重难点专训35 带电粒子在磁场中运动的多解问题（福建专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦带电粒子在磁场中运动多解问题，通过“成因归类-基础应用-创新拓展”三阶训练，系统提炼四大多解成因，构建“原理-模型-变式”逻辑链条，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |研判·模型总结|4类成因+图示|电性/磁场方向不确定、临界状态不唯一、运动往复性四大多解类型|基于洛伦兹力提供向心力，从粒子属性、磁场特征到边界条件逐步推导多解形成机制| |模拟·基础演练|15题（含三角形/圆形磁场）|轨迹圆动态分析、几何关系构建|单一因素多解（如电性）到简单边界约束（如等腰直角三角形）的应用迁移| |重难·创新演练|15题（含复合场/周期性磁场）|多因素耦合分析、临界极值计算|复杂情境（如交变磁场、多区域磁场）中多解成因的综合应用，提升问题解决能力|

重难点专训35 带电粒子在磁场中运动的多解问题 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 2 重难·创新演练 9 研判·模型总结 带电粒子在磁场中运动的多解问题 技巧总结 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面: ①带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时, 正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直匀 强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b ②磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向, 则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀 强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b ③临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可 能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解 ④运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场,部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多 解,如图所示 模拟·基础演练 1．（多选）如图所示，一个等腰直角三角形abc中，直角边ab长为8L，三角形区域内分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在ac边上距a点2L的P点处有一粒子源，可以沿纸面向磁场区域一侧180°范围内均匀发射质量为m、带电荷量为q（q>0）的带电粒子，粒子的速度大小均为，不计粒子所受重力及粒子间的相互作用，已知sin37°=，sin53°=，则下列说法正确的是（     ） A．带电粒子可以垂直打到bc边上 B．带电粒子可以垂直打到ac边上 C．打到ab边上的粒子数占发射总粒子数的 D．粒子打到ab边上区域的长度为4L 2．（多选）如图所示，以为圆心、为直径的圆的左半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个不计重力、质量相同、带电量相同的带正电粒子和以相同的速率分别沿和方向垂直于磁场射入磁场区域，已知垂直和的夹角都为和三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为，则下列给出的时间关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（多选）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的带正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（     ） A．带电粒子在磁场中顺时针运动 B．若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C．若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D．若v＝，则挡板上MN之间各处均有粒子打在上面 4．（多选）如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，∠C=30∘，∠D=45∘，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面内向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电荷量为−e，且满足。下列说法中错误的是（     ） A．从AC边射出的电子占总电子数的 B．从AD边射出的电子中，速度方向与OC的夹角的取值范围为45°<<135° C．从CD边（含OC、OD段）射出的电子中，最长运动时间为 D．所有从AC边射出的电子中，当=30∘时，所用的运动时间最短 5．（多选）如图所示，在空间存在垂直平面向里的匀强磁场。带电粒子质量为，带电荷量绝对值为，从点以速度飞入磁场，速度方向与轴正方向夹角。粒子恰能经过点。不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．磁感应强度大小为 C．粒子从到的时间等于 D．若只改变粒子入射方向，则粒子一定不能经过点 6．（多选）空间中存在垂直于xOy平面的磁场，x＝a两侧的匀强磁场方向相反，x>a区域的磁感应强度大小为x<a区域的2倍。不同带电粒子以速率v0由原点沿xOy平面射入该磁场，则粒子的轨迹可能为下图中的（     ） A． B． C． D． 7．（多选）在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（     ） A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心 B．沿a点比沿b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 8．（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（     ） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 9．（多选）如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行于PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是（     ） A．不可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 10．（多选）如图所示，在水平xOy平面内存在一正方形区域，正方形的边长，中心为O，其内有垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度，在原点O处有一粒子放射源，可向平面内任意方向发射速度大小均为的带正电粒子，带电粒子的比荷均为，不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．沿x轴正方向发射的粒子将沿y轴负方向射出磁场 B．虚线边界上有粒子射出部分的长度占正方形周长的80% C．粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 11．（多选）如图，一半径为的圆形匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的处有一粒子源，可向纸面内的多个方向发射质量为、电荷量为的同种带电粒子，发射粒子的速率为，发射方向与半径左侧最大夹角为、与半径右侧最大夹角为，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是 A．发射方向与半径左侧夹角为的粒子和发射方向与半径右侧夹角为的粒子从磁场中射出时速度方向平行 B．圆形磁场边界上有粒子打到的弧长为 C．发射的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间比值为 12．（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 13．（多选）如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，在上。大量质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从点以相同速率沿不同方向垂直磁场射入。入射角的粒子，运动轨迹刚好与边界相切。下列说法正确的是（　　） A．入射角的粒子在磁场中运动时间为 B．粒子在磁场中的轨道半径为 C．若入射角的粒子，速度从0逐渐增大，则粒子从离开磁场的边界长度为 D．若速率不变，入射角由增大到，则粒子从离开磁场的边界长度为 14．（多选）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为 15．（多选）如图所示，用厚度不计的绝缘板制作的中空三棱柱，其横截面为等边三角形，边长为；在的中点有一个大小可忽略的小孔，匀强磁场垂直该截面向里。质量为、带电荷量为()的粒子以初速度垂直边、垂直磁场进入该三角形区域（粒子大小、重力不计），并与三角形侧面发生弹性碰撞。要使粒子每次碰撞都垂直侧面、且恰好从小孔穿出，则磁感应强度可能为（　　） A． B． C． D． 重难·创新演练 16．（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 17．（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 18．（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 19．（多选）如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（　　） A．能打在板上的区域长度是2d B．能打在板上的区域长度是 C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为 D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为 20．（多选）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点有一粒子源，点坐标为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为，电荷量为，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，点坐标为，则下列说法正确的是（　　） A．从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．打在轴的长度为 21．（多选）如图所示，在xOy坐标系内，区域存在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点的粒子源，可在xOy平面内与x轴正方向间的夹角在之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带电粒子。已知沿轴正方向发射的粒子经时间t0从边界上P（a，）点离开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互影响。则（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径 C．粒子在磁场中运动的最短时间小于 D．从的边界离开的粒子距点最远为 22．（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 23．（多选）如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 24．（多选）在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，纸面内有一矩形，其长为、宽为，P、Q为边上的点，。在矩形外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为的粒子，从P点垂直以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 25．（多选）如图所示，AC是半径为R的圆形磁场区域的直径，AC右边存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，AC左边存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在A点的离子源可以释放出质量为m，电荷量为（）的离子，离子从A点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与AC成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从C点射出磁场的离子速度可能是（    ） A． B． C． D． 26．（多选）如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为的带电粒子。已知P点与OA、OB间的距离分别为9cm、8cm，磁感应强度大小。带电粒子质量，电荷量，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B．OA边界上有粒子射出的部分长度为 C．如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D．如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 27．（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 28．（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 29．如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 30．如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训35 带电粒子在磁场中运动的多解问题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AD AD BC ABD AC ABD AC BD AC ACD 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 AB BC BD AC AC BC AD BD BC AC 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 答案 BCD BC BC AD BCD BD BC ABD 模拟·基础演练 1．AD 【详解】B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有qvB=m 又粒子运动速度为v=，代入解得粒子轨迹半径为r=5L 如果带电粒子垂直打到ac边上，则该点距P点的距离应为2r=10L，超出了三角形区域，所以带电粒子不可以垂直打到ac边上，故B错误； C．当粒子刚好与ab边相切时运动轨迹如图所示，圆心为O，切点为Q，过P点作OQ的垂线，垂足为F，在直角三角形OPF中，设∠OPF=α，sinα=，则α=37° 根据几何关系可得当粒子运动轨迹刚好与ab边相切时粒子发射时速度方向与ac边的夹角为37°，则粒子发射速度方向（向上）与ac边夹角小于等于37°的所有粒子都可以打到ab边上，则打到ab边上的粒子数占发射总粒子数的，故C错误； D．粒子打到ab边上的范围为aQ之间的区域，根据几何关系可得aQ=PF=rcosα=4L，故D正确； A．如果粒子垂直打到bc边上，则轨迹圆心在bc上，根据几何关系可得P点到bc边的最小距离为3L，3L<r，存在bc边上的点到P的距离等于半径r，根据D项分析可知此时粒子不会从ab边射出，所以带电粒子可以垂直打到bc边上，故A正确。 故选AD。 ] 2．AD 【详解】设粒子的质量为，电荷量为，速率为，轨迹半径为。由洛伦兹力提供向心力得 解得 三个粒子的，，均相同，故轨迹半径相同。由圆周运动周期定义得 故三个粒子的运动周期也相同。粒子在磁场中的运动时间 因此只需比较各轨迹在磁场中对应的圆心角，不同轨迹半径下的临界轨迹如图所示。 由轨迹圆与磁场边界圆的几何关系可知，当时，三个粒子的圆心角依次增大，故 当时， 当时，仍有 当时，三个粒子均从直径射出，对应圆心角相等，故 因此A、D所述关系可能出现，B、C所述关系不可能出现。 故选AD。 3．BC 【详解】A．根据左手定则，可知带电粒子在磁场中逆时针运动，A错误； B．由洛伦兹力提供向心力，有，若 得带电粒子做圆周运动的半径，如图甲所示，能够打在挡板上的粒子的两个临界轨迹分别为①和② 可知向y轴左侧发射的粒子均能打在挡板上，向y轴右侧发射的粒子均不能打在挡板上，则打在挡板上的粒子数占总数的，B正确； C．由图甲，粒子打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为③和② 对轨迹③，设左端点J与O点的距离为，根据几何知识，有 得 对轨迹②，设右端点K与O点的距离为，根据几何知识，有，则挡板上有粒子打到的线段长度 得，C正确； D．若，知粒子的轨迹半径为，如图乙所示，打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为图乙中④和⑤ 对轨迹④，根据几何知识可知，轨迹④与轴的交点到点的距离为，即交点恰为点 对轨迹⑤，根据几何知识，有 得，依题意，可知之间没有粒子打在上面，D错误。 故选BC。 4．ABD 【详解】AB．由于粒子源发射的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 即所有电子的半径都相等，由左手定则可知，电子进入磁场后顺时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示 由题意及分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当电子从AC边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子数的 由题意及几何关系可知，当粒子在范围内，电子从AD边射出，故AB错误； C．从CD边射出的电子，经过D点对应的弦长最长，根据几何关系可知，运动轨迹对应的最大圆心角为，因此最长运动时间为 故C正确； D．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有 在磁场中运动的时间为t，有 整理有 即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，当弦长与AC边垂直时，弦长最短，由几何关系可知此时对应的入射角不等于，故D错误。 由于本题选择错误的，故选ABD。 5．AC 【详解】A．由左手定则可判断粒子带负电，故A正确； B．粒子运动轨迹圆的圆心位于过点与速度垂直的直线上，也在、连线的中垂线上，所以圆心为两线的交点，如图1所示。 设轨迹圆半径为，由几何关系有圆心到轴的距离 可得 又因洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，有 可得 故B错误； C．粒子从到，轨迹圆弧对应的圆心角，粒子做圆周运动的周期 则粒子从到运动的时间 故C正确； D．只改变粒子入射方向，粒子仍经过点时，轨迹圆的圆心仍在、连线的中垂线上，且到的距离为，为图2中点。 由对称性可知，粒子入射速度方向与轴正方向夹角为，故D错误。 故选AC。 6．ABD 【详解】粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，半径 设区域磁感应强度为，则区域为，故区域的轨道半径是区域的2倍。 A．图中粒子运动的轨道半径，即粒子轨迹未到达两磁场的分界线，全程在区域运动，则该轨迹可能存在，故A正确； B．图中粒子在区域运动时的轨迹半径为，则在区域运动的半径应为，轨迹与轴交点的纵坐标为，几何关系自洽，故B正确； C．图中粒子在区域的轨道半径小于在区域的轨道半径，不符合区域半径是区域2倍的比例关系，故C错误； D．图中粒子在区域的轨道半径为，则在区域的轨道半径为，轨迹与轴交点纵坐标为，几何关系自洽，故D正确。 故选ABD。 7．AC 【详解】A．质子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力有 可得质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 对着圆心入射的质子，轨迹圆半径为R，入射点、磁场圆心O、轨迹圆圆心、出射点四点可构成边长为R的菱形，结合几何关系可得质子出射速度的反向延长线必然经过磁场的圆心，故A正确； B．质子在磁场中运动的周期为 所有质子运动周期相同，运动时间由轨迹的圆心角决定，入射方向平行的质子，入射点离磁场圆心的竖直距离越大，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。图中沿a点入射的质子比沿b点的质子轨迹圆心角更大，运动时间更长，故B错误； C．所有平行入射、轨迹圆半径等于磁场圆半径的质子，根据“等半径平行入射的磁聚焦”规律，所有质子都会汇聚到磁场圆的同一点射出磁场，故C正确； D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，轨迹圆半径等于磁场圆半径，可以视为磁聚焦的逆向运动，则它们离开磁场的出射方向一定相互平行，不存在两个出射方向互相垂直的情况，故D错误。 故选AC。 8．BD 【详解】AB．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向里时，负离子所受洛伦兹力初始向右，圆心在点右侧，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，A项对应的轨道半径为，B项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故A错误，B正确。 CD．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向外时，负离子所受洛伦兹力初始向左，圆心在点左侧。要使圆轨道不越过直线，圆心应在，之间，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，C项对应的轨道半径为，D项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故C错误，D正确。 故选BD。 9．AC 【详解】A．正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，选项A正确； B．负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系得 解得 负电子做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力 解得负电子的速度大小为，故B错误； C．从MN边射出的正电子中，运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为，则最长时间 根据， 可得粒子运动的周期 解得从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间，故C正确； D．正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为，故D错误。 故选AC。 10．ACD 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子运动的角速度为 A．粒子沿轴正方向射出时，根据左手定则可知洛伦兹力沿轴负方向，轨迹圆心位于点正下方。由于，粒子运动四分之一圆周后从正方形右下顶点射出，此时速度沿轨迹切线方向，即沿轴负方向，故A正确； B．设正方形边界上任意一点为，则，因此总能作出半径为且经过、两点的轨迹圆，选择向正方形内部弯曲的劣弧，粒子即可从点射出。故正方形边界上均有粒子射出，有粒子射出部分的长度占周长的100%，故B错误； C．设粒子从点运动到边界时对应的圆心角为，根据弦长公式有 边界上距离点最近的位置为各边中点，此时，因此有 解得 粒子在磁场中运动的最短时间为，故C正确； D．边界上距离点最远的位置为正方形顶点，此时，因此有 解得 粒子在磁场中运动的最长时间为，故D正确。 故选ACD。 11．AB 【详解】A．带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得 粒子轨迹半径与圆形磁场边界的半径相等，为磁发散模型，粒子都垂直于直径向左侧射出磁场，即所有粒子从磁场中射出时速度方向均相同，故A正确； B．设与半径右侧夹角为的粒子打到圆形磁场边界上的点，作出该粒子的轨迹如图所示，圆心为，连接、和，则为一菱形，与速度方向垂直，则， 根据磁发散的规律可得粒子打到圆形磁场边界上的范围为、之间的劣弧，长度为，故B正确； C．发射方向与半径右侧夹角为的粒子在磁场中运动的弧长最长，运动时间最长，该粒子在磁场中转过的圆心角为 运动时间为，故C错误； D．发射方向与半径左侧夹角为的粒子在磁场中运动的时间为，则粒子在磁场中运动的最短时间为，故D错误。 故选AB。 12．BC 【详解】A．存在不接触PQ从y轴离开磁场的粒子，即时间趋近于0，故最短时间不为，故A错误； B．粒子轨迹半径满足 代入数据解得半径 粒子运动周期 最长时间对应最大的圆心角，粒子从右侧打在PQ上时存在圆心角最大，当速度沿y轴正方向时所对应的轨迹圆心角最大，如图轨迹1所示： 由几何关系可知，圆心角，则，故B正确； C．粒子从左侧打在PQ上时，最上端能打在P点，打在最下端的粒子轨迹与PQ相切，如上图轨迹3所示，由几何关系可知，轨迹圆心角为，则薄板上该切点距离P点的距离为，故薄板左表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D．粒子从右侧打在PQ上时，能打在最上端的粒子应沿y轴正方向入射（如图轨迹1所示），此粒子在PQ上的位置离P点的距离，由几何关系可知 能打在最下端的粒子，其入射点和吸收点正好为直径（如图轨迹2所示），则吸收点离P点的距离，故薄板右表面接收到粒子的区域长度为，故D错误。 故选BC。 13．BD 【详解】B．对于且轨迹与相切的粒子，其轨迹如图所示 由几何关系可得 整理得，故B正确； A．粒子从入射，相切后从出射，轨迹为优弧，圆心角 运动时间，故A错误； C．由洛伦兹力提供向心力 得轨道半径 不变，速度从0增大，则轨迹半径从0增大，仅当时粒子从出射。轨迹与PQ相切时会打在MN最远处为 代入得出射点 出射边界范围从到 总长度为，故C错误； D．速率不变则不变，从增大到，轨迹与PQ相切时会打在PQ最上方为 为时会打在PQ最下方，轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 则粒子从离开磁场的边界长度为，故D正确。 故选BD。 14．AC 【详解】A．离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示 由几何关系可知，轨迹圆心角为，所以能打在荧光屏的最短时间，故A正确； B．离子轨迹如图所示 离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切于B点，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切于A点，打在荧光屏上的离子运动周期，打在荧光屏的最长时间为，故B错误； C．离子打在荧光屏的范围总长如上图中的AC长度，由几何关系可知，，故C正确； D．离子恰好打在MN上的临界运动如图所示 离子速度为时从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切，打到点的离子离开S时的速度方向和打到点的离子离开S时的速度方向的夹角为 故能打到荧光屏上的离子数与发射的离子比值为，故D错误。 故选AC。 15．AC 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 整理得轨道半径 粒子垂直AD入射，要求每次碰撞都垂直侧面，弹性碰撞后速度方向反向，轨迹为一段段圆弧。 E是AD中点，，要使粒子最终恰好回到E点穿出，根据等边三角形的角度和对称性，如图所示 可得几何关系 ， 即 整理得 故选AC。 重难·创新演练 16．BC 【详解】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 17．AD 【详解】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 18．BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得 令粒子运动轨迹对应的圆心角之和为，则粒子运动时间 由于粒子以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，可知，当粒子在第二象限做匀速圆周运动直接到达O点后到达Q点轨迹对应圆心角最小，作出轨迹如图所示 根据几何关系可知，最小圆心角 解得粒子运动的最短时间为，故A错误； B．结合上述，根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第二象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 若粒子始终从第三象限到达O点，作出该种情景最简单的轨迹，如图所示 根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第三象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 综合上述可知，粒子运动的总路程只能为或，故B正确； C．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴负向的夹角为45°，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角为45°，故C错误； D．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:1，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角的，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:3，故D正确。 故选BD。 19．BC 【详解】AB．以磁场方向垂直纸面向外为例，打在极板上的粒子轨迹的临界状态左侧相切位置，右侧为直径的交点，如图所示 根据几何关系知，带电粒子能打在板上的长度为，故A错误，B正确； CD．在磁场中打到板上的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图所示 由几何关系知，最长时间 最短时间 粒子在磁场中运动的周期为 所以带电粒子打到板上的最大时间差为，故C正确，D错误。 故选BC。 20．AC 【详解】由 得 A． 如图所示，从轴射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A正确； B． 如图所示，从之间射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B错误； C． 如图所示，当射出点为N（PN与x轴垂直）时，此粒子为到达x轴的粒子中，在磁场中运动的时间最短，圆心角为，运动时间为，故C正确； D． 如图所示，PN为直径，ON为打在轴的长度，等于，故D错误。 故选AC。 21．BCD 【详解】B．沿轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子运动的轨迹半径为，由几何关系可知 解得 则粒子从运动到偏转了，故，B正确； A．由题意及几何关系得 解得，故A错误； C．带电粒子在磁场中的运动时间为 如图所示 由图可看出，带电粒子由磁场下边缘射出时，在磁场中运动轨迹对应的圆心角可以很小，甚至可趋近于0，故带电粒子在磁场中的运动可以很短，粒子在磁场中运动的最短时间小于，C正确； D．粒子沿轴负方向射出时，粒子从的边界离开磁场区域的位置距离到点的距离最远，根据几何关系有，如图所示 几何关系 解得，故D正确。 故选BCD。 22．BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 23．BC 【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度做匀速直线运动，在水平面内以速度做匀速圆周运动，则有 运动周期为 由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，所以有 解得 经历一段时间后，粒子到达点正上方的点处，则有（），当n=1时，O、A两点间的距离 当n=2时，O、A两点间的距离，无论n取其他任何整数AD都不可能。 故选BC。 24．AD 【详解】 根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周运动的半径，粒子在磁场中做圆周运动，有 解得 则粒子在磁场中运动的半径 由几何关系可知，粒子先以Q为圆心做个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到N（）再经过个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M,再经过半个圆周运动到N点，沿直线NP 运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示，可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间 由M点沿直线运动到N点所用时间 粒子以垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间，其中粒子运动的路程，其中当时，故A正确； 粒子以大小与ab方向成30°角经过P,则其中粒子运动的路程其中当时，D项正确；无论k取何值，都不能得出B、C两项。 故选AD。 25．BCD 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 离子在右方运动的半径为 离子在左方运动的半径为 若离子从右方通过点有（，，） 解得（，，） 即，， 若离子从左方通过点有（，，） 解得（，，） 即，， 故选BCD。 26．BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故A错误； B．作出OA边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，OA边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故B正确； C．结合上述图甲与图乙可知，如果减小带电粒子的速度大小，粒子轨道半径减小，粒子从可以使粒子从O点射出OA、OB上射出部分长度减小，但粒子不可能从O点射出，故C错误； D．如果将磁场改为垂直纸面向里，作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图丙所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 解得 即如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变，故D正确。 故选BD。 27．BC 【详解】A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，则 由洛伦兹力提供向心力， 解得，故A错误； B．已知，根据 可得，则所有粒子不从上边界飞出， 当粒子速度沿x轴正方向发射时，粒子在磁场中的圆心角为 粒子在磁场中的运动时间最长，且，故B正确； C．若磁感应强度大小为，则所有粒子运动的区域如图中阴影部分所示 则该部分的面积，故C正确； D．若磁感应强度大小为，则粒子在磁场中运动的半径 粒子能够从上边界射出的范围如图所示，由几何关系可得该范围的宽度 ，故D错误。 故选BC。 28．ABD 【详解】A．从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，则沿方向射出的粒子轨迹恰好与挡板相切，由几何关系可得，粒子的轨迹半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得，故A正确； B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置，如图所示，根据“旋转圆”的知识可知，该区域长度是C到A之间的部分 根据几何知识可知，区域长度为，故B正确； C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，粒子到达挡板上恰好没有重叠时，如图所示 根据旋转圆的知识并结合几何知识可知，此时挡板与x轴的夹角为，即挡板至少要逆时针转动，故C错误； D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，粒子源发射位置不变，粒子运动的轨迹半径仍为a，其轨迹如图所示 根据“磁发散”原理可知，能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，水平向左射入的粒子能够从C点射出；速度方向与轴负方向夹角为45°的粒子从O点射入磁场时，由几何关系可知，则射出位置点到C点的水平距离为 区域长度 则打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的，故D正确。 故选ABD。 29．(1)，方向与x轴正半轴成45°角 (2) (3)（n=0，1，2，3……） 【详解】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有 竖直方向做匀加速运动，有 解得 则带电粒子通过坐标原点的速度大小 速度方向与轴正半轴的夹角为，则 可得 （2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关系知 带电粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得 （3）粒子在磁场中运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力有 且，则有 且满足关系，（） 由洛伦兹力提供向心力有 解得，（） 30．(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训35 带电粒子在磁场中运动的多解问题 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 2 重难·创新演练 22 研判·模型总结 带电粒子在磁场中运动的多解问题 技巧总结 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面: ①带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时, 正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直匀 强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b ②磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向, 则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀 强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b ③临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可 能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解 ④运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场,部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多 解,如图所示 模拟·基础演练 1．（多选）如图所示，一个等腰直角三角形abc中，直角边ab长为8L，三角形区域内分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在ac边上距a点2L的P点处有一粒子源，可以沿纸面向磁场区域一侧180°范围内均匀发射质量为m、带电荷量为q（q>0）的带电粒子，粒子的速度大小均为，不计粒子所受重力及粒子间的相互作用，已知sin37°=，sin53°=，则下列说法正确的是（     ） A．带电粒子可以垂直打到bc边上 B．带电粒子可以垂直打到ac边上 C．打到ab边上的粒子数占发射总粒子数的 D．粒子打到ab边上区域的长度为4L 【答案】AD 【详解】B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有qvB=m 又粒子运动速度为v=，代入解得粒子轨迹半径为r=5L 如果带电粒子垂直打到ac边上，则该点距P点的距离应为2r=10L，超出了三角形区域，所以带电粒子不可以垂直打到ac边上，故B错误； C．当粒子刚好与ab边相切时运动轨迹如图所示，圆心为O，切点为Q，过P点作OQ的垂线，垂足为F，在直角三角形OPF中，设∠OPF=α，sinα=，则α=37° 根据几何关系可得当粒子运动轨迹刚好与ab边相切时粒子发射时速度方向与ac边的夹角为37°，则粒子发射速度方向（向上）与ac边夹角小于等于37°的所有粒子都可以打到ab边上，则打到ab边上的粒子数占发射总粒子数的，故C错误； D．粒子打到ab边上的范围为aQ之间的区域，根据几何关系可得aQ=PF=rcosα=4L，故D正确； A．如果粒子垂直打到bc边上，则轨迹圆心在bc上，根据几何关系可得P点到bc边的最小距离为3L，3L<r，存在bc边上的点到P的距离等于半径r，根据D项分析可知此时粒子不会从ab边射出，所以带电粒子可以垂直打到bc边上，故A正确。 故选AD。 ] 2．（多选）如图所示，以为圆心、为直径的圆的左半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个不计重力、质量相同、带电量相同的带正电粒子和以相同的速率分别沿和方向垂直于磁场射入磁场区域，已知垂直和的夹角都为和三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为，则下列给出的时间关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设粒子的质量为，电荷量为，速率为，轨迹半径为。由洛伦兹力提供向心力得 解得 三个粒子的，，均相同，故轨迹半径相同。由圆周运动周期定义得 故三个粒子的运动周期也相同。粒子在磁场中的运动时间 因此只需比较各轨迹在磁场中对应的圆心角，不同轨迹半径下的临界轨迹如图所示。 由轨迹圆与磁场边界圆的几何关系可知，当时，三个粒子的圆心角依次增大，故 当时， 当时，仍有 当时，三个粒子均从直径射出，对应圆心角相等，故 因此A、D所述关系可能出现，B、C所述关系不可能出现。 故选AD。 3．（多选）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的带正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（     ） A．带电粒子在磁场中顺时针运动 B．若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C．若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D．若v＝，则挡板上MN之间各处均有粒子打在上面 【答案】BC 【详解】A．根据左手定则，可知带电粒子在磁场中逆时针运动，A错误； B．由洛伦兹力提供向心力，有，若 得带电粒子做圆周运动的半径，如图甲所示，能够打在挡板上的粒子的两个临界轨迹分别为①和② 可知向y轴左侧发射的粒子均能打在挡板上，向y轴右侧发射的粒子均不能打在挡板上，则打在挡板上的粒子数占总数的，B正确； C．由图甲，粒子打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为③和② 对轨迹③，设左端点J与O点的距离为，根据几何知识，有 得 对轨迹②，设右端点K与O点的距离为，根据几何知识，有，则挡板上有粒子打到的线段长度 得，C正确； D．若，知粒子的轨迹半径为，如图乙所示，打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为图乙中④和⑤ 对轨迹④，根据几何知识可知，轨迹④与轴的交点到点的距离为，即交点恰为点 对轨迹⑤，根据几何知识，有 得，依题意，可知之间没有粒子打在上面，D错误。 故选BC。 4．（多选）如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，∠C=30∘，∠D=45∘，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面内向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电荷量为−e，且满足。下列说法中错误的是（     ） A．从AC边射出的电子占总电子数的 B．从AD边射出的电子中，速度方向与OC的夹角的取值范围为45°<<135° C．从CD边（含OC、OD段）射出的电子中，最长运动时间为 D．所有从AC边射出的电子中，当=30∘时，所用的运动时间最短 【答案】ABD 【详解】AB．由于粒子源发射的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 即所有电子的半径都相等，由左手定则可知，电子进入磁场后顺时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示 由题意及分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当电子从AC边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子数的 由题意及几何关系可知，当粒子在范围内，电子从AD边射出，故AB错误； C．从CD边射出的电子，经过D点对应的弦长最长，根据几何关系可知，运动轨迹对应的最大圆心角为，因此最长运动时间为 故C正确； D．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有 在磁场中运动的时间为t，有 整理有 即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，当弦长与AC边垂直时，弦长最短，由几何关系可知此时对应的入射角不等于，故D错误。 由于本题选择错误的，故选ABD。 5．（多选）如图所示，在空间存在垂直平面向里的匀强磁场。带电粒子质量为，带电荷量绝对值为，从点以速度飞入磁场，速度方向与轴正方向夹角。粒子恰能经过点。不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．磁感应强度大小为 C．粒子从到的时间等于 D．若只改变粒子入射方向，则粒子一定不能经过点 【答案】AC 【详解】A．由左手定则可判断粒子带负电，故A正确； B．粒子运动轨迹圆的圆心位于过点与速度垂直的直线上，也在、连线的中垂线上，所以圆心为两线的交点，如图1所示。 设轨迹圆半径为，由几何关系有圆心到轴的距离 可得 又因洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，有 可得 故B错误； C．粒子从到，轨迹圆弧对应的圆心角，粒子做圆周运动的周期 则粒子从到运动的时间 故C正确； D．只改变粒子入射方向，粒子仍经过点时，轨迹圆的圆心仍在、连线的中垂线上，且到的距离为，为图2中点。 由对称性可知，粒子入射速度方向与轴正方向夹角为，故D错误。 故选AC。 6．（多选）空间中存在垂直于xOy平面的磁场，x＝a两侧的匀强磁场方向相反，x>a区域的磁感应强度大小为x<a区域的2倍。不同带电粒子以速率v0由原点沿xOy平面射入该磁场，则粒子的轨迹可能为下图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，半径 设区域磁感应强度为，则区域为，故区域的轨道半径是区域的2倍。 A．图中粒子运动的轨道半径，即粒子轨迹未到达两磁场的分界线，全程在区域运动，则该轨迹可能存在，故A正确； B．图中粒子在区域运动时的轨迹半径为，则在区域运动的半径应为，轨迹与轴交点的纵坐标为，几何关系自洽，故B正确； C．图中粒子在区域的轨道半径小于在区域的轨道半径，不符合区域半径是区域2倍的比例关系，故C错误； D．图中粒子在区域的轨道半径为，则在区域的轨道半径为，轨迹与轴交点纵坐标为，几何关系自洽，故D正确。 故选ABD。 7．（多选）在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（     ） A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心 B．沿a点比沿b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 【答案】AC 【详解】A．质子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力有 可得质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 对着圆心入射的质子，轨迹圆半径为R，入射点、磁场圆心O、轨迹圆圆心、出射点四点可构成边长为R的菱形，结合几何关系可得质子出射速度的反向延长线必然经过磁场的圆心，故A正确； B．质子在磁场中运动的周期为 所有质子运动周期相同，运动时间由轨迹的圆心角决定，入射方向平行的质子，入射点离磁场圆心的竖直距离越大，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。图中沿a点入射的质子比沿b点的质子轨迹圆心角更大，运动时间更长，故B错误； C．所有平行入射、轨迹圆半径等于磁场圆半径的质子，根据“等半径平行入射的磁聚焦”规律，所有质子都会汇聚到磁场圆的同一点射出磁场，故C正确； D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，轨迹圆半径等于磁场圆半径，可以视为磁聚焦的逆向运动，则它们离开磁场的出射方向一定相互平行，不存在两个出射方向互相垂直的情况，故D错误。 故选AC。 8．（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（     ） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向里时，负离子所受洛伦兹力初始向右，圆心在点右侧，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，A项对应的轨道半径为，B项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故A错误，B正确。 CD．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向外时，负离子所受洛伦兹力初始向左，圆心在点左侧。要使圆轨道不越过直线，圆心应在，之间，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，C项对应的轨道半径为，D项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故C错误，D正确。 故选BD。 9．（多选）如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行于PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是（     ） A．不可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 【答案】AC 【详解】A．正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，选项A正确； B．负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系得 解得 负电子做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力 解得负电子的速度大小为，故B错误； C．从MN边射出的正电子中，运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为，则最长时间 根据， 可得粒子运动的周期 解得从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间，故C正确； D．正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为，故D错误。 故选AC。 10．（多选）如图所示，在水平xOy平面内存在一正方形区域，正方形的边长，中心为O，其内有垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度，在原点O处有一粒子放射源，可向平面内任意方向发射速度大小均为的带正电粒子，带电粒子的比荷均为，不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．沿x轴正方向发射的粒子将沿y轴负方向射出磁场 B．虚线边界上有粒子射出部分的长度占正方形周长的80% C．粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】ACD 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子运动的角速度为 A．粒子沿轴正方向射出时，根据左手定则可知洛伦兹力沿轴负方向，轨迹圆心位于点正下方。由于，粒子运动四分之一圆周后从正方形右下顶点射出，此时速度沿轨迹切线方向，即沿轴负方向，故A正确； B．设正方形边界上任意一点为，则，因此总能作出半径为且经过、两点的轨迹圆，选择向正方形内部弯曲的劣弧，粒子即可从点射出。故正方形边界上均有粒子射出，有粒子射出部分的长度占周长的100%，故B错误； C．设粒子从点运动到边界时对应的圆心角为，根据弦长公式有 边界上距离点最近的位置为各边中点，此时，因此有 解得 粒子在磁场中运动的最短时间为，故C正确； D．边界上距离点最远的位置为正方形顶点，此时，因此有 解得 粒子在磁场中运动的最长时间为，故D正确。 故选ACD。 11．（多选）如图，一半径为的圆形匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的处有一粒子源，可向纸面内的多个方向发射质量为、电荷量为的同种带电粒子，发射粒子的速率为，发射方向与半径左侧最大夹角为、与半径右侧最大夹角为，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是 A．发射方向与半径左侧夹角为的粒子和发射方向与半径右侧夹角为的粒子从磁场中射出时速度方向平行 B．圆形磁场边界上有粒子打到的弧长为 C．发射的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间比值为 【答案】AB 【详解】A．带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得 粒子轨迹半径与圆形磁场边界的半径相等，为磁发散模型，粒子都垂直于直径向左侧射出磁场，即所有粒子从磁场中射出时速度方向均相同，故A正确； B．设与半径右侧夹角为的粒子打到圆形磁场边界上的点，作出该粒子的轨迹如图所示，圆心为，连接、和，则为一菱形，与速度方向垂直，则， 根据磁发散的规律可得粒子打到圆形磁场边界上的范围为、之间的劣弧，长度为，故B正确； C．发射方向与半径右侧夹角为的粒子在磁场中运动的弧长最长，运动时间最长，该粒子在磁场中转过的圆心角为 运动时间为，故C错误； D．发射方向与半径左侧夹角为的粒子在磁场中运动的时间为，则粒子在磁场中运动的最短时间为，故D错误。 故选AB。 12．（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【答案】BC 【详解】A．存在不接触PQ从y轴离开磁场的粒子，即时间趋近于0，故最短时间不为，故A错误； B．粒子轨迹半径满足 代入数据解得半径 粒子运动周期 最长时间对应最大的圆心角，粒子从右侧打在PQ上时存在圆心角最大，当速度沿y轴正方向时所对应的轨迹圆心角最大，如图轨迹1所示： 由几何关系可知，圆心角，则，故B正确； C．粒子从左侧打在PQ上时，最上端能打在P点，打在最下端的粒子轨迹与PQ相切，如上图轨迹3所示，由几何关系可知，轨迹圆心角为，则薄板上该切点距离P点的距离为，故薄板左表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D．粒子从右侧打在PQ上时，能打在最上端的粒子应沿y轴正方向入射（如图轨迹1所示），此粒子在PQ上的位置离P点的距离，由几何关系可知 能打在最下端的粒子，其入射点和吸收点正好为直径（如图轨迹2所示），则吸收点离P点的距离，故薄板右表面接收到粒子的区域长度为，故D错误。 故选BC。 13．（多选）如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，在上。大量质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从点以相同速率沿不同方向垂直磁场射入。入射角的粒子，运动轨迹刚好与边界相切。下列说法正确的是（　　） A．入射角的粒子在磁场中运动时间为 B．粒子在磁场中的轨道半径为 C．若入射角的粒子，速度从0逐渐增大，则粒子从离开磁场的边界长度为 D．若速率不变，入射角由增大到，则粒子从离开磁场的边界长度为 【答案】BD 【详解】B．对于且轨迹与相切的粒子，其轨迹如图所示 由几何关系可得 整理得，故B正确； A．粒子从入射，相切后从出射，轨迹为优弧，圆心角 运动时间，故A错误； C．由洛伦兹力提供向心力 得轨道半径 不变，速度从0增大，则轨迹半径从0增大，仅当时粒子从出射。轨迹与PQ相切时会打在MN最远处为 代入得出射点 出射边界范围从到 总长度为，故C错误； D．速率不变则不变，从增大到，轨迹与PQ相切时会打在PQ最上方为 为时会打在PQ最下方，轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 则粒子从离开磁场的边界长度为，故D正确。 故选BD。 14．（多选）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为 【答案】AC 【详解】A．离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示 由几何关系可知，轨迹圆心角为，所以能打在荧光屏的最短时间，故A正确； B．离子轨迹如图所示 离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切于B点，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切于A点，打在荧光屏上的离子运动周期，打在荧光屏的最长时间为，故B错误； C．离子打在荧光屏的范围总长如上图中的AC长度，由几何关系可知，，故C正确； D．离子恰好打在MN上的临界运动如图所示 离子速度为时从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切，打到点的离子离开S时的速度方向和打到点的离子离开S时的速度方向的夹角为 故能打到荧光屏上的离子数与发射的离子比值为，故D错误。 故选AC。 15．（多选）如图所示，用厚度不计的绝缘板制作的中空三棱柱，其横截面为等边三角形，边长为；在的中点有一个大小可忽略的小孔，匀强磁场垂直该截面向里。质量为、带电荷量为()的粒子以初速度垂直边、垂直磁场进入该三角形区域（粒子大小、重力不计），并与三角形侧面发生弹性碰撞。要使粒子每次碰撞都垂直侧面、且恰好从小孔穿出，则磁感应强度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 整理得轨道半径 粒子垂直AD入射，要求每次碰撞都垂直侧面，弹性碰撞后速度方向反向，轨迹为一段段圆弧。 E是AD中点，，要使粒子最终恰好回到E点穿出，根据等边三角形的角度和对称性，如图所示 可得几何关系 ， 即 整理得 故选AC。 重难·创新演练 16．（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【详解】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 17．（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】AD 【详解】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 18．（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得 令粒子运动轨迹对应的圆心角之和为，则粒子运动时间 由于粒子以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，可知，当粒子在第二象限做匀速圆周运动直接到达O点后到达Q点轨迹对应圆心角最小，作出轨迹如图所示 根据几何关系可知，最小圆心角 解得粒子运动的最短时间为，故A错误； B．结合上述，根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第二象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 若粒子始终从第三象限到达O点，作出该种情景最简单的轨迹，如图所示 根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第三象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 综合上述可知，粒子运动的总路程只能为或，故B正确； C．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴负向的夹角为45°，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角为45°，故C错误； D．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:1，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角的，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:3，故D正确。 故选BD。 19．（多选）如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（　　） A．能打在板上的区域长度是2d B．能打在板上的区域长度是 C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为 D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为 【答案】BC 【详解】AB．以磁场方向垂直纸面向外为例，打在极板上的粒子轨迹的临界状态左侧相切位置，右侧为直径的交点，如图所示 根据几何关系知，带电粒子能打在板上的长度为，故A错误，B正确； CD．在磁场中打到板上的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图所示 由几何关系知，最长时间 最短时间 粒子在磁场中运动的周期为 所以带电粒子打到板上的最大时间差为，故C正确，D错误。 故选BC。 20．（多选）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点有一粒子源，点坐标为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为，电荷量为，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，点坐标为，则下列说法正确的是（　　） A．从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．打在轴的长度为 【答案】AC 【详解】由 得 A． 如图所示，从轴射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A正确； B． 如图所示，从之间射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B错误； C． 如图所示，当射出点为N（PN与x轴垂直）时，此粒子为到达x轴的粒子中，在磁场中运动的时间最短，圆心角为，运动时间为，故C正确； D． 如图所示，PN为直径，ON为打在轴的长度，等于，故D错误。 故选AC。 21．（多选）如图所示，在xOy坐标系内，区域存在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点的粒子源，可在xOy平面内与x轴正方向间的夹角在之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带电粒子。已知沿轴正方向发射的粒子经时间t0从边界上P（a，）点离开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互影响。则（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径 C．粒子在磁场中运动的最短时间小于 D．从的边界离开的粒子距点最远为 【答案】BCD 【详解】B．沿轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子运动的轨迹半径为，由几何关系可知 解得 则粒子从运动到偏转了，故，B正确； A．由题意及几何关系得 解得，故A错误； C．带电粒子在磁场中的运动时间为 如图所示 由图可看出，带电粒子由磁场下边缘射出时，在磁场中运动轨迹对应的圆心角可以很小，甚至可趋近于0，故带电粒子在磁场中的运动可以很短，粒子在磁场中运动的最短时间小于，C正确； D．粒子沿轴负方向射出时，粒子从的边界离开磁场区域的位置距离到点的距离最远，根据几何关系有，如图所示 几何关系 解得，故D正确。 故选BCD。 22．（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 23．（多选）如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度做匀速直线运动，在水平面内以速度做匀速圆周运动，则有 运动周期为 由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，所以有 解得 经历一段时间后，粒子到达点正上方的点处，则有（），当n=1时，O、A两点间的距离 当n=2时，O、A两点间的距离，无论n取其他任何整数AD都不可能。 故选BC。 24．（多选）在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，纸面内有一矩形，其长为、宽为，P、Q为边上的点，。在矩形外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为的粒子，从P点垂直以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周运动的半径，粒子在磁场中做圆周运动，有 解得 则粒子在磁场中运动的半径 由几何关系可知，粒子先以Q为圆心做个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到N（）再经过个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M,再经过半个圆周运动到N点，沿直线NP 运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示，可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间 由M点沿直线运动到N点所用时间 粒子以垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间，其中粒子运动的路程，其中当时，故A正确； 粒子以大小与ab方向成30°角经过P,则其中粒子运动的路程其中当时，D项正确；无论k取何值，都不能得出B、C两项。 故选AD。 25．（多选）如图所示，AC是半径为R的圆形磁场区域的直径，AC右边存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，AC左边存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在A点的离子源可以释放出质量为m，电荷量为（）的离子，离子从A点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与AC成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从C点射出磁场的离子速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 离子在右方运动的半径为 离子在左方运动的半径为 若离子从右方通过点有（，，） 解得（，，） 即，， 若离子从左方通过点有（，，） 解得（，，） 即，， 故选BCD。 26．（多选）如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为的带电粒子。已知P点与OA、OB间的距离分别为9cm、8cm，磁感应强度大小。带电粒子质量，电荷量，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B．OA边界上有粒子射出的部分长度为 C．如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D．如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故A错误； B．作出OA边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，OA边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故B正确； C．结合上述图甲与图乙可知，如果减小带电粒子的速度大小，粒子轨道半径减小，粒子从可以使粒子从O点射出OA、OB上射出部分长度减小，但粒子不可能从O点射出，故C错误； D．如果将磁场改为垂直纸面向里，作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图丙所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 解得 即如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变，故D正确。 故选BD。 27．（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】BC 【详解】A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，则 由洛伦兹力提供向心力， 解得，故A错误； B．已知，根据 可得，则所有粒子不从上边界飞出， 当粒子速度沿x轴正方向发射时，粒子在磁场中的圆心角为 粒子在磁场中的运动时间最长，且，故B正确； C．若磁感应强度大小为，则所有粒子运动的区域如图中阴影部分所示 则该部分的面积，故C正确； D．若磁感应强度大小为，则粒子在磁场中运动的半径 粒子能够从上边界射出的范围如图所示，由几何关系可得该范围的宽度 ，故D错误。 故选BC。 28．（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 【答案】ABD 【详解】A．从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，则沿方向射出的粒子轨迹恰好与挡板相切，由几何关系可得，粒子的轨迹半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得，故A正确； B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置，如图所示，根据“旋转圆”的知识可知，该区域长度是C到A之间的部分 根据几何知识可知，区域长度为，故B正确； C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，粒子到达挡板上恰好没有重叠时，如图所示 根据旋转圆的知识并结合几何知识可知，此时挡板与x轴的夹角为，即挡板至少要逆时针转动，故C错误； D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，粒子源发射位置不变，粒子运动的轨迹半径仍为a，其轨迹如图所示 根据“磁发散”原理可知，能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，水平向左射入的粒子能够从C点射出；速度方向与轴负方向夹角为45°的粒子从O点射入磁场时，由几何关系可知，则射出位置点到C点的水平距离为 区域长度 则打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的，故D正确。 故选ABD。 29．如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 【答案】(1)，方向与x轴正半轴成45°角 (2) (3)（n=0，1，2，3……） 【详解】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有 竖直方向做匀加速运动，有 解得 则带电粒子通过坐标原点的速度大小 速度方向与轴正半轴的夹角为，则 可得 （2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关系知 带电粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得 （3）粒子在磁场中运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力有 且，则有 且满足关系，（） 由洛伦兹力提供向心力有 解得，（） 30．如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $