29.2.1垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，核心内容为垂径定理及推论。以赵州桥主桥拱半径问题导入，通过折叠圆形纸片探究圆的轴对称性，进而推导定理，构建从实际问题到性质探究的学习支架。 其亮点在于以赵州桥实例驱动，结合动手折叠实验培养数学眼光（几何直观），通过“知二推三”归纳提升数学思维（推理意识），典例精析强化数学语言（模型意识）。采用自主探究与讲练结合，学生能提升问题解决能力，教师可高效落实教学目标。

第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 授课教师：吴智林 日期：2026年X月X日 人教版义务教育课程标准教科书九年级数学上册 学习目标 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 新课导入 你知道赵州桥吗？它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少. 你们能帮他求出来吗？ 自主探究1：圆的轴对称性 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 说一说 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. ●O 直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 已知：在 中， 是直径， 是弦， ，垂足为 ． 求证： 直线 是的对称轴. 证明：连结 、，. 在 中，， 是等腰三角形. 又， . 即 是的垂直平分线，因此 关于直线 对称. · 下列说法中，不正确的是( ) . 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 . 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 . 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 . 圆的每一条直径都是它的对称轴 解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，错误.故选. 自主探究2：垂径定理及其推论 · O M M′ B N A 问题1：如图,是的一条弦, 直径, 垂足为. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗？为什么？ 相等的线段: 相等的弧: 弧 , 弧 理由： 把圆沿着直径 折叠时，点与点 重合，与重合， 弧 和弧重合,弧 与弧 重合． 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是过圆心且垂直于弦的线段、直线 垂径定理 几何语言 如图，，垂足为，是的直径，那么可用几何语言表述为： 如图，于点，若的半径为,,则A · O A B E 解析：如图，连接. ， . . 问题2：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换，命题是真命题吗？ 如图，是的一条弦，作直径，使. （1）吗？为什么？ （2）弧与弧相等吗？弧与弧相等吗？ B O A C D 解：（1）如图，连接,,则, 又，, ， ， . （2）由垂径定理可得 = ， = . E AC BD B O A C D E 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. “不是直径”的条件能去掉吗？ 注意 “不是直径”的条件不能去掉.因为圆的任意两条直径都是互相平分的. 11 几何语言 如图，是的直径，是弦(非直径)，与相交于点，且，那么 垂直于，并且， . 可用几何语言表述为: 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论. 简记为：知二推三 归纳 典例精析 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 例 1 指圆心 O 到弦的距离 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 赵州桥中，弦长 ，弦心距 ，弓形高 ，半径之间有以下关系： 解：如图，过桥拱所在圆的圆心作的垂线，交于点，交弦 于点，则 . 由垂径定理，得 ， 设的半径为. 在中，， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 即 ， 因此，赵州桥主桥拱的半径约为. 解得 ， 如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，求证. 证明：过作，垂足为， 则， . . . 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课后作业 基础性作业 课本125页：练习第2、3题. 拓展性作业 习题 29.2 综合应用第 7 题、拓广探索第 13 题； 创新性作业 观察生活中拱形建筑（拱桥、隧道），测量数据并尝试用垂径定理计算圆弧半径，下节课分享. $