限时训练卷23　平面向量-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心考点，以几何与代数结合为特色，覆盖基础概念到综合应用，注重运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1,3|投影向量计算|从单位向量、夹角概念到投影公式推导| |线性运算|选择2,4,11|几何图形中向量表示|向量加法、数乘与共线定理的应用| |数量积应用|选择5,7,9,10|模长、夹角、垂直问题|坐标运算与数量积性质的关联| |综合应用|解答15-19|图形与最值综合题|线性表示、面积计算到函数思想拓展|

2027年高考一轮限时训练卷23　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建厦门·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标计算，然后利用在上的投影向量公式求解即可. 【详解】由题， 根据投影向量公式可得. 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）在长方形中，，与交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方形ABCD中，且. 因为，所以且. 因此，相似比为. 所以. 又因为，所以. 3．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的计算公式即可. 【详解】. 所以向量在向量上的投影向量为. 4．（25-26高三·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 5．（25-26高三·江苏无锡·期中）已知向量，，且，，则向量（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行和垂直的坐标运算求向量的坐标. 【详解】因为且，设，则， 又因为，所以，解得， 所以，故A正确. 6．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）如图，四边形是边长为的正方形，若，且为的中点，则（   ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来、的坐标，然后利用坐标求数量积即可. 【详解】以为坐标原点，以、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、， 则，，所以. 7．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）两个大小相等的共点力、，当它们的夹角为时，合力的大小为，则当它们的夹角为时，合力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当、的夹角为时，结合平面向量数量积的运算性质可得出的值，当和的夹角为时，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】由题意可知， 当和的夹角为时，则且， 所以，故, 当和的夹角为时，则， 此时. 8．（25-26高三·海南海口·阶段检测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用共面向量定理求出，再由三角形面积求得，结合向量数量积的运算律与基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因，，可得， 因三点共线，故，解得，故. 又因的面积为，，则，解得. 由两边取平方， 可得， 因，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】CD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B错误； 对于C，若，则，则，则，故C正确； 对于D，若，则， 则在上的投影向量为，故D正确. 10．（25-26高三·海南海口·阶段检测）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】先求出，再由，求出，再依次判断各选项即可. 【详解】选项A：由，知， ，平方可得 ，则，正确； 选项B：，错误； 选项C：在上的投影向量为，正确； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 11．（25-26高三·黑龙江绥化·阶段检测）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算、三角形重心和内心的性质、三角形面积与高的比例关系逐一判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以，所以点在射线上，故A错误； 设为中点，则， 代入可得， 即在中线上且，符合重心的性质，故B正确； 分别是与同向的单位向量，二者的和向量沿的角平分线方向， 因为， 即， 所以，所以在的角平分线上， 故的轨迹必过的内心，故C正确； 因为，设，此时， 故在直线上，为上靠近的三等分点， 则到的距离是到距离的. 与同底，面积比等于高的比， 因此，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. 13．（25-26高三·山西大同·期中）如图，都是边长为2的等边三角形，A，B，D三点共线，则＝______. 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合几何图形性质求出向量的模长与夹角即可求解。 【详解】因为，都是边长为的等边三角形， 所以，． 因为 ，，三点共线， 所以， 且． 在中，，，则， 由余弦定理得， 所以． 14．（25-26高三·重庆·期中）向量，，且，则______. 【答案】/ 【分析】记，得出，再以为原点建系，利用坐标运算得出. 【详解】如图，记，则满足， 所以，则， 因为，，所以，解得，则， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 得，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·课堂例题）如图，四边形和都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)若，求向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质及相等向量的意义求解. （2）利用相等向量的意义，结合向量模的意义求解. 【详解】（1）由四边形和都是平行四边形，得， ， 从而，，， 所以与向量相等的向量是，． （2）由，，得， 则与方向相同，从而E、D、C三点共线， 所以． 16．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，； （2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值. 【详解】（1）由，且； （2）因为B，P，E三点共线，可设，， 由（1）可得， 因为，所以，解得，故x的值为6. 17．（25-26高三·陕西咸阳·期末）已知平面向量． (1)若向量满足，且，求； (2)若向量，且与互相垂直，求λ． 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）两个非零向量平行时，一个向量可以表示为另一个向量的实数倍，再由向量的模确定倍数的绝对值. （2）两个向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零，先写出两个向量的坐标，再列方程求解. 【详解】（1）因为 ，所以存在实数 ，使得 于是 因为，得，所以，即或， 因此. （2）由，，得，， 因为与互相垂直，所以， 解得，即，即. 18．（25-26高三·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，所以可设， 又， 所以. 因为三点共线，所以， 解得. 所以. （2）设，， 则. 由（1）知，， 所以. 又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 19．（25-26高三·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解； （2）先设，利用即可求解； （3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，，得， 所以． （2）设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． （3）由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷23　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建厦门·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）在长方形中，，与交于点，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·江苏无锡·期中）已知向量，，且，，则向量（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）如图，四边形是边长为的正方形，若，且为的中点，则（   ） A．35 B． C． D． 7．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）两个大小相等的共点力、，当它们的夹角为时，合力的大小为，则当它们的夹角为时，合力的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·海南海口·阶段检测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．（25-26高三·海南海口·阶段检测）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．的最小值为1 11．（25-26高三·黑龙江绥化·阶段检测）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点是的重心 C．若，则点的轨迹必过的内心 D．若，且，则的面积是面积的 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 13．（25-26高三·山西大同·期中）如图，都是边长为2的等边三角形，A，B，D三点共线，则＝______. 14．（25-26高三·重庆·期中）向量，，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·课堂例题）如图，四边形和都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)若，求向量的模． 16．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 17．（25-26高三·陕西咸阳·期末）已知平面向量． (1)若向量满足，且，求； (2)若向量，且与互相垂直，求λ． 18．（25-26高三·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 19．（25-26高三·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $