5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册5.4二元一次方程与一次函数同步练，分层设计合理，从基础概念到综合应用再到拓展探究，梯度清晰，有效巩固知识并培养数学抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数解析式、交点与方程组解|选择填空为主，直接应用概念，强化符号意识| |中档|图像性质判断、面积计算|结合图像分析，培养几何直观与推理能力| |提高|行程问题、方案选择|联系实际情境，发展模型意识与创新思维|

5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．已知一次函数的图像与直线平行，且经过点，则该一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．若点在一次函数的图像上，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过(  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．点A，B的坐标分别为，，点P在x轴上，的值最小时，点P的坐标为(   )． A． B． C． D． 6．如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（    ） A．2 B．或 C． D．2或 8．如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（    ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 10．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小和小从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小比小先出发15秒，且速度保持不变，小出发2秒后将速度提高到原来的2倍，设小行走的时间为，小和小行走的路程分别为．与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．小提速后的速度为 B． C．从小出发至送餐结束，小和小最远相距 D． 二、填空题 11．等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为，则关于的函数关系式为______． 12．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有______．（填序号） 14．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量 满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为__________；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为__________ ． 15．如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 三、解答题 16．用图象法解二元一次方程组： 17．已知一次函数，完成下列问题： (1)在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察图象，当时，y取值范围是_______； (3)将直线平移后经过点，直接写出平移后的直线表达式________． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)求． 19．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 20．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A C A D C D D 1．【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数平行性质及待定系数法，两直线平行时自变量的系数k相等． 两条直线平行则自变量的系数相等，可确定k值；再代入已知点坐标求b即可． 【详解】解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∴， ∵图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∴函数表达式为． 故选A． 2．【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，将点坐标代入函数解析式，直接求解k的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴当时，， 即， 解得， 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；直接利用交点坐标与方程组解的对应关系得出结果即可． 【详解】解：∵直线与直线（为常数，且）交于点， ∴，即：， ∴关于、的方程组的解是：， 故选：B ． 4．【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的解析式求解及一次函数的图象性质．关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据、的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：将点，代入， 可得方程组：，解得， 所以该一次函数的解析式为． ，， 该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、求一次函数解析式 【分析】考查最短路线问题，得到点A关于x轴的对称点的坐标，可得到直线的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为 ， 解得 ∴ ∴P的坐标为． 故选：C． 6．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系.先求出点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A. 7．【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b， ∴A（-，0），B（0，b）， ∴OA=|-|，OB=|b|， ∵S△AOB=1， ∴OA•OB=1，即×||×|b|=1， 整理可得|b|2=4， ∴b=2或b=-2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键． 8．【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 9．【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据一次函数的性质与图象可判断①②，根据一次函数解析式可判断③，根据二元一次方程组的解与一次函数的交点坐标之间的关系可判断④． 【详解】解：由图象可知：，故①正确； 由可知的图象，随自变量的增大而减少，故②正确； ∵， ∴当，即时，， ∴不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确； ∵一次函数与的图象交于， ∴方程组的解是，故④正确； 综上，正确的有4个． 10．【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，从一次函数图象中获取相关信息是解题的关键． 从函数图象获取信息，求出运动速度进而判断选项ABD；数形结合，分别求得函数图象中各段的函数解析式，由一次函数图象与性质按要求分析小和小之间距离的最大值即可判断选项D，从而得到答案． 【详解】解：小比小先出发15秒，小出发2秒后将速度提高到原来的2倍， 由图中信息可知，在小出发2秒内的速度为， 则小提速后的速度为， 故A选项正确，不符合题意； 小提速后的速度为， 小提速后到达客人处花费时间为， 解得， 故B选项正确，不符合题意； 如图所示： ， ， 设段对应的函数表达式为，将点代入表达式， 得， 解得， ， 当时，小和小之间距离最大值为； 当时，设段对应的函数表达式为，将、代入表达式， 得， 解得， ∴， ∴小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 设段对应的函数表达式为，将、代入表达式， 得， 解得， ∴； 联立， 解得， 即， 当时，小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 当时，小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 综上所述，当时，小和小之间距离最远为； 当时，小和小之间距离从相距处逐渐减小到； 综上所述，从小出发至送餐结束，小和小最远相距， 故C选项正确，不符合题意； ， 当时，， 解得， 则， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、三角形三边关系的应用 【分析】根据等腰三角形周长公式推导与的等量关系，再结合三角形三边关系确定自变量的取值范围.即可得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意得 ， 整理得 ， 根据三角形三边关系可得， 将代入不等式组得， 解得 ， ∴关于的函数关系式为． 12．【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据互助一次函数的定义得到关于，的方程组，解方程组得到，的值，确定两个一次函数的解析式，求出两个函数与轴的交点坐标，结合两函数交点的横坐标，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解：根据互助一次函数的定义，可得， 整理方程组得， 解得， ∴两个函数解析式为，， 联立，得， 解得， 当时，与轴交点为，与轴交点为， ∴两个交点在轴上的距离为， ∵两函数交点的横坐标为，即三角形的高为， ∴三角形面积． 13．【答案】 【知识点】判断一次函数的图象、两直线的交点与二元一次方程组的解、比较一次函数值的大小、判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数的图象即可判断结论①；根据一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方即可判断结论②；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，据此即可判断结论③；根据两个一次函数的交点坐标即可判断结论④；将两个一次函数的交点坐标代入函数解析式，即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，随的增大而增大，故结论①正确； ∵一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方， ∴，故结论②正确； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴此时，故结论③错误； 由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为， ∴关于，的方程组，即方程组的解为，故结论④正确； 将点代入两个一次函数的解析式，得：， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了判断一次函数的增减性，一次函数的图象，比较一次函数值的大小，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 14．【答案】 / 【知识点】求一次函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求一次函数解析式，以及已知函数值求自变量的值． 由表格数据代入函数关系式求系数，再代入求，即可解题． 【详解】解：由表格可知，当时，，代入得， 解得，故函数关系式为； 当时，代入关系式得， 解得， 故所挂物体的质量为； 故答案为：，． 15．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先求出点，再观察图象即可求解． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， ∴点， ∴观察图象可知，则关于，的二元一次方程组的解为． 16．【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：，即 依题意，方程组的解为直线与直线的交点， 如图所示， ∴的解为． 【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键． 17．【答案】(1) 在直角坐标系中画出该函数的图象，如图所示， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解； （3）设平移后的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：由，当时，，当时，， 则一次函数图象经过点 （2）当时，， 观察图象，当时，y取值范围是：； （3）∵将直线平移后经过点， 设向上平移m个单位，则平移后直线解析式为， 将点，代入得，， 解得：， ∴， 即． 18．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题； （1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象即可得到答案； （3）求得点的坐标，求出的长，然后根据三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵函数与函数的图象交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得：； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 由图象可得，直线与直线的交点为， ∴方程组即的解集为； （3）解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ∴． 19．【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 20．【答案】(1) (2) (3)5； (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，求一次函数解析式，掌握两点间距离公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $