解函数的概念，掌握函数的三种表示方法，能判断两个变量是否构成函数关系； 2. 理解自变量的取值范围的意义，会求简单函数的自变量取值范围，能根据自变量的值求出对应的函数值； 3. 理解正比例函数、一次函数的定义与解析式形式，掌握一次函数的图像与基本性质； 4. 会用待定系数法求一次函数解析式，能结合函数图像解决简单的函数问题； 5. 能够利用一次函数解决生活中的实际问题，体会函数建模思想与数形结合思想。 教学重难点 1. 重点 （1）函数的概念及自变量取值范围、函数值的求解； （2）一次函数、正比例函数的图像与性质； （3）待定系数法求一次函数解析式； （4）一次函数的简单实际应用。 2. 难点 （1）准确理解函数的对应关系，把握函数概念的本质； （2）结合一次函数图像分析函数增减性、参数意义等问题； （3）利用一次函数模型分析、解决实际问题，准确结合图像获取和运用信息。 知识点01 函数 1.变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 2.函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 3.函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法。 定义 特点 备注 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛 解析法 用数学式子表示函数关系的方法 准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然 其中的数学式子叫作函数表达式或函数解析式 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律 4.函数的图象定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 5.由函数表达式画函数图象的一般步骤： ①列表：列出自变量与函数的一些对应值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； ③连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。 知识点02 一次函数的概念与表达式 1.一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫作一次函数。 2.正比例函数的定义：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 知识点03 正比例函数的图像与性质 1.正比例函数的图象：正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图像是一条过原点的直线。 2.正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 知识点04 一次函数的图像与性质 1.一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3.一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 直线趋势 函数从左到右上升 函数从左到右下降 与y轴交点的位置 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快 4.两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 知识点05 一次函数的平移、对称 1.图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 2.直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称：y＝﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称：y＝﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称：y＝kx﹣b（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 知识点06 一次函数与一元一次方程 1.一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 知识点07 一次函数与一元一次不等式 1.一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2.用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： 。 知识点08 一次函数与二元一次方程 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2.本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 知识点09 一次函数与二元一次方程组 1. 二元一次方程组与两条一次函数直线 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 2.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线相交 有唯一一组解 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行无交点 无解 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线重合 无数组解 直线上所有点都是解 3.图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 4．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 知识点10 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 注：①必须写取值范围；②最值只在区间端点取；③看清 的正负，别搞反增减。 题型01 函数的概念及表示方法 【典例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 【答案】C 【详解】解：∵气温随海拔高度的变化而变化， ∴海拔高度是主动变化的自变量，气温是随变化的因变量， ∴是自变量，是因变量． 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：，表示吨）之间的关系如下表： 出水速度 … 时间 … 用式子表示与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据水池总水量不变的特点，计算表格中每组与的乘积为定值，进而推导关系式． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴． 【变式2】下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例关系，熟知反比例关系的定义是解题的关键． 根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫作反比例关系． 【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； C、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； D、，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意； 故选D． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知一个长方形的周长为30，设长方形的长为，面积为，则与的关系式为________． 【答案】 【分析】根据长方形周长公式求出长方形的宽，再利用长方形面积公式推导得到与的关系式． 【详解】解：已知长方形周长为，长为， 根据长方形周长公式，可得长方形的宽为：， 根据题意可得：． 题型02 函数图象 【典例1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应．从图象上看，就是作垂直于x轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】A．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B．作垂直于x轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个x，有两个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D．对于每一个x，都有唯一确定的y值与之对应，故y是x的函数，符合题意． 【变式1】小明的父亲饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将小明的父亲的行程分为三个阶段：去报亭、看报纸、返回家中，分析每个阶段离家距离随时间的变化情况，结合图象特征进行判断 【详解】解：∵从家中走分钟到一个离家米的报亭， ∴至分钟内，离家距离随时间增加而增加，图象为上升线段； ∵看分钟的报纸， ∴至分钟（）内，离家距离保持米不变，图象为水平线段； ∵用分钟返回家中， ∴至分钟（）内，离家距离随时间增加而减小直至为，图象为下降线段，且总时间为分钟， 观察各选项：只有选项D符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，表示在一定条件下，温度（单位：）对大棚内某种植物光合作用和呼吸作用的影响，下列说法错误的是（     ） A．当温度为时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率 B．在温度从升高到时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高 C．若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内温度应该设置为 D．温度越高，呼吸作用消耗的氧气就越多 【答案】D 【分析】直接观察图象，即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率，故本选项正确，不符合题意； B、在温度从升高到时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高，故本选项正确，不符合题意； C、观察图象得：温度升高到时，光合作用产氧速率最高，若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内温度应该设置为，故本选项正确，不符合题意； D、观察图象得：温度升高到一定值后，呼吸作用消耗氧气的速率会下降，故本选项错误，符合题意； 【变式3】6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【答案】数学活动：见解析；数学应用：时和时适合货轮进出此港口 【分析】数学活动：根据表格数据在函数图象上描点连线即可； 数学应用：根据图象找到时所有的x值，再结合图象判断即可． 【详解】解：数学活动：补全该函数的图象如答图所示． 数学应用：根据图象，可知当潮水高度超过时，和． 所以时和时适合货轮进出此港口． 题型03 一次函数的判断 【典例1】下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义判断，正比例函数要求形如（为常数且，自变量的次数为），逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数，自变量次数为1． ∴对各选项分析如下： 选项A：，存在常数项，不符合正比例函数定义，错误； 选项B：，符合正比例函数的定义，正确； 选项C：，自变量的次数为，不符合定义，错误； 选项D：，是反比例函数，不符合正比例函数定义，错误． 题型04 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到的值． 【详解】解： 是正比例函数， ，， 解得， 解，得或， 综上可得，m的值为5． 【变式1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 【变式3】已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 题型05 求一次函数的自变量或函数值 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）点在一次函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式”，只需将点的横坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y值，和点的纵坐标对比即可得到答案. 【详解】将各选项坐标依次代入验证： 选项A，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项B，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项C，把代入得，，该点在函数图象上； 选项D，把代入得，，该点不在函数图象上． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点在一次函数的图象上，则______． 【答案】3 【分析】已知点在一次函数图象上，把点代入，列一元一次方程求解的值． 【详解】解：将点代入，得， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点代入函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图象上， 将代入解析式得：， 整理得：， ∴， 代入得：． 题型06 正比例函数的图象与性质 【典例1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴. 【典例2】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）若正比例函数，随的增大而增大，则可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的增减性得到的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】对于正比例函数，由正比例函数的性质可知，当随的增大而增大时，可得， 任意大于的实数都满足条件，可取（答案不唯一）． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象与坐标轴有两个交点 B．图象经过第二、第四象限 C．图象经过点 D．随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：对于正比例函数，系数， ∵正比例函数图象恒过原点， ∴该函数图象与坐标轴只有1个交点，故A错误； ∵， ∴正比例函数的图象经过第二、第四象限，故B正确； 将代入，得， ∴图象不经过点，故C错误； ∵， ∴随的增大而减小，故D错误． 【变式2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图所示，正比例函数，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得，正比例函数，的图象经过第一，三象限，且的倾斜程度更大， ∴， 由图象可得，正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 【变式3】已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质． 根据正比例函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：正比例函数过二、四象限 则， 解得（舍去）或 故答案为： 题型07 一次函数的图象与性质 【典例1】一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数、的符号判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，． ∵， ∴函数图象经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象与轴负半轴相交， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【典例2】（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于一次函数的图象和性质，下列叙述不正确的是（     ） A．与轴交于点 B．函数图象不经过第二象限 C．当时 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的交点求法、增减性、图象与系数的关系，逐项判断即可找出错误选项． 【详解】解：令，得，解得，故一次函数与轴交于点，A正确； ，，函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故B正确； ，当时，，，例如满足，此时，故C错误； ，随的增大而增大，故D正确． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数(为常数，)，当时，y随x的增 大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，图象与y轴的正半轴相交，当时，图象与y轴的负 半轴相交，当时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∴C、D选项不符合题意； ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴B选项不符合题意， 综上，A选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．与x轴交于点 B．与y轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过一、二、三象限 【答案】B 【分析】根据一次函数与坐标轴交点的求法、一次函数的增减性和象限分布规律判断各选项即可． 【详解】解：A 、求一次函数与轴交点，令，代入得，解得，因此图象与轴交于点，A错误； B 、求一次函数与轴交点，令，代入得，因此图象与轴交于点，B正确； C 、一次函数中，，因此随的增大而减小，C错误； D、 ，，图象经过第一、二、四象限，D错误． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）请写出一个图像经过第二、四象限且过点的一次函数：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一次函数解析式为，根据图像经过的象限得到的取值范围，代入已知点坐标得到的值，写出符合要求的解析式即可． 【详解】解：设所求一次函数解析式为，， ∵一次函数图像经过第二、四象限， ∴， ∵函数图像经过点， ∴把，代入解析式得， 解得， 取，满足，因此得到一个满足条件的一次函数为． 题型08 一次函数图象共存问题 【典例1】两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 【变式1】如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 故选：D． 【变式2】两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式的关系式，是解题的关键．利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】解：、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故A错误； 、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故B错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故C正确； 、如果过第二、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故D错误． 故选：C． 题型09 求一次函数解析式 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和代入一次函数，分别求出与，即可得到答案； （2）根据得到随的增大而减小，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知，一次函数的表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值即可． 【详解】（1）解： 与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求解即可； （3）将代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为． （2）解：将代入函数得：． （3）解：将代入函数得：， 解得． 题型10 比较一次函数值或自变量的大小 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的系数判断随的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到值的大小关系． 【详解】解：直线中，系数， 随的增大而减小。 三个点的横坐标满足， 对应值满足． 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数系数判断随的变化趋势，再将转化为时的函数值，比较横坐标大小即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵是时的取值，三个横坐标满足， ∴对应函数值满足，即． 【变式2】（25-26八年级下·新疆·期末）点和点是一次函数的图象上的两点，则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式确定的符号，利用一次函数的性质判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小． 【详解】解： 在一次函数中，． 随的增大而减小． ． ． 【变式3】直线 上有两点和，若，则___________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而减小，由已知即可判断大小关系． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 题型11 画一次函数图象 【典例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 则， ∴， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：列表如下： … 3 0 … … 1 … 函数图象如下所示： 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期末）一个一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1)； (2)图象如图所示： 点不在该函数图象上． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）根据关系式画出图象，把点的坐标代入函数关系式验证即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 函数的图象经过点和，    解得 这个一次函数的解析式为． （2）解：图略； 把代入解析式：， 所以点不在该函数图象上． 题型12 一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将代入一次函数解析式，即可求出对应的y值，得到交点坐标． 【详解】解：将代入得：， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是． 【典例2】已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【变式1】一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标的求法、点的对称等知识，先求出直线与轴的交点的坐标，再由点的对称性质求解即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质、点的对称性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点， 当时，，解得，即， 点关于轴的对称点是， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数，当时，；当时， ∴ 解得：， 解析式： （2）令，即 解得： ∴该直线与x轴的交点坐标为 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； 【答案】(1) (2)该函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时，y的值和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该一次函数的解析式为， 在中，当时，，当时，，解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 题型13 一次函数的平移 【典例1】（25-26八年级下·广东汕头·期末）把的图象沿轴向上平移个单位后所得图象的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向上平移个单位，遵循“上加下减”的规律，原函数解析式为， ∴平移后解析式为． 【典例2】（25-26八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数图象的平移得到，再把点代入计算得到； （2）根据题意可得当时，不等式恒成立，即恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴该函数解析式为， 把点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于的值， ∴当时，不等式恒成立，即恒成立， 当时，，成立； 当时， 若，则，与矛盾， 若，则， ∵，故成立， ∴， 综上所述，的取值范围为． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数和的符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：直线向上平移个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为， ∵， ∴直线经过第一，三象限， ∵ ， ∴ 直线与轴交于正半轴，经过第二象限， 因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限． 【变式2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】10 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴ 【变式3】（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 【答案】 【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出常数项，即可得到直线解析式． 【详解】解：设平行于的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴这条直线的解析式为． 题型14 一次函数规律探究问题 【典例1】如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时， ； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 【变式3】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 题型15 一次函数的实际应用 【典例1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总路程与已行驶路程的关系得到函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可得到结果． 【详解】∵汽车平均速度为40千米/时，行驶时间为t时， ∴汽车已行驶的路程为， ∵北京到天津总路程为120千米，汽车距天津的路程为s， ∴， 又∵汽车从北京到天津的总时间为， 结合实际意义可知t非负，且行驶最多3小时就到达天津， ∴自变量t的取值范围是， 即函数关系为． 【典例2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． (1)分别写出、关于的函数表达式； (2)若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（为正整数），（为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出、对应的一次函数表达式． （2）分别列出、、三种关系式，依次解不等式、方程，结合为正整数的条件分类说明对应选择的方案． 【详解】（1）解：（为正整数），（为正整数）； （2）解：①当时，， 解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ②当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ③当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 答：每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二． 【变式1】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费（单位：元）与物件质量（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 【答案】 【分析】根据题意，总快递费由首重费用和续重费用两部分组成，先求出超过千克部分的质量，再根据收费规则列出函数关系式，化简后即可得到结果． 【详解】解：当物件质量千克时，快递费分为两部分： 首重（千克内）固定收费元； 超过千克的续重部分质量为千克，续重费用为元， 总快递费：， ∴函数表达式为． 【变式2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买块甲型卡和块乙型卡共需万元，购买块甲型卡和块乙型卡共需万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的倍，如何分配两种GPU卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)每块甲型卡万元，每块乙型卡万元 (2)采购甲型卡块，乙型卡块，总费用最少，为万元 【分析】（1）设甲型卡每块万元，乙型卡每块万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型卡每块万元，乙型卡每块万元， ∵购买块甲型卡和块乙型卡共需万元，购买块甲型卡和块乙型卡共需万元， ∴， 解得：， 答：每块甲型卡万元，每块乙型卡万元． （2）解：设采购甲型卡块，则采购乙型卡块， ∵甲型卡的数量不少于乙型卡数量的倍， ∴， 解得：， 设总费用为， ∴， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时，， ∴（万元）， ∴采购甲型卡块，乙型卡块时，总费用最少，为万元． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，设桌面上碗的总高度为，碗的个数为（个），则与满足一次函数关系，几组对应值如下表所示，根据表格信息，解答下列问题： 碗的数量个 1 2 3 4 5 … 总高度 5.2 6.4 7.6 8.8 10 … (1)求与之间的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当碗的数量为10个时，求这些碗叠放的总高度． 【答案】(1) (2)cm 【分析】（1）已知与是一次函数关系，设解析式为，从表格中选取两组、的对应值代入，联立二元一次方程组求出、，即可得到函数解析式． （2）将代入已求出的一次函数解析式，计算对应的值，即为叠放总高度． 【详解】（1）解：设与的一次函数解析式为()． 由表格可知，当时，；当时，， 代入解析式得方程组： ， 解得，． 因此与之间的函数解析式为：． （2）解：把代入， ． 即碗的数量为个时，总高度为cm． 【变式4】综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． (1)任务1：利用“，；，”这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． (2)任务2：利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【分析】（1）观察实验数据知，水面高度与流水时间的函数符合一次函数的特征，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）所求函数解析式，计算当时的自变量值，即可求解． 【详解】（1）解：由表中数据可得：每过10分钟，水面高度h减少约，所以水面高度h是流水时间t的一次函数， 设，把，；，代入得：， 解得， ∴， 答：水面高度与流水时间的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 而，，即10时30分， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 题型16 一次函数与一元一次方程结合 【典例1】如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 【变式1】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 题型17 一次函数与二元一次方程组结合 【典例1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解就是交点的横纵坐标，即． 【变式1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，直线与直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据两个一次函数的图象交于点，得方程组的解为； 【变式2】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标． 【详解】解：将已知方程组中的两个方程变形得到， ， ∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先求出点，再观察图象即可求解． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， ∴点， ∴观察图象可知，则关于，的二元一次方程组的解为． 题型18 一次函数与不等式结合 【典例1】已知一次函数的图像如图所示，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象找到函数图象在y轴左侧时函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是． 【典例2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线与x轴交于点，与直线的交点P的纵坐标为2． (1)求P的坐标及k，b的值； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由直线求出交点，再由待定系数法求解即可； （2）由函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意将代入，得， 解得：， ∴点， 将代入， 则， 解得：； （2）解：由函数图象可得，当时，直线在直线的上方， ∴的解集为． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，找出直线在直线下方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴观察图形，当时，直线在直线的下方， ∴当时，x的取值范围是． 【变式2】如图，直线和直线相交于点，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】找出的图像在的图像上方部分对应的的取值范围即为所求不等式的解集． 【详解】解：由图像得当时，， 故不等式的解集为． 【变式3】（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． (1)由图可知，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】（1）根据函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时自变量的取值范围即可得到答案； （2）①利用待定系数法求出直线的解析式，根据不等式的解集可得一次函数与一次函数的交点的横坐标为，据此可求出点B的坐标；②把点B的坐标代入中求解a即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴由函数图象可知，不等式的解集是； （2）解：①∵一次函数的图象经过点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵不等式的解集是， ∴一次函数与一次函数的交点的横坐标为， 在中，当时，， ∴； ②把点B的坐标代入得，解得． 【变式4】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，一次函数和的图象分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是_____；关于的不等式的解集是_____； (2)关于的不等式组的解集是_____； (3)若点的坐标为， ①关于的不等式的解集是_____； ②求的面积． 【答案】(1)；； (2)； (3)①；②21 【分析】（1）利用直线与轴的交点即时，求出对应的的值，进而得出答案； （2）根据函数图象，可得，时，；，时，；即可得到解集； （3）①利用两条直线的交点坐标，结合函数图象求出不等式的解集即可；②根据点、、的坐标，即可求出答案； 【详解】（1）解：由函数图象可得，一次函数与轴交于点，点的坐标为， ∴的解是； ∵的图象与轴交于点，点的坐标为， ∴的解集是； （2）解：由函数图象，可得，时，；，时，； ∴关于的不等式组的解集为：． （3）解：①∵点， ∴由函数图象可得，关于的不等式的解集为：； ②，， ， ． 题型19 一次函数与几何综合 【典例1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知为直角三角形，点P、Q分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的坐标为，解答下列问题： (1)求y关于x的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积S关于x的函数关系式； (3)如果的面积等于4，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）利用三角形的面积公式建立函数关系式即可； （3）由的面积等于4可得，进一步求解的面积即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设直线的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为为， ∵点， ∴与的函数关系式为． （2）解：如图，过点作轴于点， ∴，． ∵，， ∴， ∴的面积S关于x的函数关系式为： . （3）解：当时， ∴， 解得：，即， ∴的面积为. 【变式1】如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A，B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影三角形，则这三个阴影三角形的面积之和为______． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)判断直线上是否存在点，使的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)8 (3)或 【分析】（1）将代入，可求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）所求可得的面积是16，则可得到，据此求出点P的横坐标，再求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入得 解得， ； （2）解：在中，当时，， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得，， ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积是16， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点的坐标为或． 题型20 一次函数中动点问题 【典例1】如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点． (1)求点的坐标和的表达式； (2)若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒． ①当点在运动过程中，请直接写出的面积与的函数关系式； ②求出当为多少时，的面积等于； 【答案】(1)； (2)①当在、之间时，；当在的右边时，；②秒或秒 【分析】本题考查一次函数的性质、三角形面积公式，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）将点P坐标代入直线表达式求出点P坐标，再将点P坐标代入直线的表达式，求出的值； （2）①先求出点A、C的坐标，进而得到的长度，再根据点Q的运动情况分类讨论的面积与的函数关系式； ②将代入①中得到的函数表达式，求出的值． 【详解】（1）解：点为直线上一点， ，解得， 点的坐标为， 把点的坐标代入，得，，解得， 的表达式为； （2）解：①由题意可知，到轴的距离为， 令可得，解得， 点坐标为， 在中，令可得，解得， 点坐标为； ， 当在、之间时，则， ； 当在的右边时，则， ； 令可得或， 解得或， 即当的值为秒或秒时的面积等于． 【变式1】一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】解：当点H在上时，如图所示，    ∴， ∴， ∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，    ∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，    ∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①错误，不符合题意； 当时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②正确，符合题意； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③错误，不符合题意； 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④错误，不符合题意； 综合上所述：正确的有1个， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且满足． (1)直接写出、两点的坐标：__________，__________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动．设点运动时间为秒．连结，当沿射线匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值，并写出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，作交线段于点，连接交于点，当时，求点坐标和点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，t的值为1.5或3.5，点P的坐标为或 (3)点 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出，则此题可解； （2）先根据点，求出，再设点P运动的时间为t秒，则进而得出，然后根据可得，接下来求出或，可得答案； （3）根据题意可得点Q的纵坐标为2，再求出直线的关系式，进而得出点，此时可得点，然后求出直线的关系式，最后令求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得, ∴点； （2）解：存在， 由（1）知点， ∴， ∴． 设点P运动的时间为t秒，则 ∴点P的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为， 所以存在，t的值为1.5或3.5，此时点P的坐标为或； （3）解：∵，且点Q在线段上， ∴点Q的纵坐标为2， 设直线的关系式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， 解得， ∴点． ∵轴， ∴点． 设直线的关系式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，得， ∴点， 所以点P的坐标为，点D的坐标为． 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）下列函数图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过轴上任意一点作轴的垂线，若与函数图象有且仅有一个交点，则该图象表示函数的图象；若与函数图象有不止一个交点，则该图象不是函数图象，据此判断即可． 【详解】解： ∵在A，B，D三个图象中，与轴平行的直线均与函数图象只有一个交点， ∴A，B，D三个图象都是函数图象，即是的函数； ∵C图象中有两个交点，存在与轴平行的直线与函数图象有两个交点， ∴C图象中，y不是x的函数． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的值增大而增大 C．函数必经过点 D．与x轴交于 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】解：已知函数为，可得，， 对于A选项：∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，A正确； 对于B选项：∵， ∴随的增大而减小，B错误； 对于C选项：当时，， ∴函数不经过点，C错误； 对于D选项：函数与轴相交时，令得，解得， ∴函数与轴交于，D错误． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位（单位：）和时间（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当为时，对应的时间为（     ） … … … … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据表格数据得到h与t的变化规律，得出h关于t的关系式，再代入求解t即可． 【详解】解：观察表格数据可得每增加，增加，且时，验证可知所有表格数据都符合该规律， ∴与的关系式为， 将代入关系式得 ， 解得， ∴当为时，对应的时间为． 4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．风筝在时高度和时高度相同 C．在到之间，风筝的高度持续下降 D．在时风筝达到最大高度为 【答案】C 【分析】根据图象逐项判断即可． 【详解】解：A、由图可得，风筝最初的高度为，说法正确，故选项不符合题意； B、由图可得，风筝在时高度和时高度都是，高度相同，说法正确，故选项不符合题意； C、由图可得，在到之间，风筝的高度是上升的，在到之间，风筝的高度是下降的，说法错误，故选项符合题意； D、由图可得，在时风筝达到最大高度为，说法正确，故选项不符合题意； 5．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）若点和在一次函数的图象上，则________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小，即可得到结论． 【详解】解：对于一次函数，可得一次项系数， 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 点和在一次函数的图象上，且， ． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过点 当时， 方程的解是． 7．已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y是x的一次函数，设，再运用待定系数法求解函数的解析式，即可作答． （2）结合，以及根据一次函数的函数值为，建立方程，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 由条件可得， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：由（1）知y与x之间的函数解析式为， ∵一次函数的函数值为， 即， 故， 解得． 8．（25-26八年级下·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平移之后恰好经过点，得到一次函数的图象． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平移的性质求得，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，解得，根据这个不等式在时，恒成立，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意得， 解得， ∵这个不等式在时，恒成立， ∴， 解得． 9．如图，已知一次函数和的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求关于的方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解答本题的关键． （1）利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求解； （2）把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， 将代入，得：， ∴一次函数和的图象的交点坐标为， ∴方程组的解为． （2）解：∵点在的图象上， 将，代入解析式：， 解得：． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 【答案】(1) (2) (3) (4)若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故 【分析】（1）由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加，据此可得答案； （2）根据（1）即可得到答案； （3）根据（2）可得s随v的增大而增大，据此求出时，s的值即可； （4）求出时，s的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加， ∴； （2）解：由（1）得； （3）解：∵，， ∴s随v的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大，最大值为， 答：在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故． 1．两条直线与 在同一坐标系中的图象可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析两条直线与的图象可能性，需结合一次函数中与的符号验证系数的一致性． 【详解】解：选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与矛盾，故选项不符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，故选项符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与，矛盾，故选项不符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与矛盾，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断． 【详解】解：∵直线经过第二、四象限， ∴， ∵直线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程即方程的解是，故正确； 当时，，故错误； 当时，函数， ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴， ∴，故正确； 故选：D． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，已知函数和的图象相交于点，则根据图象可得关于的不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】直接根据函数图象得出结论即可． 【详解】解：根据函数的图象可知，函数和的图象交于点， 当时，的图象都在的图象下方， 关于的不等式的解集为：． 4．（25-26八年级下·贵州六盘水·期末）如图，直线：与轴交于点，直线：与直线交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为________；当时，的取值范围是________； (2)求直线的函数表达式； (3)将直线沿轴方向平移后与直线交于点，若，直接写出直线平移后的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）将点代入求解点C的坐标；的解集即为直线在直线下方时，对应交点横坐标的取值范围； （2）将点、代入，解方程组即可； （3）由题意可设平移后的函数表达式为，则，那么，则，可求点坐标，再代入平移后的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点 ∴ ∴， ∴当时，的取值范围是； （2）解：将点、代入， 可得 解得 ∴直线的函数表达式为； （3）解：由题意可设平移后的函数表达式为 对于，当时，则， 解得 ∴ ∴ ∴ ∴ 如图： ∴ 解得 当时，则，解得 ∴ 将点代入，则， ∴平移后的表达式为； 当时，则，解得 ∴ 将点代入，则，解得 ∴平移后的表达式为， 综上：平移后的表达式为或． 5．（25-26八年级下·山东德州·期末）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，为让每个人都能在家门口吃到特色美食，于是长沙特色美食店隆重入驻夏津，销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种食品共80份送给员工（两种食品均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 【答案】(1)25元；10元 (2)购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元 【分析】（1）设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得出，再求出的范围，根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元， 根据题意，得，解得． 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元． （2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元， 根据题意得：． ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，． 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．与轴交于点，且．点坐标为． (1)直接写出_________，_________，_________； (2)动点在线段上，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)若为直线上一点， ①求与满足的数量关系为_________； ②若的面积大于面积的，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3)①；②或且 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性得出当等式成立时，两个式子的值均为，列二元一次方程组，解方程得到的值，进而得到的面积． （2）设动点，先根据已知条件解得，进而根据待定系数法得到直线和直线的表达式，联立两直线方程，即可得到答案． （3）①根据点为直线上一点即可求得；②根据当点在点之间时，当点在点右侧时，当点在点左侧时，分情况讨论，解得的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，， ∴可列方程，解得， ∴点， ∴，， ∴的面积为：； 故答案为：；；； （2）解：设动点，其中， ∵， ∴，解得：， ∴， 设直线的表达式为：， ∵直线经过、， ∴代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ∵直线经过点， ∴代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立两直线方程，得，解得， ∴交点坐标为：； （3）解：①∵为直线上一点， 当时，， 故答案为：； ②如图，当点在点之间时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 如图，当点在点右侧时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 如图，当点在点左侧时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为：或且． 7．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求该一次函数和正比例函数的表达式； (2)有一动点在线段和射线上运动．问是否存在点，使的面积是的面积的?若存在，求此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为；正比例函数的表达式为 (2)存在，的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得的面积为，根据题意可得的面积为，进而分类讨论，①当在线段上时，设，②当在射线上时，设，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入得：， 解得， 正比例函数的表达式为. （2）存在点，使的面积是的面积的，理由如下： 中，令，得， . 又，， 的面积为：. 的面积是的面积的， 的面积为：. ①当在线段上时，设，则， ， . ②当在射线上时，设，则， 或， 或， 综上，的坐标为或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 函数与一次函数复习讲义 教学目标 1. 了解变量、常量的含义，理解函数的概念，掌握函数的三种表示方法，能判断两个变量是否构成函数关系； 2. 理解自变量的取值范围的意义，会求简单函数的自变量取值范围，能根据自变量的值求出对应的函数值； 3. 理解正比例函数、一次函数的定义与解析式形式，掌握一次函数的图像与基本性质； 4. 会用待定系数法求一次函数解析式，能结合函数图像解决简单的函数问题； 5. 能够利用一次函数解决生活中的实际问题，体会函数建模思想与数形结合思想。 教学重难点 1. 重点 （1）函数的概念及自变量取值范围、函数值的求解； （2）一次函数、正比例函数的图像与性质； （3）待定系数法求一次函数解析式； （4）一次函数的简单实际应用。 2. 难点 （1）准确理解函数的对应关系，把握函数概念的本质； （2）结合一次函数图像分析函数增减性、参数意义等问题； （3）利用一次函数模型分析、解决实际问题，准确结合图像获取和运用信息。 知识点01 函数 1.变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。 2.函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 3.函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法。 定义 特点 备注 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛 解析法 用数学式子表示函数关系的方法 准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然 其中的数学式子叫作函数表达式或函数解析式 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律 4.函数的图象定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 5.由函数表达式画函数图象的一般步骤： ①列表：列出自变量与函数的一些对应值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； ③连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。 知识点02 一次函数的概念与表达式 1.一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫作一次函数。 2.正比例函数的定义：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 知识点03 正比例函数的图像与性质 1.正比例函数的图象：正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图像是一条过原点的直线。 2.正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 知识点04 一次函数的图像与性质 1.一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3.一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 直线趋势 函数从左到右上升 函数从左到右下降 与y轴交点的位置 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快 4.两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 知识点05 一次函数的平移、对称 1.图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 2.直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称：y＝﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称：y＝﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称：y＝kx﹣b（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 知识点06 一次函数与一元一次方程 1.一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 知识点07 一次函数与一元一次不等式 1.一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2.用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： 。 知识点08 一次函数与二元一次方程 1. 二元一次方程与一次函数的等价转化： 任意二元一次方程：可变形为一次函数形式： 。 2.本质结论：以二元一次方程所有解为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；一次函数直线上每一个点的横、纵坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 知识点09 一次函数与二元一次方程组 1. 二元一次方程组与两条一次函数直线 把二元一次方程组的两个方程分别化为、两条直线： 方程组的解 = 两条直线交点的坐标；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 2.三种位置关系（方程组解的三种情况）： 两条直线斜率、截距关系 直线位置 方程组解的情况 图像特征 （斜率不等） 两条直线相交 有唯一一组解 存在唯一交点 （斜率相等，截距不等） 两条直线平行无交点 无解 无公共点 （斜率、截距全相等） 两条直线重合 无数组解 直线上所有点都是解 3.图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①把方程组中两个二元一次方程，分别化成形式； ②在同一平面直角坐标系中画出两条直线； ③读出两条直线交点的横、纵坐标； ④写出方程组的解。 4．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤： ①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组； ②用代入消元或加减消元法解方程组； ③方程组的解就是交点坐标。 知识点10 一次函数的实际应用 1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 2.一次函数的实际应用一般解题步骤： ①设：设变量，列解析式 ； ②求：代入两组数据，用待定系数法求出 ； ③限：根据实际意义写出自变量取值范围； ④解：利用函数增减性（递增，递减）求值、最值、方案，最后作答。 注：①必须写取值范围；②最值只在区间端点取；③看清 的正负，别搞反增减。 题型01 函数的概念及表示方法 【典例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：，表示吨）之间的关系如下表： 出水速度 … 时间 … 用式子表示与的关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知一个长方形的周长为30，设长方形的长为，面积为，则与的关系式为________． 题型02 函数图象 【典例1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】小明的父亲饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，表示在一定条件下，温度（单位：）对大棚内某种植物光合作用和呼吸作用的影响，下列说法错误的是（     ） A．当温度为时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率 B．在温度从升高到时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高 C．若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内温度应该设置为 D．温度越高，呼吸作用消耗的氧气就越多 【变式3】6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 题型03 一次函数的判断 【典例1】下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 题型04 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【变式1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】若函数是y关于x的正比例函数，求． 【变式3】已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 题型05 求一次函数的自变量或函数值 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）点在一次函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点在一次函数的图象上，则______． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 题型06 正比例函数的图象与性质 【典例1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）若正比例函数，随的增大而增大，则可以是________． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象与坐标轴有两个交点 B．图象经过第二、第四象限 C．图象经过点 D．随的增大而增大 【变式2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图所示，正比例函数，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为_______． 题型07 一次函数的图象与性质 【典例1】一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于一次函数的图象和性质，下列叙述不正确的是（     ） A．与轴交于点 B．函数图象不经过第二象限 C．当时 D．随的增大而增大 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．与x轴交于点 B．与y轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过一、二、三象限 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）请写出一个图像经过第二、四象限且过点的一次函数：___________． 题型08 一次函数图象共存问题 【典例1】两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2】两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 题型09 求一次函数解析式 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 【变式1】已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 题型10 比较一次函数值或自变量的大小 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·新疆·期末）点和点是一次函数的图象上的两点，则________（填“”或“”）． 【变式3】直线 上有两点和，若，则___________． 题型11 画一次函数图象 【典例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． … 3 0 … … 1 … 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期末）一个一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 题型12 一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【变式1】一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是________． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； 题型13 一次函数的平移 【典例1】（25-26八年级下·广东汕头·期末）把的图象沿轴向上平移个单位后所得图象的关系式是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 题型14 一次函数规律探究问题 【典例1】如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则________． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【变式3】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 题型15 一次函数的实际应用 【典例1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． (1)分别写出、关于的函数表达式； (2)若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费（单位：元）与物件质量（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 【变式2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买块甲型卡和块乙型卡共需万元，购买块甲型卡和块乙型卡共需万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的倍，如何分配两种GPU卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，设桌面上碗的总高度为，碗的个数为（个），则与满足一次函数关系，几组对应值如下表所示，根据表格信息，解答下列问题： 碗的数量个 1 2 3 4 5 … 总高度 5.2 6.4 7.6 8.8 10 … (1)求与之间的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当碗的数量为10个时，求这些碗叠放的总高度． 【变式4】综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． (1)任务1：利用“，；，”这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． (2)任务2：利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 题型16 一次函数与一元一次方程结合 【典例1】如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 题型17 一次函数与二元一次方程组结合 【典例1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，直线与直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 题型18 一次函数与不等式结合 【典例1】已知一次函数的图像如图所示，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线与x轴交于点，与直线的交点P的纵坐标为2． (1)求P的坐标及k，b的值； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线和直线相交于点，不等式的解集是____________． 【变式3】（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． (1)由图可知，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 【变式4】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，一次函数和的图象分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是_____；关于的不等式的解集是_____； (2)关于的不等式组的解集是_____； (3)若点的坐标为， ①关于的不等式的解集是_____； ②求的面积． 题型19 一次函数与几何综合 【典例1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知为直角三角形，点P、Q分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的坐标为，解答下列问题： (1)求y关于x的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积S关于x的函数关系式； (3)如果的面积等于4，求的面积． 【变式1】如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A，B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影三角形，则这三个阴影三角形的面积之和为______． 【变式2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)判断直线上是否存在点，使的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型20 一次函数中动点问题 【典例1】如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点． (1)求点的坐标和的表达式； (2)若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒． ①当点在运动过程中，请直接写出的面积与的函数关系式； ②求出当为多少时，的面积等于； 【变式1】一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且满足． (1)直接写出、两点的坐标：__________，__________； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动．设点运动时间为秒．连结，当沿射线匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值，并写出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，作交线段于点，连接交于点，当时，求点坐标和点的坐标． 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）下列函数图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的值增大而增大 C．函数必经过点 D．与x轴交于 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位（单位：）和时间（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当为时，对应的时间为（     ） … … … … A． B． C． D． 4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．风筝在时高度和时高度相同 C．在到之间，风筝的高度持续下降 D．在时风筝达到最大高度为 5．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）若点和在一次函数的图象上，则________．（填“”或“”） 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 7．已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 8．（25-26八年级下·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平移之后恰好经过点，得到一次函数的图象． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 9．如图，已知一次函数和的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求关于的方程组的解； (2)求的值． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 16 (1)观察表格，根据数据规律可得：_______． (2)直接写出与之间的函数关系式：_______． (3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？ (4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？ 1．两条直线与 在同一坐标系中的图象可能是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，已知函数和的图象相交于点，则根据图象可得关于的不等式的解集是_________． 4．（25-26八年级下·贵州六盘水·期末）如图，直线：与轴交于点，直线：与直线交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为________；当时，的取值范围是________； (2)求直线的函数表达式； (3)将直线沿轴方向平移后与直线交于点，若，直接写出直线平移后的函数表达式． 5．（25-26八年级下·山东德州·期末）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，为让每个人都能在家门口吃到特色美食，于是长沙特色美食店隆重入驻夏津，销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种食品共80份送给员工（两种食品均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．与轴交于点，且．点坐标为． (1)直接写出_________，_________，_________； (2)动点在线段上，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)若为直线上一点， ①求与满足的数量关系为_________； ②若的面积大于面积的，求的取值范围． 7．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求该一次函数和正比例函数的表达式； (2)有一动点在线段和射线上运动．问是否存在点，使的面积是的面积的?若存在，求此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $