解三角形：中线的相关计算问题、角平分线的相关计算问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形中中线与角平分线计算，通过精选典例系统覆盖长度、取值范围等核心考法，强化推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线的相关计算问题|例3+变式3|求中线长、取值范围、中线交点余弦值|以正余弦定理为基础，结合面积公式推导中线计算模型，体现从概念到应用的逻辑链条| |角平分线的相关计算问题|例3+变式3|求角平分线长、最大值、取值范围|基于角平分线定理与正余弦定理，构建长度计算与最值求解的推理体系，发展模型观念|

2027届高三数学一轮复习专项训练 解三角形：中线的相关计算问题、角平分线的相关计算问题专项训练 考点目录 中线的相关计算问题 角平分线的相关计算问题 考点一 中线的相关计算问题 例1．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角A； (2)若，的面积为，求； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，结合辅助角公式求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦公式求解即可. （3）根据向量的平行四边形法则及向量数量积运算律，结合正余弦定理、两角和的正弦公式及辅助角公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得， 又， 所以， 即，也即， 因为，所以，所以， 即，即， 又，则，所以，则. （2）由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得，，即，所以. 联立整理得，所以，又，所以. （3）因为为的中点，所以， 则， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，则， 所以，即，所以， 所以中线的取值范围是. 例2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. (1)求中线的长； (2)若的平分线为，求的长； (3)求的余弦值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解. （2）利用三角形面积公式列式求解. （3）利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）在中，，由为的中点，得， . （2）由的平分线为，得，由， 得， 所以. （3）由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 例3．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长. （3）利用平面向量和余弦定理可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换求的取值范围即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 因为，所以，所以，即， 又，则． （2）由（1）及题设可得，即 整理得，解得． 所以的周长为. （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 变式1．（2026·广东揭阳·二模）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. (1)求中线BN的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可. 【详解】（1）由，BN为中线，则， 在中，由余弦定理得， 则. （2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由，，，得， 则， 则，即， 所以， ，， 则， 所以的余弦值为. 变式2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求角A的大小； (2)当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出，再由角的范围得出角即可； （2）（ⅰ）运用余弦定理得出，再应用向量基本定理结合为重心得出，最后应用数量积公式及运算律结合基本不等式计算求解；（ⅱ）应用数量积公式计算结合正弦定理化简，再应用三角恒等变换化简求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，， 即， 整理得. 因为，所以， 所以，即，化简. 又因为，所以，即得. （2）由余弦定理得，且，即得，即， 在中，，所以， ， 所以 ， 因为，所以，解得，当且仅当时取等号. 所以，所以当且仅当时取最大值. （ⅱ）由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以 ， 所以，所以. 变式3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简求值即可. （2）利用余弦定理求出，再用向量的中线公式求得中线长. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即， 所以． 因为，所以， 即，所以． 因为，所以． （2）因为，，， 由余弦定理得，，解得． 由向量的中线公式可得， 所以 ． 考点二 角平分线的相关计算问题 例1．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 例2．（25-26高三上·辽宁辽阳·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． (1)求角的大小． (2)若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理将题设等式化简，借助于特殊角的三角函数即得； （2）①由正弦定理将边表示成关于的三角函数，借助于三角形面积公式与三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，根据角的范围与正弦函数的性质即可求其范围； ②由等面积求得，由（1）的结论，结合基本不等式与三角形边的关系推得，化简的表达式，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因的面积为，又， 由余弦定理，，则得， 代入上式得，，即， 又，所以； （2）①由正弦定理得，，， 因是锐角三角形，则，解得， 所以 ， 由得，所以， 所以， 所以S的取值范围是； ②由. 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为，所以． ， 因为在上递增， 所以，即的最大值为3， 故线段长度的最大值为． 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若是的角平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）利用三角形面积公式及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）在△ABC中，由及正弦定理，得 ，整理得， 而，则，即， 解得，又，所以. （2）由是的角平分线，及， 得，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. 变式1．（25-26高三上·云南昭通·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，，设BD为的角平分线，求BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，确保的前提下进行代数消元，化简得到的值即可求解. （2）使用等面积法将大三角形面积拆分成两个小三角形面积之和即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以． （2）由（1）知，由为的角平分线，得． 即，代入，， ． 变式2．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: (1)若，求． (2)若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. （2）设，由题意得，，，， 因为，所以， ， ， 因为，所以. 又因为，所以，. 变式3．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 解三角形：中线的相关计算问题、角平分线的相关计算问题专项训练 考点一 中线的相关计算问题 考点目录 中线的相关计算问题 角平分线的相关计算问题 例1.(25-26高三上广东汕头阶段检测)已知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， acosC+3asin C-b-c=0 (1)求角A: (2)若a=2△AB C的面积为5，求6， 6)若a= 3,且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线D的取值范围 例2.(25-26高三上江苏无锡阶段检测)如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC,AC边 上的两条中线AM,BN相交于点P (1)求中线AM的长： (2)若∠BAC的平分线为AD,求AD的长： 1 2027届高三数学一轮复习专项训练 (3)求∠MPV的余弦值. 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(25-26高三上江西南昌阶段检测)己知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， √3 bcosA-asinB=0 (1)求角A: (2)若a=2,△AB 的面积为V3,求△1BC。 3 的周长： )若“=5，且△1BC为能角三角形.D为BC的中点，求中线MD的取值范围. 变式1.(2026广东揭阳二模)如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°，点M在边BC上且 BM=BC,AM与AC边上的中线BN相交于点P B (I)求中线BN的长： (2)求∠MPN的余弦值 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(25-26高三上江苏苏州阶段检测)已知4，b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+3asinC=b+c (1)求角A的大小： (2)当0=25 时， (1)设BC,AC边上的两条中线AD,B相交于点G,求GB-GC的最大值； coscosC AC (i)求sinC sinB值. 变式3.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 (a+2c)cos B+bcos A=0 (1)求B: (2)若b=7,C=3,求AC边上的中线BD的长. 2027届高三数学一轮复习专项训练 考点二 角平分线的相关计算问题 例1，(2526高三上山东聊城阶段检测)在△1BC中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,b=3 且 3e tanA+tanB bcosA (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求2a-C的取值范围： (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值， 例2.(2526高三上辽宁辽阳阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其面积为S, 李s3《b2+2-2) 4 (1)求角A的大小. (2)若a=2」 ①△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围； ②∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值. 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,C, √3sinB+cosB= b+c (1)求A: (Q)若1D是∠BAC 的角平分线，且 AD=3 V3,求6+C的最小值. 变式1.(25-26高三上·云南昭通阶段检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 3ccosB-bsinC=0 B D (1)求B: (2)若A=4,C=6,设BD为△ABC的角平分线，求BD的长. 6 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(25-26高三上福建福州阶段检测)在△ABC中，A,B,C三个内角所对的边分别为a,b,C.已知 b=3,c=5,求 (1)若A=60°，求a. (2)若AD为∠BAC角平分线，求AD的取值范围. 变式3.(25-26高三上山东济南阶段检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且 sin2A+sin2B+cos2C-sin(π-A)sin(π+B)=1 (1)求C: (2)若a=1,b=2,求△ABC内切圆的半径： (3)设D是边AB上一点，CD为角平分线且BD=3AD,求CoSB的值，