第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理三角形边角关系及命题与证明的知识体系，将三角形概念、分类、性质（如三边关系、内角和）及命题证明等要点按“概念-性质-应用”逻辑组织，用分类表格归纳按角与按边分类标准，突出三边关系、内角和定理等重难点的内在联系。 讲义以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层题型设计为亮点，如“三角形折叠问题”通过图形变换培养推理意识，“网格中三角形面积计算”结合几何直观提升空间观念。基础题夯实概念（如判断三角形类型），综合题（如外角性质与内角和综合计算）提升逻辑推理，教师可据此实施分层教学，学生自主复习时能通过题型示例明确解题方法。

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明复习讲义 教学目标 1. 认识三角形及其基本元素，掌握三角形的分类，理解并掌握三角形三边关系、三角形内角和与外角性质； 2. 了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会识别、画出三种线段，并能运用其性质简单解题； 3. 理解命题、真命题、假命题、公理、定理、证明的基本概念，能区分命题的题设与结论； 4. 掌握基本的几何证明格式与推理步骤，能完成简单几何命题的证明与推理计算； 5. 初步建立几何推理思维，养成严谨规范的几何书写与逻辑论证习惯。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形三边关系、三角形内角和定理及外角性质的理解与应用； （2）三角形的高、中线、角平分线的认识与简单运用； （3）命题的结构辨析，简单几何证明的规范书写与逻辑推理。 2. 难点 （1）灵活运用三角形三边关系判断线段能否组成三角形、求边长取值范围； （2）复杂图形中三角形外角性质的综合运用与角度计算； （3）规范几何推理语言，理清证明思路，掌握严谨的几何证明步骤。 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.三角形中的基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角。 3三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 知识点02 三角形的分类 1.三角形的分类： ①按角分类：三角形 ②按边分类： 2.与等腰三角形的有关概念： ①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；（其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角） ②三边都相等的三角形叫作等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 知识点03 三角形的边 1.三角形的三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 2.三角形的高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高。 3.三角形高线的交点：三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。 4.垂心的位置：① 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，三条高所在直线的交点也在三角形的外部。 5.三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 6.三角形的角平分线的交点：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 7.三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线。 8.三角形的中线的交点：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部。 知识点04 三角形的角 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 2.三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角。 3.三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 4.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 5.三角形的外角和为360°。 知识点05 命题 1. 定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义。 2.命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题。 3.真命题：正确的命题叫作真命题。 4.假命题：错误的命题叫作假命题。 5.条件与结论：命题由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式，如果后面是命题的条件，那么后面是命题的结论。 6.互逆命题：将命题“如果，那么”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果，那么”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题。 7.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 知识点06 定理与证明 1．定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法推断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理。 2.公理：经过人类长期实践、反复验证，不需要再证明，被大家公认正确，并作为推理、证明其他命题依据的基本事实叫作公理。 3.演绎推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这样的方法称为演绎推理（或演绎法）。 4.证明：演绎推理的过程，就是演绎证明。 5.符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”，证明中括号里的为推理依据。 6.辅助线：证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线，辅助线通常画成虚线。 7.推论：由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 知识07 直角三角形的两锐角互余 推论1：直角三角形的两锐角互余。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 题型01 三角形的概念 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式2】（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 题型02 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式1】（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 题型03 三角形的三边关系 【典例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【变式3】已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 题型04 等腰三角形的定义 【典例1】等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【变式1】等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【变式3】等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【变式4】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 题型05 与三角形的高、中线、角平分线有关的计算 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式2】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式3】如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【变式4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 题型06 三角形的内角和 【典例1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【变式2】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 题型07 网格中的三角形 【典例1】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点A，B，C的横、纵坐标均为整数，则三角形的面积为_________． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． (1)直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； (2)求三角形的面积． 【变式3】如图，在平面直角坐标系内，描出，，，四个点． (1)线段，有什么位置关系和数量关系？ (2)顺次连接A，B，C，D四点，求四边形的面积． 题型08 三角形中折叠问题 【典例1】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 【变式2】如图，将一角折叠，若，则_______． 【变式3】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 题型09 命题 【典例1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 【典例2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【变式1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列命题中，假命题的是（     ） A．内错角相等 B．同角的余角相等 C．对顶角相等 D．邻补角是互补的角 【变式2】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式4】如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 题型10 举反例 【典例1】（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期末）举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【变式3】（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 题型11 定理与证明 【典例1】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【变式1】“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【变式2】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 题型12 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分交于点，于点．若，，求的度数． 【变式3】如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 题型13 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【变式1】若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【变式2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 题型14 三角形外角的定义与性质 【典例1】如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【变式2】（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，的外角的平分线交的延长线于点E．若平分，，，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图：为线段延长线上一点，，分别平分、，． (1)若，，，求的度数； (2)已知：，求证：． 题型15 三角形的内角和与外角和综合 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【变式1】如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交边于点，点是边上一点，延长至点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1．（25-26七年级下·广西梧州·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．相等的角是直角 2．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个三角形的两个内角的度数分别是和，按角分类它是________三角形． 5．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 7．（25-26七年级下·山东德州·期末）下列命题①27的立方根是，②如果，那么，③相等的角是对顶角，④同旁内角互补，两直线平行，其中真命题是____________（填序号）． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 9．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 11．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点、分别在边、上． (1)若，，且，求的度数； (2)若，，试说明：． 4．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明复习讲义 教学目标 1. 认识三角形及其基本元素，掌握三角形的分类，理解并掌握三角形三边关系、三角形内角和与外角性质； 2. 了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会识别、画出三种线段，并能运用其性质简单解题； 3. 理解命题、真命题、假命题、公理、定理、证明的基本概念，能区分命题的题设与结论； 4. 掌握基本的几何证明格式与推理步骤，能完成简单几何命题的证明与推理计算； 5. 初步建立几何推理思维，养成严谨规范的几何书写与逻辑论证习惯。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形三边关系、三角形内角和定理及外角性质的理解与应用； （2）三角形的高、中线、角平分线的认识与简单运用； （3）命题的结构辨析，简单几何证明的规范书写与逻辑推理。 2. 难点 （1）灵活运用三角形三边关系判断线段能否组成三角形、求边长取值范围； （2）复杂图形中三角形外角性质的综合运用与角度计算； （3）规范几何推理语言，理清证明思路，掌握严谨的几何证明步骤。 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.三角形中的基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角。 3三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 知识点02 三角形的分类 1.三角形的分类： ①按角分类：三角形 ②按边分类： 2.与等腰三角形的有关概念： ①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；（其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角） ②三边都相等的三角形叫作等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 知识点03 三角形的边 1.三角形的三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 2.三角形的高：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高。 3.三角形高线的交点：三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。 4.垂心的位置：① 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，三条高所在直线的交点也在三角形的外部。 5.三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 6.三角形的角平分线的交点：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 7.三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线。 8.三角形的中线的交点：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部。 知识点04 三角形的角 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 2.三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角。 3.三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 4.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 5.三角形的外角和为360°。 知识点05 命题 1. 定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义。 2.命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题。 3.真命题：正确的命题叫作真命题。 4.假命题：错误的命题叫作假命题。 5.条件与结论：命题由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式，如果后面是命题的条件，那么后面是命题的结论。 6.互逆命题：将命题“如果，那么”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果，那么”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题。 7.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 知识点06 定理与证明 1．定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法推断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理。 2.公理：经过人类长期实践、反复验证，不需要再证明，被大家公认正确，并作为推理、证明其他命题依据的基本事实叫作公理。 3.演绎推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这样的方法称为演绎推理（或演绎法）。 4.证明：演绎推理的过程，就是演绎证明。 5.符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”，证明中括号里的为推理依据。 6.辅助线：证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线，辅助线通常画成虚线。 7.推论：由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 知识07 直角三角形的两锐角互余 推论1：直角三角形的两锐角互余。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 题型01 三角形的概念 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 题型02 三角形的分类 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理列方程求出的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状； 【详解】解：三角形内角和等于， ， 解得：， 最大内角， 这个三角形是直角三角形． 【变式2】一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【答案】 直角三角形 【分析】先计算三个内角的总份数，再根据三角形内角和为，按比例分配求出各内角的度数，根据最大内角的度数判断三角形类型． 【详解】解：计算总份数： ∵三角形内角和为， ∴计算每份对应角度： 分别计算三个内角度数： ∵最大内角为， ∴该三角形为直角三角形． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 【答案】 【详解】解：①由和三角形内角和为，得， 所以，故是直角三角形． ②设，，，则，解得， 所以，故是直角三角形． ③由，得，则，故是直角三角形． 因此，能确定是直角三角形有①②③共3个． 题型03 三角形的三边关系 【典例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【变式2】（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 【变式3】已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 【答案】或 【分析】根据三角形三边关系求出的范围，结合边为最长边且为整数求出的值，从而求出的周长． 【详解】解：，， ，即， 边为最长边且为整数， ， 或8， 当时，的周长为， 当时，的周长为， 综上所述，的周长为16或17． 题型04 等腰三角形的定义 【典例1】等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 【变式1】等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 【变式3】等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【答案】 /厘米 【分析】分两种情况讨论，分别以为腰长和为腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，即可得到第三边的长度． 【详解】 该三角形为等腰三角形，两边长分别为和， 分两种情况讨论： 情况一：若为腰长，则第三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去； 情况二：若为腰长，则第三边长为， ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 综上，这个等腰三角形的第三边长为． 【变式4】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 【答案】等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． 题型05 与三角形的高、中线、角平分线有关的计算 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 【典例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合即可得到答案． （2）根据三角形内角和为以及，得到，继续根据三角形内角和为得到，继而得到． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 【变式2】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式3】如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式4】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 题型06 三角形的内角和 【典例1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由同位角相等、两直线平行可得，即，进而得到，最后利用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论； （2）由（1）可得，则，进而得到，再利用三角形内角和定理、对顶角相等列关于的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴，即 ∵，， ∴，解得：． 题型07 网格中的三角形 【典例1】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点A，B，C的横、纵坐标均为整数，则三角形的面积为_________． 【答案】8 【分析】根据网格结构确定点，，的坐标，利用割补法即可求解 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． (1)直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)；； (2)4 【分析】（1）根据点所在的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用网格求面积即可. 【详解】（1）略 （2）解：三角形的面积. 【变式3】如图，在平面直角坐标系内，描出，，，四个点． (1)线段，有什么位置关系和数量关系？ (2)顺次连接A，B，C，D四点，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)15 【分析】（1）根据与纵坐标相等，与纵坐标相等得到轴，轴，，，据此求解即可； （2）连接，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，，， ∴轴，轴，，， ∴，； （2）解：连接， 则四边形的面积． 题型08 三角形中折叠问题 【典例1】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 【变式2】如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) 解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型09 命题 【典例1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 【答案】B 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 垂线段最短，是可以判断真假的陈述句，是命题，故A不符合题意； B. 过点作直线的垂线，是作图指令，不是陈述句，无法判断真假，不属于命题，故B符合题意； C. 取任何数时的值都是正数，是可以判断真假的陈述句，是命题，故C不符合题意； D. 如果，，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，故D不符合题意． 【典例2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【变式1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列命题中，假命题的是（     ） A．内错角相等 B．同角的余角相等 C．对顶角相等 D．邻补角是互补的角 【答案】A 【分析】根据平行线性质，余角、对顶角、邻补角的定义和性质，逐一判断各选项命题的真假． 【详解】解：A、∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题中缺少“两直线平行”的条件，∴该命题是假命题； B、根据余角的性质，同角的余角相等，该命题是真命题； C、对顶角相等是对顶角的基本性质，该命题是真命题； D、邻补角的和为，符合互补角的定义，该命题是真命题． 【变式2】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 【变式3】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式4】如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 题型10 举反例 【典例1】（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.当不等式两边同乘负数时，不等号方向改变，因此当时原命题不成立. 【详解】解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期末）举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 【变式3】（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 题型11 定理与证明 【典例1】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 【变式1】“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【答案】定理 【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 【变式2】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 题型12 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由平行线的性质可得，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分交于点，于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线、三角形内角和与垂直的定义；先利用直角得到的度数，再依次得到、的度数，再根据角平分线得到的度数，最后利用三角形内角和求得结果． 【详解】 解：，，， ， ， ． 平分， ， ． 【变式3】如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （2）由已知可得，可得，结合与的周长之间的关系，即可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长比的周长小， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 【变式1】若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 题型14 三角形外角的定义与性质 【典例1】如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，的外角的平分线交的延长线于点E．若平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形外角的性质求出，根据平分，得出，从而得到，再利用角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图：为线段延长线上一点，，分别平分、，． (1)若，，，求的度数； (2)已知：，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出，然后利用平行线性质得到与，即可求解； （2）先通过三角形外角性质和平行线性质得到，结合，可得到，进而可得， 从而可证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 由三角形外角定理可知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 题型15 三角形的内角和与外角和综合 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． 【变式1】如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可解答； （2）先求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交边于点，点是边上一点，延长至点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由三角形外角性质和角平分线的定义得到，继而得证结论． （2）根据平行线的性质得到，继而得到，根据三角形内角和定理得到，继而得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·广西梧州·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．相等的角是直角 【答案】B 【分析】运用平行线性质、对顶角定理、不等式基本性质判断命题即可． 【详解】解：两直线平行时同位角才相等，故选项是假命题； 对顶角相等，故选项是真命题； 当时，若，则，故选项是假命题； 相等的角不一定是直角，故选项是假命题． 2．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个三角形的两个内角的度数分别是和，按角分类它是________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形的分类，根据三角形内角和定理计算出第三个内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：根据三角形内角和定理，第三个内角的度数为：， 有一个角为的三角形是直角三角形，因此该三角形是直角三角形． 5．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 7．（25-26七年级下·山东德州·期末）下列命题①27的立方根是，②如果，那么，③相等的角是对顶角，④同旁内角互补，两直线平行，其中真命题是____________（填序号）． 【答案】④ 【详解】解：①因为，所以的立方根是，不是，故①是假命题． ② 如果，那么或，∴结论不一定成立，故②是假命题． ③ 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个相等的直角不一定是对顶角，故③是假命题． ④根据平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行，故④是真命题． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 【答案】16 【分析】设，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 【答案】7，不是 【详解】解：三角形的第三边长：， 三边长：5，6，7，三边都不相等， 则不是等腰三角形． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 11．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)； (2) 解：∵， ，， ∵， ． 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 2．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ， 平分， ． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点、分别在边、上． (1)若，，且，求的度数； (2)若，，试说明：． 【答案】(1) (2)， 且， ， ， ， ． 又， ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，进而得出，即可求得，即可求解． （2）根据已知可得，进而得出，结合，即可得出． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， ， ， ， ． （2）略 4．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $