29.2.2 圆心角（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆心角”核心内容，涵盖圆心角定义及圆中弧、弦、圆心角的关系定理。课堂导入先回顾圆的轴对称性（垂径定理），通过旋转圆形纸片探究圆的旋转对称性，搭建从轴对称到中心对称的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以探究活动培养几何直观与空间观念，通过“知一推二”结论强化推理意识，例题结合变式练习，小结系统梳理定理。助力学生发展数学思维，教师可高效开展教学，提升学生知识应用能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十九章 圆 29.2.2 圆心角 2026年8月3日 29.2.2 圆心角 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆心角的定义、圆心角定理及其推论，是圆中弧、弦、角度等量转化的核心依据。顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等，即“一相等，全相等”。本节核心思想是等量互换，实现角、弧、弦的相互推导。常见易错点：忽略定理成立的前提“同圆或等圆中”；混淆圆心角与圆周角概念；无法灵活完成弦、弧、角之间的等价转化。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 下列关于圆心角的定义正确的是（） A. 顶点在圆上的角 B. 顶点在圆心，两边与圆相交的角 C. 顶点在圆内的角 D. 顶点在圆外的角 2. 圆心角定理成立的必备前提是（） A. 任意两个圆 B. 同圆或等圆中 C. 大小不同的圆 D. 圆心相同的圆 3. 在同圆中，若两个圆心角相等，则一定相等的是（） A. 所对的弦和弧 B. 圆的半径 C. 圆的周长 D. 圆的面积 4. 在同圆中，若两条弦相等，则下列说法正确的是（） A. 所对圆心角相等 B. 圆的半径改变 C. 弦一定是直径 D. 所对弧一定为半圆 5. 下列量不能在同圆中相互等价推导的是（） A. 圆心角 B. 对应弦长 C. 对应弧 D. 圆的周长 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 顶点在________，两边与圆相交的角叫做圆心角。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等。 3. 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系规律是：一组量相等，________。 4. 在⊙O中，若圆心角∠AOB=∠COD，则弧AB________弧CD，弦AB________弦CD。 5. 圆心角的度数与它所对弧的度数________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）根据圆心角基础概念作答： （1）准确叙述圆心角的定义； （2）写出圆心角定理的完整内容； （3）说明定理必须满足的前提条件并解释原因。 2.（12分）基础等量转化应用：在⊙O中，已知弦AB=弦CD。 （1）求证：∠AOB=∠COD； （2）判断弧AB与弧CD的大小关系； （3）总结同圆中弦、弧、圆心角的转化思路。 3.（12分）综合几何证明：在等圆⊙O₁、⊙O₂中，已知∠AO₁B=∠CO₂D。 （1）求证：弧AB=弧CD，弦AB=弦CD； （2）说明为什么不等圆中不能直接套用该定理； （3）结合例题概括圆心角题型的通用解题步骤。 总字数统计：1122字 参考答案精简版 选择：1.B 2.B 3.A 4.A 5.D 填空：1.圆心；2.弧、弦；3.其余各组量分别相等；4.=、=；5.相等 解答： 1.(1)顶点在圆心，两边与圆相交的角为圆心角；(2)同圆或等圆中，相等圆心角对等弧、对等弦；(3)必须同圆或等圆，否则半径不同无法保证弧、弦相等 2.(1)同圆中等弦对等圆心角，可证角度相等；(2)弧AB=弧CD；(3)弦、弧、圆心角任意一组相等，可互推其余两组相等 3.(1)等圆中相等圆心角对应等弧、等弦，可证结论成立；(2)半径不同，相同圆心角对应的弦、弧大小不同；(3)先判断是否为同圆/等圆，再利用三者等价关系推理计算 （精准核对字符：全文1122字，贴合人教版29.2.2课时重难点，覆盖圆心角定义、定理、推论、易错前提、等量转化模型，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固作业） 在圆的有关性质的研究中，其对称性发挥着重要作用. 前面我们利用圆的轴对称性，得到了垂径定理. 我们再看看圆的其他对称性. 前面我们研究了与圆有关的线段， 接下来我们来研究与圆有关的角. 先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形. 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. O 圆心角 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. O 1. 返回 下列说法正确的是(　　) A．圆是中心对称图形，但不是旋转对称图形 B．圆的对称中心只有一个 C．圆绕圆心旋转35°21′后，所得图形不会与原图形重合 D．圆的对称中心是圆上任意一点 B 举一反三 5 返回 2. 下列选项中的角是圆心角的是(　　) A 举一反三 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴. D 例1 B O A B' A' 思考：如图，在  中，当圆心角 ∠AOB=∠A′OB′ 时，它们所对的弧  和 有什么关系？弦 AB 和 A′B′ 呢？为什么？ 我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线与重合. ∵ ∠AOB=∠A′OB′， ∴ 射线  与  重合. 又 ， ， ∴ 点  与  重合，点  与  重合. 因此， 与  重合， 与  重合， 即 ，. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言： ∠ AOB= ∠ A′OB′ ，AB=A′B′. B A B' A' 前提 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 几何语言： ∠ AOB= ∠ A′OB′，AB = A′B′. AB = A′B′∠ AOB= ∠ A′OB′， . B A B' A' 因为一条弦所对的孤有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的孤相等” 思考：在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为： 圆心角相等 所对的优弧、劣弧分别相等 所对的弦相等 简记为：知一推二. 返回 3. 如图，AB为⊙O的直径，D为半圆上的一点，且 所对圆心角的度数是 所对圆心角度数的2倍，则∠BOD＝________． 60° 举一反三 返回 4. 如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC的长为(　　) A．1 B． C．3 D．4 C 举一反三 如图，在  中，，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在  中，， ∴ AB=AC，△ABC 是等腰三角形. 又 ∵ ∠ACB=60°， ∴ △ABC 是等边三角形，可得 AB=BC=AC. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例2 跟踪训练 如图 ，在 ⊙O 中，，则下列结论不一定正确的是 （ ） A.  B.  C.  D.  解析：∵ ，∴ ， ∴ ， 即 ，∴ ， 故选项 A， B， C 正确. ∵  和  无法确定是否相等， ∴ 无法判断 . D 证弧、弦、圆心角相等的方法 在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外两组量中的一组量相等，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角是常用的作辅助线的方法. 如图，在⊙O中， ，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是(　　) A．50° B．45° C．40° D．35° 返回 5. D 举一反三 如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论不一定正确的是(　　) A ． B ． C．AC＝BD D．AD＝BD 返回 6. D 举一反三 返回 7. 下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 B 举一反三 返回 8. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOC＝∠BOD.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＋∠COB＝∠BOD＋∠COB， ∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD. 举一反三 返回 9. [教材P127练习T2变式]如图，在⊙O中，AB是直径，∠AOE＝60°，C，D是 的三等分点，求∠COE的度数． 解：∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180°－60°＝120°. ∵ ∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝ ×120°＝40°， ∴∠COE＝∠COD＋∠EOD＝80°. 举一反三 21 返回 10. [保定期中]如图，⊙O的半径OA＝5 cm，已知弦CD＝5 cm，那么弦CD所对圆心角的度数为(　　) A．30° B．50° C．60° D．80° C 举一反三 22 返回 11. [河北中考]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(　　) A．a<b B．a＝b C．a>b D．a，b大小无法比较 A 举一反三 23 返回 12. 如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　　) A．42° B．44° C．46° D．48° D 举一反三 24 13. [南充中考]如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE＋PF的最小值是(　　) A．4 B．2 C．6 D．4 C 返回 举一反三 圆的旋转对称性 圆心角 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 课堂小结 谢谢观看 THANKS ＝ ＝ ＝ ＝ C，D是的三等分点，∴＝＝， $