重难点专训34 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解（福建专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“找圆心-求半径-定时间”三步法为核心，系统整合带电粒子在有界磁场中运动的模型分类、几何关系及时间计算，突出科学思维中的模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |研判·模型总结|3类圆心模型|两线定心法（速度垂线/弦中垂线）、几何关系（边角/勾股定理）、圆心角=偏向角=2弦切角|洛伦兹力提供向心力→半径/周期公式→有界磁场轨迹分析→时间计算| |模拟·基础演练|15题|圆形/矩形磁场轨迹分析、比荷/速度关联计算|基础模型直接应用，强化物理观念中的运动与相互作用| |重难·创新演练|15题|复合场/多磁场区域综合、临界条件分析|从单一磁场到复杂情境迁移，提升科学探究与问题解决能力|

重难点专训34 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 23 研判·模型总结 整体思路 技巧总结 Ⅰ:基础内容： 1.电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式 ①当时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动 ②当时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动 ③当与成角时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速速率螺旋式前进； 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 Ⅱ:带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” 类型一：（两速模型）已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。 依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心。 (2) 类型二：（两点一速模型）已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。 依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心 （3）类型三：（一速一模型）见速画垂直，利用已知半径确定新轨迹的半径，从而画出运行轨迹，从而求圆心角. Ⅲ：1、求半径：主要由三角形几何关系求出 （一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。 1. 若已知与，则由边角关系知 2、若已知与(未知)，则由勾股定理知 . 2、求半径（两种方法） 几何关系细节如下图： ①粒子速度的偏向角()等于圆心角()，并等于弦与切线的夹角(弦切角)的2倍(如图所示)，即 同弧所对的圆心角等于弦切角的2倍. ②直角三角形的应用(勾股定理)。 找到的中点，连接，则都是直角三角形。 Ⅳ：运动的时间的确定 ①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：，. ②当一定时，粒子在磁场中运动的时间，为带电粒子通过的弧长。 注意：由得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。 图象如下： 入射角为时，. 入射角为时，. 入射角为时，. 入射角为时，. 模拟·基础演练 1．两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 【答案】C 【详解】A．由图可知磁场方向垂直纸面向里，粒子向右射入。根据左手定则，向上偏转的b粒子洛伦兹力向上，带正电；向下偏转的a粒子洛伦兹力向下，带负电，故A错误； B．作出a、b粒子运动的轨迹半径，如下图所示 设圆形磁场区域半径为，粒子偏转角为，由几何关系得粒子轨迹半径 偏转角 ，得 偏转角 ，得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得， 两粒子比荷相等，因此 ，则 ，故B错误； C．粒子运动周期 两粒子比荷相等，相同，因此相同。运动时间 时间与偏转角成正比，则 ，故C正确； D．入射速率不变， ，新轨迹半径 由，解得新偏转角 由 ，可得时间比，故D错误。 故选C。 2．如图所示，真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里，MN、PQ的间距为。粒子和氢核先后从点沿着与MN夹角为 的方向射入磁场中，都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，则（     ） A．， B．， C．粒子在磁场中运动的半径为 D．粒子在磁场中运动的半径为 【答案】D 【详解】CD．作出粒子运动的轨迹图，如图 根据几何关系可知R+Rcosθ=l 解得，故C错误，D正确； AB．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 运动时间为 由图可知圆心角相等，从而解得t1：t2=2：1，v1：v2=1：2，故AB错误。 故选D。 3．如图所示，ABCD是长为L的矩形，内部存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从A点以速度垂直射入磁场，速度方向与AB的夹角为，粒子刚好从B点射出磁场，不计粒子的重力，则（     ） A．粒子一定带负电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．粒子从A到B所需的时间为 D．矩形磁场宽度的最小值为 【答案】B 【详解】A．粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方，由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 解得，故B正确； C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为 又由 解得，故C错误； D．由几何知识可知，矩形磁场宽度的最小值为粒子运动轨迹最高点到的距离，即，故D错误。 故选B。 4．如图所示，在矩形区域abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为。在ad边中点的粒子源，在时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相等，方向与的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上的点离开磁场，，，粒子在磁场中做圆周运动的半径，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中的运动周期； (2)粒子的比荷； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）初速度沿方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图1，其运动轨迹的圆心角为，由几何关系有 所以 由 解得 （2）粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得 又 所以 解得 （3）如图2所示，在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹的弦 圆轨迹的半径为，所以弦对应的圆心角为，粒子在磁场中运动的最长时间 5．（多选）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中AOa=90o，∠AOb=120°，∠AOc=150°。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是（     ） A．三个粒子都带负电荷 B．b粒子的速率是a粒子的速率倍 C．c粒子在磁场中运动时间最长 D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2：1 【答案】BD 【详解】A．若带正电，向右运动时在纸面向里的磁场中所受洛伦兹力向上；若带负电，受力向下。图中三条轨迹均向上弯曲，故三粒子均带正电荷，故A错误； B．设圆形区域半径为，某粒子的轨道半径为，其出射点与的夹角为。由洛伦兹力提供向心力，有 整理得 由几何关系，粒子轨道对应的圆心角为，公共弦满足 整理得 故，，由 可知，故B正确； CD．三条轨迹的圆心角分别为、、，同一磁场中角速度相同，故 从而 粒子运动时间最短，故C错误，D正确。 故选BD。 6．如图所示，MN上、下方分别存在垂直于纸面向里、外的匀强磁场，磁感应强度大小相同。MN为一速度改变器，粒子从上方经MN穿到下方时，粒子的速度大小增加，从下方经MN穿到上方时，粒子速度减小，且均不改变粒子的速度方向。MN左侧有一长为L、与MN垂直的屏，屏的中心与MN交于O，O与MN上的P点相距7.3L。一带电量为+q，质量为m的带电粒子，从P点以沿与MN成30°方向射入上方磁场，第一次到达MN时与P点相距L。不计MN厚度和穿过MN的时间，不计粒子重力，取 求： (1)磁场磁感应强度B的大小； (2)带电粒子从开始运动到第3次到MN上所经历的时间，以及此时到P点的距离； (3)带电粒子是否会打到屏上？如能，请指出打在屏上的位置，如不能，请说明理由。 【答案】(1) (2)，4L (3)能打到屏上，距离O点0.266L 【详解】（1）粒子在上方磁场中做圆周运动，由几何关系可知 可得r=L 根据 可得 （2）粒子第一次在上方磁场中运动转过的角度为300°，则运动时间 粒子从P1点进入下方磁场时速度与MN仍成30°角，速度变为2v0，则根据 可知R=2L 粒子在磁场中转过的角度仍为300°，因周期不变，则时间仍为 粒子再次从P2点进入上方磁场，速度变为v0，同理可知再转过300°，时间为 可知带电粒子从P点开始运动到第3次到MN上的P3点所经历的时间 由几何关系可知，， 则第3次到MN上到P点的距离 （3）由几何关系可知，粒子第四次经过MN时的位置P4，此时PP4=6L；进入上方磁场后从屏的左侧打到屏上的B点，由几何关系AO5=0.8L，AB=0.6L，则打到屏上的位置B点到O点的距离为 7．如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小。 (2)在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，粒子从M到N做匀速圆周运动，轨迹如图所示： 根据几何关系 解得 洛伦兹力提供向心力 联立解得 （2）根据圆周运动知识可知，周期 解得 速度偏转角为，所以 解得 8．（多选）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁场以速度v水平射入，欲使粒子不打在极板上，粒子速度需满足（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设粒子在磁场中的轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力有 整理得 当粒子恰到达上极板左端时，轨迹圆的直径为，有，对应临界速度 当时，粒子从左侧边界离开，不与极板相碰。当粒子恰到达上极板右端时，由几何关系有 解得，对应临界速度 当时，粒子从右侧边界离开，不与极板相碰。因此，粒子不打在极板上的条件为或 故选CD。 9．如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。平面内y轴上的M处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与y轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子a恰好没有进入电场；已知粒子质量为m，电荷量大小为q。不计粒子的重力及其相互之间的影响，。 (1)求粒子发射源的位置坐标。 (2)若另一粒子b恰好自坐标原点O进入电场，求： ①粒子b的发射速度大小； ②粒子b第一次通过x轴进入磁场时到O点的距离。 【答案】(1) (2)① ② 【详解】（1）粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，半径为，则有 解得 设粒子发射源的坐标为，根据题意可知，粒子的运动轨迹与轴相切，根据几何关系有 如图所示 代入相关数据，解得 因此粒子发射源的坐标为 （2）①粒子b自坐标原点O进入电场，设其在磁场内圆周运动的半径为，根据几何关系有 如图所示 设粒子的速度为，由第一问可知 代入相关数据，解得 ②粒子b自坐标原点O进入电场时，速度方向与y轴正方向的夹角为，指向右上方。粒子在电场内做类斜抛运动，根据牛顿第二定律，其在轴方向上的加速度大小 由于粒子带负电，加速度方向平行于轴向下，运动时间 则水平位移为 代入相关数据，解得 10．（多选）如图所示，匀强磁场垂直于平面（纸面）向外，磁场的右边界与轴垂直，交轴于点。其中第I象限内的磁感应强度为，第Ⅳ象限内的磁感应强度为，且（大小均未知）。一质量为、电荷量为的粒子从原点以速度进入第I象限的磁场，方向与轴正方向成角，粒子从点离开磁场区域，不计粒子重力，则第I象限的磁感应强度的大小不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】粒子在磁场中的运动轨迹受洛伦兹力控制，在第I象限，磁感应强度，粒子从原点以与轴正方向成角射入，做顺时针圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得半径 由几何关系，轨迹与轴正半轴交于，此时速度方向与轴正方向成 同理，在第Ⅳ象限，磁感应强度为，粒子仍顺时针运动，半径，轨迹与轴正半轴交于，射出时速度方向与轴正方向成 此后粒子交替进入和，在轴上的交点依次为：，，，，，…… 因此粒子在轴上的所有交点坐标构成一个等差数列，规律为，其中是的正整数。 粒子最终从离开，所以必须是上述序列中的一个值。 因此， 代入，解得， A．由，解得，不为正整数，故A错误； B．由，解得，故B正确； C．由，解得，故C正确； D．由，解得 此时，而第一次出现前，粒子已经到达过处，故至少等于，故D错误。 本题选不正确的，故选AD。 11．质子和氘核以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设和分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则不正确的是（     ） A．轨迹b是氘核的运动轨迹 B． C． D．t1 ∶ t2=1∶2 【答案】C 【详解】A．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有，解得轨道半径。已知质子和氘核的电荷量相同，速度和磁感应强度也相同，则半径与质量成正比。因为氘核的质量大于质子的质量（），所以氘核的轨道半径较大。由图可知轨迹的半径大于轨迹的半径，故轨迹是氘核的运动轨迹，故A正确，不符合题意； B．由上述分析可知，半径之比等于质量之比，即，故B正确，不符合题意； C．粒子在磁场中受到的洛伦兹力，因此它们受到的洛伦兹力大小相等，即，故C错误，符合题意； D．由图可知粒子均运动了半个圆周，在磁场中运动的时间 因此运动时间之比，故D正确，不符合题意。 故选C。 12．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为4B，在第三、四象限内也存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带负电的粒子从坐标原点沿y轴正方向以初速度射入磁场中，恰好在坐标（L，0）处飞出第二象限，在（0，-L）处与挡板MN发生碰撞。带电粒子与挡板碰撞前后x轴方向速度保持不变，y轴方向速度大小不变，方向相反。不计粒子所受的重力，则（     ） A．带电粒子的比荷为 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子再次回到原点的时间为 D．带电粒子再次回到原点的时间为 【答案】AC 【详解】AB．带电粒子由原点进入第二象限的磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 带电粒子恰好在坐标处飞出第二象限，由几何关系可知其运动轨迹为半圆，有 联立解得，故A正确，故B错误； CD．带电粒子在第三、四象限内的磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 带电粒子以大小为、方向沿轴负方向的速度从处进入第三象限，其做圆周运动的圆心为，带电粒子与挡板MN发生碰撞的位置为。由几何关系可知圆心与连线同轴负方向的夹角为，即、两点对应的圆心角为，则粒子到达处时速度方向与轴正方向成角斜向下。由于带电粒子与挡板碰撞前后轴方向速度保持不变，轴方向速度大小不变、方向相反，则碰撞后速度方向与轴正方向成角斜向上，速度大小仍为。碰撞后粒子做圆周运动的圆心变为，由于圆心刚好在点，且轨迹半径仍为，所以粒子刚好从处垂直轴进入第一象限，此过程对应的圆心角也为。粒子在第二象限中运动的时间为 解得 粒子在第三象限碰前运动的时间为 解得 粒子碰后在第四象限运动的时间为 解得 粒子在第一象限中运动的轨迹为半圆并恰好回到原点，其运动的时间为 解得 带电粒子再次回到原点的总时间为 联立解得，故C正确，故D错误。 故选AC。 13．（多选）如图所示，为圆形磁场区域的圆周上的6个等分点，比荷相同的粒子先后从沿方向射入磁场区域。从点离开磁场的粒子，速度大小为，在磁场中运动的时间为，从点离开磁场的粒子，速度大小为，在磁场中运动的时间为，不计粒子重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】以为轴建立如图所示坐标系，设圆直径为。比荷相同的粒子先后从沿方向射入磁场区域，由几何关系速度方向从f点指向坐标为，由左手定则，洛伦兹力方向沿连线方向，从点离开的粒子，设轨道圆心为，半径为，圆心在连线所在直线，由几何关系，圆心坐标 出射点也在圆上，满足，代入坐标平方有 展开化简得解得 同理，圆心坐标，出射点在圆上，满足 展开化简得解得 AB．粒子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，变形有 粒子比荷相同，磁场相同，则 故A错误，B正确； CD．运动时间，其中，是轨迹圆弧的圆心角。 易知从点离开的粒子，运动半个周期 由圆心坐标公式可知，故，代入解得，故C错误，D正确。 故选BD。 14．如图xOy平面直角坐标系中，的范围内有垂直纸面向外的匀强磁场B，在的范围内，有沿y轴正方向的匀强电场E，已知。在坐标上放置粒子源，粒子源沿y轴的正方向以不同大小的初速度射出质量为m，电荷量为q的正电粒子，不计粒子重力。 (1)若粒子从第一次经过y轴，求粒子源发射粒子的初速度大小； (2)若粒子从第一次经过y轴，求此后粒子的最小速度和最小速度时粒子位置的纵坐标。 【答案】(1) (2)0， 【详解】（1）根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力充当向心力可知 解得 （2）粒子从第一次经过轴，根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力充当向心力可知 解得 且与轴的正方向成。 根据配速法，将粒子的运动分解成匀速直线运动和匀速圆周运动，速率分别为、，如图： 有 解得 根据速度的矢量运算可得 根据洛伦兹力充当向心力可知 根据几何关系可知 则粒子做匀速圆周运动的轨迹恰好与x轴相切，由于粒子的合速度是匀速直线速度与圆周运动速度的矢量和，当圆周运动的速度方向与匀速直线运动完全相反时，合速度取得最小值。即粒子纵坐标 此时合速度最小，等于0。 15．（多选）如图所示，两个同心圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为，外圆半径为。现将质量为、电荷量大小为的带负电粒子从圆心处以初速度射出，该粒子恰好不能从外圆边界离开，则下列说法正确的是（　　）   A．初速度 B．该粒子从射入磁场到第一次回到内圆的时间为 C．粒子在磁场中的轨迹长度为 D．粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场的时间为 【答案】AD 【详解】A．由题意知，粒子在磁场中运动的轨迹圆既与外圆相切，也与射入磁场时粒子的初速度相切，设粒子轨迹圆的半径为R，根据几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力，可得 解得初速度，故A正确； B．由几何关系可知粒子在磁场区域的偏转角为 粒子在磁场中运动的周期 该粒子从射入磁场到第一次回到内圆的时间为，故B错误； C．根据粒子运动轨迹可知，粒子在磁场中经历3次同样的偏转后回到初始状态，粒子每次在磁场中转过的弧长 粒子在磁场中的轨迹长度，故C错误； D．根据粒子运动轨迹可知，粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场，经历了3次圆弧和3次小圆直径的长度，则粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场的时间，故D正确。 故选AD。 重难·创新演练 16．（多选）在真空区域内存在一宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，AD、BC为磁场的两条平行边界。质量为m、电荷量为q的带负电粒子以与AD边界成37°的夹角射入磁场，粒子从磁场右边界射出时，速度方向与边界的夹角为53°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中的轨迹半径为5d B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了90° C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】AD 【详解】A．粒子从磁场右边缘射出时，轨迹如图 则由几何关系rcos37°-rsin37°=d 解得r=5d，故A正确； B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了53°-37°=16°，B错误； C．根据 可得，故C错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角可能为θ=53°-37°=16° 根据 粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为，故D正确。 故选AD。 17．如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)若粒子在圆形区域的运动时间为，则圆形区域的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿直线通过cdef区域，可知 解得 （2）由逆向思维可知，粒子在左侧电场中做类平抛运动，可知， 解得 （3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，则 解得 设粒子转过的圆心角为，粒子通过圆形区域的时间 解得 圆形区域的半径为，则 解得 18．（多选）如图所示，纸面内abc区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，∠b=30°，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与ab边相切于C点（图中未标出）。若仅将磁场反向带电粒子仍从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，并从ab边上D点（图中未标出）射出磁场。不计粒子的重力，则下列说法错误的是（     ） A．b点到A点的距离等于 B．粒子从A运动到C所用的时间为 C．粒子从A运动到C的时间与从A运动到D的时间相等 D．粒子从D射出时速度的偏向角为30° 【答案】BC 【详解】A．设粒子做圆周运动的半径为，原磁场中粒子在点所受洛伦兹力沿向右，故圆心在边上且，轨迹与边相切于点，故。在直角三角形中 所以，故A正确； B．原磁场中，粒子运动周期为 因此，故B错误； C．磁场反向后，粒子在点所受洛伦兹力沿向左，新圆心位于点左侧且。由，可知与点重合，因此，粒子从点运动到点的时间为 而，二者不相等，故C错误； D．磁场反向后，粒子从点运动到点时半径方向转过，速度方向也转过，故D正确。 故选BC。 19．在图中，若上下板足够长，间距为。一质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从下极板上的点以速度沿与极板成角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上极板，则磁场的磁感应强度应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子不打在上极板，临界情况为粒子的轨迹恰好与上极板相切，如图所示 设轨道半径为r，由几何关系可得 由于洛伦兹力提供向心力有 联立解得 磁感应强度越大，轨迹半径越小，所以磁场的磁感应强度应满足。 故选A。 20．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 【答案】D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，轨迹如图所示： 洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则 若带电粒子恰好从O点射出时，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即粒子仍能从y轴上ON之间射出，速度范围为，故D正确。 故选D。 21．（多选）如图所示，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第二象限内有水平向右的匀强电场。有一重力不计的带电粒子（电荷量为，质量为）以垂直于轴的速度从x轴上的S点（OS之间的距离为d）射入匀强电场，在y轴上的P点（未画出）与y轴正方向成45°角射出电场，然后在x轴上的Q点（未画出）垂直于x轴射出。则（     ） A．点坐标为 B．点坐标为 C．带电粒子在电场和磁场中运动的时间之比为 D．带电粒子在电场和磁场中运动的时间之比为 【答案】BD 【详解】先分析粒子在电场内的运动： 分析可知，粒子在第二象限做类平抛运动，初速度沿方向，受向右的电场力做加速运动 到达轴时，竖直分速度 已知速度方向与轴正方向成角，故水平分速度 水平方向位移为，由运动学公式： 可得 解得 电场中运动时间 到达点的位置：，故点坐标为 下面分析粒子在磁场中的运动： AB．粒子进入第一象限时，速度大小，方向与轴成 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，轨迹向下偏转，最终从轴上的点垂直于轴射出，说明在点速度方向竖直向下 设轨迹半径为，圆心为 由几何关系可得圆心位于轴上，且到的连线与水平方向成 因此， 解得， 点横坐标： 因此点坐标为，故A错误，B正确； CD．粒子在磁场中转过的圆心角为 因此磁场中的运动时间： 则时间之比为，故C错误，D正确。 故选BD。 22．（多选）如图所示，在直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为的四分之一圆内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为圆弧的中点。从坐标原点沿轴正方向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为、电荷量为（），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从点射出，则粒子出磁场时速度沿轴正方向 D．从点射出的粒子与从点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为 【答案】AC 【详解】A．从轴射出的粒子在磁场中运动的时间最长，根据， 可得周期 最长时间，故A正确； B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，根据 可得运动时间越短，故B错误； C．若粒子从点射出，运动轨迹如图，根据几何关系，轨迹所对的圆心角为，因此粒子从点出磁场时，速度沿轴正向，故C正确； D．从点射出的粒子在磁场中运动的时间为，从点射出的粒子在磁场中运动的时间为，因此时间之比为，故D错误。 故选AC。 23．如图，AB为线状粒子源，发出速度大小相同的平行粒子束。这些粒子进入两个圆形磁场区域后，所有粒子均垂直于MN、PQ间的匀强电场进入电场。已知粒子的初速度大小为v，粒子的质量为m，电量为q，两圆形磁场的半径分别为，电场强度为E，不计重力。求： (1)两圆形磁场的磁感应强度； (2)若所有粒子均落到极板MN上，求极板上有粒子撞击的长度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由于发出的平行粒子束均聚焦于点，由几何关系可知粒子在左侧磁场中的轨道半径，根据牛顿第二定律有 解得 从点射入右侧磁场的粒子离开磁场时速度方向均竖直向上，由几何关系可知粒子在右侧磁场中的轨道半径，根据牛顿第二定律有 解得 （2）设粒子源AB发出的粒子到达点时速度方向与水平方向的夹角为，由几何关系可知，所有到达点的粒子速度方向与水平方向夹角的范围为，以为坐标原点，对于速度方向与水平方向夹角为的粒子，离开磁场时的坐标为，由图可知，匀强电场下边界与磁场最高点相切，所有粒子离开磁场后在无场区向上做匀速直线运动，随后以横坐标进入匀强电场，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律有 粒子到达MN极板时，水平位移，根据运动学公式有 联立解得粒子在电场中运动的时间 粒子在电场中竖直方向上的位移，联立可推导 当时竖直位移取得最小值，解得 当时竖直位移取得最大值，解得 极板上有粒子撞击的长度满足 解得 24．（多选）如图所示，两个同心圆半径分别为r和2r，其中ab为圆的直径，在两圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场B。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由b点以某速率与ab成角射入磁场区域，粒子恰好未进入小圆区域内。不计粒子重力，已知，则（     ） A．若，则粒子速率为 B．若，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若，则粒子的速率可能为 D．若，则粒子的速率可能为 【答案】AD 【详解】A．时，由几何知识得轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得，A正确； B．根据几何知识得转过的圆心角 粒子运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为，B错误； CD．若时，粒子恰好未从右侧进入小圆区域内，粒子以较小速率发射，其轨迹与小圆外切，由余弦定理有 解得轨迹半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得 同理粒子恰好未从左侧进入小圆区域内，粒子以较大速率发射，其轨迹与小圆内切，由余弦定理有 解得运动半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得，C错误，D正确。 故选AD。 25．如图所示，在空间有xOy坐标系，第三象限有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，第四象限有竖直向上的匀强电场。一个质量为、电荷量为的正离子，从处沿与轴负方向成角垂直射入匀强磁场中，结果离子正好从距点为的处沿垂直电场方向进入匀强电场，最后离子打在轴上距点的处。不计离子重力，求： (1)此离子运动到处时的速度； (2)离子从处运动到处所需的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）此离子的运动轨迹如图所示 由几何知识可知 解得 离子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 离子进入电场后做类平抛运动，则轴方向有 轴方向有 可得 此离子运动到处时的速度 （2）离子在磁场中运动的周期 根据轨迹得到离子在磁场中做圆周运动的时间为 离子从处运动到处做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，所需要的时间 故离子从处运动到处所需的时间 26．如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【答案】D 【详解】A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力与粒子的速度方向始终垂直，则洛伦兹力对该粒子做的功为0，故A错误； B.在粒子穿越磁场的过程中，速度大小不变但方向改变，则动量改变，根据动量定理可知，则合外力冲量不为零，粒子仅受洛伦兹力作用，则洛伦兹力对该粒子的冲量不为0，故B错误； C．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，穿越磁场的过程中，水平方向速度大小由v一直减小，则该粒子在磁场中运动的时间大于，故C错误； D．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 根据几何关系 联立解得 故D正确。 故选D。 27．如图所示，在直角坐标系xOy中，第I象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第I象限处水平放置着一足够长的荧光屏，荧光屏左端紧贴y轴上的A点。分布均匀的粒子群以相同的初速度v从y轴上O、A间沿与y轴负方向成45°角射入磁场区域，粒子的质量均为m、带电量均为。已知磁感应强度大小，粒子打到x轴或荧光屏上立即被吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后产生的电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子打在荧光屏上离A点最远位置的横坐标。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据公式 ，解得 （2）显然，由于每个粒子的圆周运动半径相同，故当粒子垂直打在荧光屏上时离A点最远。 此时粒子的运动路径圆心在荧光屏上，由几何关系可得 28．（多选）如图所示，在边长为的正方形区域内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为，电荷量为的带电粒子（不计重力），分别以相同的速率从点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿方向射入时，垂直于边射出磁场。则粒子（　　） A．带负电 B．运动速率 C．在磁场中运动的最长时间 D．在磁场中运动的最长时间 【答案】BC 【详解】A． 由左手定则可知粒子带正电，故A错误； B. 根据粒子的运动轨迹可知 由 可得，故B正确； CD． 从射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对的圆心角为60°，则最长时间为，故C正确，D错误。 故选BC。 29．质谱仪是分离和检测同位素的科学仪器，其原理如图所示。区域Ⅰ为粒子加速器，加速电压为；区域Ⅱ为速度选择器，两板间距为，电压为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；区域Ⅲ为磁分析器，磁感应强度大小也为，方向垂直纸面向里。从点由静止释放一电荷量为的粒子，经加速后进入速度选择器做直线运动，从点垂直进入磁分析器做圆周运动，最终打到照相底片的点，忽略粒子重力。 (1)求粒子经过点时的速度大小； (2)求粒子的比荷； (3)另有的同位素从点由静止释放，仅调节加速电压，使以与相同的速度通过速度选择器，射入磁分析器后打到照相底片的点。测得与两点间距离为。求两粒子质量差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在速度选择器中做直线运动，根据平衡条件，有 又 解得粒子经过点时的速度大小 （2）粒子在加速电场中经加速后速度达到，根据动能定理有 解得 （3）粒子、以相同的速度通过速度选择器后，在磁分析器中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足， 解得， 由几何关系得 代入 解得 30．（多选）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，半径与成角，带正电的粒子以速率从点沿直径方向射入磁场，从点射出。现仅把磁感应强度大小调整为，粒子从点（未画出）射出磁场，不计粒子重力，则（     ） A．、间的距离为 B．、间的距离为 C．调整磁场前后，粒子离开磁场时的速度偏向角之比为 D．调整磁场前后，粒子在磁场中的运动时间之比为 【答案】BD 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，对粒子有 解得 由左手定则可知粒子射入后向直径上方偏转；粒子从点沿直径方向射入，入射速度沿半径方向，所以轨迹圆圆心在过点且与垂直的直线上，由，及公共边可知，从而，故粒子从点射出时速度沿半径方向，于是调整前粒子的偏向角与相等，由题给条件可知该偏向角为，圆心在弦的垂直平分线上，所以平分，而 于是，在直角三角形中有 又轨迹半径，区域半径，所以 由几何关系，与偏向角满足 代入可得本题模型中偏向角与轨迹半径的关系 调整前有，所以调整前粒子的轨迹半径 只把磁感应强度调整为，由半径公式知轨迹半径与磁感应强度成反比，所以 同理，调整后粒子的出射速度仍沿半径方向，所以调整后的偏向角与相等，把调整后的轨迹半径代入 可得调整后粒子的偏向角满足 所以调整后粒子从点射出，且 磁场区域圆上，，所以 调整前后两条轨迹圆弧与半径和半径的位置关系及的大小如图所示。 又磁场区域圆的半径 所以是等边三角形，，故A错误，B正确； CD．由前述计算可知，调整前后粒子的速度偏向角分别为和，二者之比为 粒子在磁场中的运动时间 由与可得周期 由与得调整前后粒子在磁场中运动的时间都可写成 调整前后磁感应强度分别为和，代入得运动时间之比，故C错误，D正确。 故选BD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训34 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 10 研判·模型总结 整体思路 技巧总结 Ⅰ:基础内容： 1.电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式 ①当时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动 ②当时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动 ③当与成角时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速速率螺旋式前进； 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 Ⅱ:带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” 类型一：（两速模型）已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。 依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心。 (2) 类型二：（两点一速模型）已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。 依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心 （3）类型三：（一速一模型）见速画垂直，利用已知半径确定新轨迹的半径，从而画出运行轨迹，从而求圆心角. Ⅲ：1、求半径：主要由三角形几何关系求出 （一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。 1. 若已知与，则由边角关系知 2、若已知与(未知)，则由勾股定理知 . 2、求半径（两种方法） 几何关系细节如下图： ①粒子速度的偏向角()等于圆心角()，并等于弦与切线的夹角(弦切角)的2倍(如图所示)，即 同弧所对的圆心角等于弦切角的2倍. ②直角三角形的应用(勾股定理)。 找到的中点，连接，则都是直角三角形。 Ⅳ：运动的时间的确定 ①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：，. ②当一定时，粒子在磁场中运动的时间，为带电粒子通过的弧长。 注意：由得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。 图象如下： 入射角为时，. 入射角为时，. 入射角为时，. 入射角为时，. 模拟·基础演练 1．两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 2．如图所示，真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里，MN、PQ的间距为。粒子和氢核先后从点沿着与MN夹角为 的方向射入磁场中，都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，则（     ） A．， B．， C．粒子在磁场中运动的半径为 D．粒子在磁场中运动的半径为 3．如图所示，ABCD是长为L的矩形，内部存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从A点以速度垂直射入磁场，速度方向与AB的夹角为，粒子刚好从B点射出磁场，不计粒子的重力，则（     ） A．粒子一定带负电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．粒子从A到B所需的时间为 D．矩形磁场宽度的最小值为 4．如图所示，在矩形区域abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为。在ad边中点的粒子源，在时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相等，方向与的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上的点离开磁场，，，粒子在磁场中做圆周运动的半径，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中的运动周期； (2)粒子的比荷； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 5．（多选）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中AOa=90o，∠AOb=120°，∠AOc=150°。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是（     ） A．三个粒子都带负电荷 B．b粒子的速率是a粒子的速率倍 C．c粒子在磁场中运动时间最长 D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2：1 6．如图所示，MN上、下方分别存在垂直于纸面向里、外的匀强磁场，磁感应强度大小相同。MN为一速度改变器，粒子从上方经MN穿到下方时，粒子的速度大小增加，从下方经MN穿到上方时，粒子速度减小，且均不改变粒子的速度方向。MN左侧有一长为L、与MN垂直的屏，屏的中心与MN交于O，O与MN上的P点相距7.3L。一带电量为+q，质量为m的带电粒子，从P点以沿与MN成30°方向射入上方磁场，第一次到达MN时与P点相距L。不计MN厚度和穿过MN的时间，不计粒子重力，取 求： (1)磁场磁感应强度B的大小； (2)带电粒子从开始运动到第3次到MN上所经历的时间，以及此时到P点的距离； (3)带电粒子是否会打到屏上？如能，请指出打在屏上的位置，如不能，请说明理由。 7．如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小。 (2)在磁场中运动的时间。 8．（多选）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁场以速度v水平射入，欲使粒子不打在极板上，粒子速度需满足（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。平面内y轴上的M处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与y轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子a恰好没有进入电场；已知粒子质量为m，电荷量大小为q。不计粒子的重力及其相互之间的影响，。 (1)求粒子发射源的位置坐标。 (2)若另一粒子b恰好自坐标原点O进入电场，求： ①粒子b的发射速度大小； ②粒子b第一次通过x轴进入磁场时到O点的距离。 10．（多选）如图所示，匀强磁场垂直于平面（纸面）向外，磁场的右边界与轴垂直，交轴于点。其中第I象限内的磁感应强度为，第Ⅳ象限内的磁感应强度为，且（大小均未知）。一质量为、电荷量为的粒子从原点以速度进入第I象限的磁场，方向与轴正方向成角，粒子从点离开磁场区域，不计粒子重力，则第I象限的磁感应强度的大小不可能的是（　　） A． B． C． D． 11．质子和氘核以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设和分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则不正确的是（     ） A．轨迹b是氘核的运动轨迹 B． C． D．t1 ∶ t2=1∶2 12．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为4B，在第三、四象限内也存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带负电的粒子从坐标原点沿y轴正方向以初速度射入磁场中，恰好在坐标（L，0）处飞出第二象限，在（0，-L）处与挡板MN发生碰撞。带电粒子与挡板碰撞前后x轴方向速度保持不变，y轴方向速度大小不变，方向相反。不计粒子所受的重力，则（     ） A．带电粒子的比荷为 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子再次回到原点的时间为 D．带电粒子再次回到原点的时间为 13．（多选）如图所示，为圆形磁场区域的圆周上的6个等分点，比荷相同的粒子先后从沿方向射入磁场区域。从点离开磁场的粒子，速度大小为，在磁场中运动的时间为，从点离开磁场的粒子，速度大小为，在磁场中运动的时间为，不计粒子重力，则（　　） A． B． C． D． 14．如图xOy平面直角坐标系中，的范围内有垂直纸面向外的匀强磁场B，在的范围内，有沿y轴正方向的匀强电场E，已知。在坐标上放置粒子源，粒子源沿y轴的正方向以不同大小的初速度射出质量为m，电荷量为q的正电粒子，不计粒子重力。 (1)若粒子从第一次经过y轴，求粒子源发射粒子的初速度大小； (2)若粒子从第一次经过y轴，求此后粒子的最小速度和最小速度时粒子位置的纵坐标。 15．（多选）如图所示，两个同心圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为，外圆半径为。现将质量为、电荷量大小为的带负电粒子从圆心处以初速度射出，该粒子恰好不能从外圆边界离开，则下列说法正确的是（　　）   A．初速度 B．该粒子从射入磁场到第一次回到内圆的时间为 C．粒子在磁场中的轨迹长度为 D．粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场的时间为 重难·创新演练 16．（多选）在真空区域内存在一宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，AD、BC为磁场的两条平行边界。质量为m、电荷量为q的带负电粒子以与AD边界成37°的夹角射入磁场，粒子从磁场右边界射出时，速度方向与边界的夹角为53°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中的轨迹半径为5d B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了90° C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中的运动时间为 17．如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)若粒子在圆形区域的运动时间为，则圆形区域的半径。 18．（多选）如图所示，纸面内abc区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，∠b=30°，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与ab边相切于C点（图中未标出）。若仅将磁场反向带电粒子仍从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，并从ab边上D点（图中未标出）射出磁场。不计粒子的重力，则下列说法错误的是（     ） A．b点到A点的距离等于 B．粒子从A运动到C所用的时间为 C．粒子从A运动到C的时间与从A运动到D的时间相等 D．粒子从D射出时速度的偏向角为30° 19．在图中，若上下板足够长，间距为。一质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从下极板上的点以速度沿与极板成角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上极板，则磁场的磁感应强度应满足（　　） A． B． C． D． 20．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 21．（多选）如图所示，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第二象限内有水平向右的匀强电场。有一重力不计的带电粒子（电荷量为，质量为）以垂直于轴的速度从x轴上的S点（OS之间的距离为d）射入匀强电场，在y轴上的P点（未画出）与y轴正方向成45°角射出电场，然后在x轴上的Q点（未画出）垂直于x轴射出。则（     ） A．点坐标为 B．点坐标为 C．带电粒子在电场和磁场中运动的时间之比为 D．带电粒子在电场和磁场中运动的时间之比为 22．（多选）如图所示，在直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为的四分之一圆内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为圆弧的中点。从坐标原点沿轴正方向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为、电荷量为（），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从点射出，则粒子出磁场时速度沿轴正方向 D．从点射出的粒子与从点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为 23．如图，AB为线状粒子源，发出速度大小相同的平行粒子束。这些粒子进入两个圆形磁场区域后，所有粒子均垂直于MN、PQ间的匀强电场进入电场。已知粒子的初速度大小为v，粒子的质量为m，电量为q，两圆形磁场的半径分别为，电场强度为E，不计重力。求： (1)两圆形磁场的磁感应强度； (2)若所有粒子均落到极板MN上，求极板上有粒子撞击的长度。 24．（多选）如图所示，两个同心圆半径分别为r和2r，其中ab为圆的直径，在两圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场B。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由b点以某速率与ab成角射入磁场区域，粒子恰好未进入小圆区域内。不计粒子重力，已知，则（     ） A．若，则粒子速率为 B．若，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若，则粒子的速率可能为 D．若，则粒子的速率可能为 25．如图所示，在空间有xOy坐标系，第三象限有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，第四象限有竖直向上的匀强电场。一个质量为、电荷量为的正离子，从处沿与轴负方向成角垂直射入匀强磁场中，结果离子正好从距点为的处沿垂直电场方向进入匀强电场，最后离子打在轴上距点的处。不计离子重力，求： (1)此离子运动到处时的速度； (2)离子从处运动到处所需的时间。 26．如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 27．如图所示，在直角坐标系xOy中，第I象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第I象限处水平放置着一足够长的荧光屏，荧光屏左端紧贴y轴上的A点。分布均匀的粒子群以相同的初速度v从y轴上O、A间沿与y轴负方向成45°角射入磁场区域，粒子的质量均为m、带电量均为。已知磁感应强度大小，粒子打到x轴或荧光屏上立即被吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后产生的电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子打在荧光屏上离A点最远位置的横坐标。 28．（多选）如图所示，在边长为的正方形区域内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为，电荷量为的带电粒子（不计重力），分别以相同的速率从点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿方向射入时，垂直于边射出磁场。则粒子（　　） A．带负电 B．运动速率 C．在磁场中运动的最长时间 D．在磁场中运动的最长时间 29．质谱仪是分离和检测同位素的科学仪器，其原理如图所示。区域Ⅰ为粒子加速器，加速电压为；区域Ⅱ为速度选择器，两板间距为，电压为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；区域Ⅲ为磁分析器，磁感应强度大小也为，方向垂直纸面向里。从点由静止释放一电荷量为的粒子，经加速后进入速度选择器做直线运动，从点垂直进入磁分析器做圆周运动，最终打到照相底片的点，忽略粒子重力。 (1)求粒子经过点时的速度大小； (2)求粒子的比荷； (3)另有的同位素从点由静止释放，仅调节加速电压，使以与相同的速度通过速度选择器，射入磁分析器后打到照相底片的点。测得与两点间距离为。求两粒子质量差。 30．（多选）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，半径与成角，带正电的粒子以速率从点沿直径方向射入磁场，从点射出。现仅把磁感应强度大小调整为，粒子从点（未画出）射出磁场，不计粒子重力，则（     ） A．、间的距离为 B．、间的距离为 C．调整磁场前后，粒子离开磁场时的速度偏向角之比为 D．调整磁场前后，粒子在磁场中的运动时间之比为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训34 带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解 参考答案 题号 1 2 3 5 8 10 11 12 13 15 答案 C D B BD CD AD C AC BD AD 题号 16 18 19 20 21 22 24 26 28 30 答案 AD BC A D BD AC AD D BC BD 模拟·基础演练 1．C 【详解】A．由图可知磁场方向垂直纸面向里，粒子向右射入。根据左手定则，向上偏转的b粒子洛伦兹力向上，带正电；向下偏转的a粒子洛伦兹力向下，带负电，故A错误； B．作出a、b粒子运动的轨迹半径，如下图所示 设圆形磁场区域半径为，粒子偏转角为，由几何关系得粒子轨迹半径 偏转角 ，得 偏转角 ，得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得， 两粒子比荷相等，因此 ，则 ，故B错误； C．粒子运动周期 两粒子比荷相等，相同，因此相同。运动时间 时间与偏转角成正比，则 ，故C正确； D．入射速率不变， ，新轨迹半径 由，解得新偏转角 由 ，可得时间比，故D错误。 故选C。 2．D 【详解】CD．作出粒子运动的轨迹图，如图 根据几何关系可知R+Rcosθ=l 解得，故C错误，D正确； AB．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 运动时间为 由图可知圆心角相等，从而解得t1：t2=2：1，v1：v2=1：2，故AB错误。 故选D。 3．B 【详解】A．粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方，由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 解得，故B正确； C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为 又由 解得，故C错误； D．由几何知识可知，矩形磁场宽度的最小值为粒子运动轨迹最高点到的距离，即，故D错误。 故选B。 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）初速度沿方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图1，其运动轨迹的圆心角为，由几何关系有 所以 由 解得 （2）粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得 又 所以 解得 （3）如图2所示，在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹的弦 圆轨迹的半径为，所以弦对应的圆心角为，粒子在磁场中运动的最长时间 5．BD 【详解】A．若带正电，向右运动时在纸面向里的磁场中所受洛伦兹力向上；若带负电，受力向下。图中三条轨迹均向上弯曲，故三粒子均带正电荷，故A错误； B．设圆形区域半径为，某粒子的轨道半径为，其出射点与的夹角为。由洛伦兹力提供向心力，有 整理得 由几何关系，粒子轨道对应的圆心角为，公共弦满足 整理得 故，，由 可知，故B正确； CD．三条轨迹的圆心角分别为、、，同一磁场中角速度相同，故 从而 粒子运动时间最短，故C错误，D正确。 故选BD。 6．(1) (2)，4L (3)能打到屏上，距离O点0.266L 【详解】（1）粒子在上方磁场中做圆周运动，由几何关系可知 可得r=L 根据 可得 （2）粒子第一次在上方磁场中运动转过的角度为300°，则运动时间 粒子从P1点进入下方磁场时速度与MN仍成30°角，速度变为2v0，则根据 可知R=2L 粒子在磁场中转过的角度仍为300°，因周期不变，则时间仍为 粒子再次从P2点进入上方磁场，速度变为v0，同理可知再转过300°，时间为 可知带电粒子从P点开始运动到第3次到MN上的P3点所经历的时间 由几何关系可知，， 则第3次到MN上到P点的距离 （3）由几何关系可知，粒子第四次经过MN时的位置P4，此时PP4=6L；进入上方磁场后从屏的左侧打到屏上的B点，由几何关系AO5=0.8L，AB=0.6L，则打到屏上的位置B点到O点的距离为 7．(1) (2) 【详解】（1）一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，粒子从M到N做匀速圆周运动，轨迹如图所示： 根据几何关系 解得 洛伦兹力提供向心力 联立解得 （2）根据圆周运动知识可知，周期 解得 速度偏转角为，所以 解得 8．CD 【详解】设粒子在磁场中的轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力有 整理得 当粒子恰到达上极板左端时，轨迹圆的直径为，有，对应临界速度 当时，粒子从左侧边界离开，不与极板相碰。当粒子恰到达上极板右端时，由几何关系有 解得，对应临界速度 当时，粒子从右侧边界离开，不与极板相碰。因此，粒子不打在极板上的条件为或 故选CD。 9．(1) (2)① ② 【详解】（1）粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，半径为，则有 解得 设粒子发射源的坐标为，根据题意可知，粒子的运动轨迹与轴相切，根据几何关系有 如图所示 代入相关数据，解得 因此粒子发射源的坐标为 （2）①粒子b自坐标原点O进入电场，设其在磁场内圆周运动的半径为，根据几何关系有 如图所示 设粒子的速度为，由第一问可知 代入相关数据，解得 ②粒子b自坐标原点O进入电场时，速度方向与y轴正方向的夹角为，指向右上方。粒子在电场内做类斜抛运动，根据牛顿第二定律，其在轴方向上的加速度大小 由于粒子带负电，加速度方向平行于轴向下，运动时间 则水平位移为 代入相关数据，解得 10．AD 【详解】粒子在磁场中的运动轨迹受洛伦兹力控制，在第I象限，磁感应强度，粒子从原点以与轴正方向成角射入，做顺时针圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得半径 由几何关系，轨迹与轴正半轴交于，此时速度方向与轴正方向成 同理，在第Ⅳ象限，磁感应强度为，粒子仍顺时针运动，半径，轨迹与轴正半轴交于，射出时速度方向与轴正方向成 此后粒子交替进入和，在轴上的交点依次为：，，，，，…… 因此粒子在轴上的所有交点坐标构成一个等差数列，规律为，其中是的正整数。 粒子最终从离开，所以必须是上述序列中的一个值。 因此， 代入，解得， A．由，解得，不为正整数，故A错误； B．由，解得，故B正确； C．由，解得，故C正确； D．由，解得 此时，而第一次出现前，粒子已经到达过处，故至少等于，故D错误。 本题选不正确的，故选AD。 11．C 【详解】A．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有，解得轨道半径。已知质子和氘核的电荷量相同，速度和磁感应强度也相同，则半径与质量成正比。因为氘核的质量大于质子的质量（），所以氘核的轨道半径较大。由图可知轨迹的半径大于轨迹的半径，故轨迹是氘核的运动轨迹，故A正确，不符合题意； B．由上述分析可知，半径之比等于质量之比，即，故B正确，不符合题意； C．粒子在磁场中受到的洛伦兹力，因此它们受到的洛伦兹力大小相等，即，故C错误，符合题意； D．由图可知粒子均运动了半个圆周，在磁场中运动的时间 因此运动时间之比，故D正确，不符合题意。 故选C。 12．AC 【详解】AB．带电粒子由原点进入第二象限的磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 带电粒子恰好在坐标处飞出第二象限，由几何关系可知其运动轨迹为半圆，有 联立解得，故A正确，故B错误； CD．带电粒子在第三、四象限内的磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 带电粒子以大小为、方向沿轴负方向的速度从处进入第三象限，其做圆周运动的圆心为，带电粒子与挡板MN发生碰撞的位置为。由几何关系可知圆心与连线同轴负方向的夹角为，即、两点对应的圆心角为，则粒子到达处时速度方向与轴正方向成角斜向下。由于带电粒子与挡板碰撞前后轴方向速度保持不变，轴方向速度大小不变、方向相反，则碰撞后速度方向与轴正方向成角斜向上，速度大小仍为。碰撞后粒子做圆周运动的圆心变为，由于圆心刚好在点，且轨迹半径仍为，所以粒子刚好从处垂直轴进入第一象限，此过程对应的圆心角也为。粒子在第二象限中运动的时间为 解得 粒子在第三象限碰前运动的时间为 解得 粒子碰后在第四象限运动的时间为 解得 粒子在第一象限中运动的轨迹为半圆并恰好回到原点，其运动的时间为 解得 带电粒子再次回到原点的总时间为 联立解得，故C正确，故D错误。 故选AC。 13．BD 【详解】以为轴建立如图所示坐标系，设圆直径为。比荷相同的粒子先后从沿方向射入磁场区域，由几何关系速度方向从f点指向坐标为，由左手定则，洛伦兹力方向沿连线方向，从点离开的粒子，设轨道圆心为，半径为，圆心在连线所在直线，由几何关系，圆心坐标 出射点也在圆上，满足，代入坐标平方有 展开化简得解得 同理，圆心坐标，出射点在圆上，满足 展开化简得解得 AB．粒子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，变形有 粒子比荷相同，磁场相同，则 故A错误，B正确； CD．运动时间，其中，是轨迹圆弧的圆心角。 易知从点离开的粒子，运动半个周期 由圆心坐标公式可知，故，代入解得，故C错误，D正确。 故选BD。 14．(1) (2)0， 【详解】（1）根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力充当向心力可知 解得 （2）粒子从第一次经过轴，根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力充当向心力可知 解得 且与轴的正方向成。 根据配速法，将粒子的运动分解成匀速直线运动和匀速圆周运动，速率分别为、，如图： 有 解得 根据速度的矢量运算可得 根据洛伦兹力充当向心力可知 根据几何关系可知 则粒子做匀速圆周运动的轨迹恰好与x轴相切，由于粒子的合速度是匀速直线速度与圆周运动速度的矢量和，当圆周运动的速度方向与匀速直线运动完全相反时，合速度取得最小值。即粒子纵坐标 此时合速度最小，等于0。 15．AD 【详解】A．由题意知，粒子在磁场中运动的轨迹圆既与外圆相切，也与射入磁场时粒子的初速度相切，设粒子轨迹圆的半径为R，根据几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力，可得 解得初速度，故A正确； B．由几何关系可知粒子在磁场区域的偏转角为 粒子在磁场中运动的周期 该粒子从射入磁场到第一次回到内圆的时间为，故B错误； C．根据粒子运动轨迹可知，粒子在磁场中经历3次同样的偏转后回到初始状态，粒子每次在磁场中转过的弧长 粒子在磁场中的轨迹长度，故C错误； D．根据粒子运动轨迹可知，粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场，经历了3次圆弧和3次小圆直径的长度，则粒子从第一次进入磁场到第四次进入磁场的时间，故D正确。 故选AD。 重难·创新演练 16．AD 【详解】A．粒子从磁场右边缘射出时，轨迹如图 则由几何关系rcos37°-rsin37°=d 解得r=5d，故A正确； B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了53°-37°=16°，B错误； C．根据 可得，故C错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角可能为θ=53°-37°=16° 根据 粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为，故D正确。 故选AD。 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿直线通过cdef区域，可知 解得 （2）由逆向思维可知，粒子在左侧电场中做类平抛运动，可知， 解得 （3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，则 解得 设粒子转过的圆心角为，粒子通过圆形区域的时间 解得 圆形区域的半径为，则 解得 18．BC 【详解】A．设粒子做圆周运动的半径为，原磁场中粒子在点所受洛伦兹力沿向右，故圆心在边上且，轨迹与边相切于点，故。在直角三角形中 所以，故A正确； B．原磁场中，粒子运动周期为 因此，故B错误； C．磁场反向后，粒子在点所受洛伦兹力沿向左，新圆心位于点左侧且。由，可知与点重合，因此，粒子从点运动到点的时间为 而，二者不相等，故C错误； D．磁场反向后，粒子从点运动到点时半径方向转过，速度方向也转过，故D正确。 故选BC。 19．A 【详解】粒子不打在上极板，临界情况为粒子的轨迹恰好与上极板相切，如图所示 设轨道半径为r，由几何关系可得 由于洛伦兹力提供向心力有 联立解得 磁感应强度越大，轨迹半径越小，所以磁场的磁感应强度应满足。 故选A。 20．D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，轨迹如图所示： 洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则 若带电粒子恰好从O点射出时，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即粒子仍能从y轴上ON之间射出，速度范围为，故D正确。 故选D。 21．BD 【详解】先分析粒子在电场内的运动： 分析可知，粒子在第二象限做类平抛运动，初速度沿方向，受向右的电场力做加速运动 到达轴时，竖直分速度 已知速度方向与轴正方向成角，故水平分速度 水平方向位移为，由运动学公式： 可得 解得 电场中运动时间 到达点的位置：，故点坐标为 下面分析粒子在磁场中的运动： AB．粒子进入第一象限时，速度大小，方向与轴成 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，轨迹向下偏转，最终从轴上的点垂直于轴射出，说明在点速度方向竖直向下 设轨迹半径为，圆心为 由几何关系可得圆心位于轴上，且到的连线与水平方向成 因此， 解得， 点横坐标： 因此点坐标为，故A错误，B正确； CD．粒子在磁场中转过的圆心角为 因此磁场中的运动时间： 则时间之比为，故C错误，D正确。 故选BD。 22．AC 【详解】A．从轴射出的粒子在磁场中运动的时间最长，根据， 可得周期 最长时间，故A正确； B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，根据 可得运动时间越短，故B错误； C．若粒子从点射出，运动轨迹如图，根据几何关系，轨迹所对的圆心角为，因此粒子从点出磁场时，速度沿轴正向，故C正确； D．从点射出的粒子在磁场中运动的时间为，从点射出的粒子在磁场中运动的时间为，因此时间之比为，故D错误。 故选AC。 23．(1)， (2) 【详解】（1）粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由于发出的平行粒子束均聚焦于点，由几何关系可知粒子在左侧磁场中的轨道半径，根据牛顿第二定律有 解得 从点射入右侧磁场的粒子离开磁场时速度方向均竖直向上，由几何关系可知粒子在右侧磁场中的轨道半径，根据牛顿第二定律有 解得 （2）设粒子源AB发出的粒子到达点时速度方向与水平方向的夹角为，由几何关系可知，所有到达点的粒子速度方向与水平方向夹角的范围为，以为坐标原点，对于速度方向与水平方向夹角为的粒子，离开磁场时的坐标为，由图可知，匀强电场下边界与磁场最高点相切，所有粒子离开磁场后在无场区向上做匀速直线运动，随后以横坐标进入匀强电场，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律有 粒子到达MN极板时，水平位移，根据运动学公式有 联立解得粒子在电场中运动的时间 粒子在电场中竖直方向上的位移，联立可推导 当时竖直位移取得最小值，解得 当时竖直位移取得最大值，解得 极板上有粒子撞击的长度满足 解得 24．AD 【详解】A．时，由几何知识得轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得，A正确； B．根据几何知识得转过的圆心角 粒子运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为，B错误； CD．若时，粒子恰好未从右侧进入小圆区域内，粒子以较小速率发射，其轨迹与小圆外切，由余弦定理有 解得轨迹半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得 同理粒子恰好未从左侧进入小圆区域内，粒子以较大速率发射，其轨迹与小圆内切，由余弦定理有 解得运动半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得，C错误，D正确。 故选AD。 25．(1) (2) 【详解】（1）此离子的运动轨迹如图所示 由几何知识可知 解得 离子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 离子进入电场后做类平抛运动，则轴方向有 轴方向有 可得 此离子运动到处时的速度 （2）离子在磁场中运动的周期 根据轨迹得到离子在磁场中做圆周运动的时间为 离子从处运动到处做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，所需要的时间 故离子从处运动到处所需的时间 26．D 【详解】A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力与粒子的速度方向始终垂直，则洛伦兹力对该粒子做的功为0，故A错误； B.在粒子穿越磁场的过程中，速度大小不变但方向改变，则动量改变，根据动量定理可知，则合外力冲量不为零，粒子仅受洛伦兹力作用，则洛伦兹力对该粒子的冲量不为0，故B错误； C．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，穿越磁场的过程中，水平方向速度大小由v一直减小，则该粒子在磁场中运动的时间大于，故C错误； D．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 根据几何关系 联立解得 故D正确。 故选D。 27．(1) (2) 【详解】（1）根据公式 ，解得 （2）显然，由于每个粒子的圆周运动半径相同，故当粒子垂直打在荧光屏上时离A点最远。 此时粒子的运动路径圆心在荧光屏上，由几何关系可得 28．BC 【详解】A． 由左手定则可知粒子带正电，故A错误； B. 根据粒子的运动轨迹可知 由 可得，故B正确； CD． 从射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对的圆心角为60°，则最长时间为，故C正确，D错误。 故选BC。 29．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在速度选择器中做直线运动，根据平衡条件，有 又 解得粒子经过点时的速度大小 （2）粒子在加速电场中经加速后速度达到，根据动能定理有 解得 （3）粒子、以相同的速度通过速度选择器后，在磁分析器中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足， 解得， 由几何关系得 代入 解得 30．BD 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，对粒子有 解得 由左手定则可知粒子射入后向直径上方偏转；粒子从点沿直径方向射入，入射速度沿半径方向，所以轨迹圆圆心在过点且与垂直的直线上，由，及公共边可知，从而，故粒子从点射出时速度沿半径方向，于是调整前粒子的偏向角与相等，由题给条件可知该偏向角为，圆心在弦的垂直平分线上，所以平分，而 于是，在直角三角形中有 又轨迹半径，区域半径，所以 由几何关系，与偏向角满足 代入可得本题模型中偏向角与轨迹半径的关系 调整前有，所以调整前粒子的轨迹半径 只把磁感应强度调整为，由半径公式知轨迹半径与磁感应强度成反比，所以 同理，调整后粒子的出射速度仍沿半径方向，所以调整后的偏向角与相等，把调整后的轨迹半径代入 可得调整后粒子的偏向角满足 所以调整后粒子从点射出，且 磁场区域圆上，，所以 调整前后两条轨迹圆弧与半径和半径的位置关系及的大小如图所示。 又磁场区域圆的半径 所以是等边三角形，，故A错误，B正确； CD．由前述计算可知，调整前后粒子的速度偏向角分别为和，二者之比为 粒子在磁场中的运动时间 由与可得周期 由与得调整前后粒子在磁场中运动的时间都可写成 调整前后磁感应强度分别为和，代入得运动时间之比，故C错误，D正确。 故选BD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $