江西宜春市四所重点中学2025-2026学年高一下学期期中考试联考数学试卷

期中考试联考数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A B B B C A ABD ABD BD 12． 13． 14． 15．（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值． 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则． 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以． （2）原式 ． 16．（1）； （2） 【分析】（1）根据纯虚数的定义，可得的值，即可得，根据复数的运算性质，整理计算，即可得答案． （2）根据为虚数，可得的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得的值，即可得复数，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案． 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得，即， 所以， ， 则． （2）由为虚数，得，则， 在复平面内对应的点坐标为， 因为在复平面内对应的点在直线上， 所以，即， 解得，则， 又，则， 所以， 则． 17．（1）1 （2）证明：因为，所以，又，所以， 所以，所以 （3）， 【分析】（1）根据数量积与模的概念与公式求的值； （2）通过向量垂直的等价条件证明； （3）应用向量夹角的公式求． 【详解】（1）因为， 所以，故． 又，所以． （2）略 （3）因为， 所以． 因为，又，，， 所以． 18．（1） （2） （3） 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值． 【详解】（1）因为向量，且，所以． 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以． （2）因为中，，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）． 所以的面积． （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的取值范围为． 19．（1）； （2）（i）的最小正周期为，单调递增区间为，； （ii）． 【分析】（1）将向量坐标代入计算结合三角恒等变换得到正弦函数，代入已知条件求值，再通过两角和的余弦公式计算即可； （2）（i）利用正弦函数的性质得出最小正周期，利用整体法解不等式得到单调递增区间； （ii）由已知条件可知问题转化为，利用整体法结合正弦函数性质可得，通过换元将化为含参的二次函数，结合二次函数性质求最大值，最后解不等式即可． 【详解】（1）由已知，， 因为，所以，因为，所以，． （2）（i），最小正周期， 令，因为的单调递增区间为，， 所以，，解得，， 所以的单调递增区间为，． （ii）， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 令，，所以， 在上单调递增，在单调递减， 所以，所以， 令，，所以， 函数可化为，开口向下，对称轴， 当，在上单调递增，， 即，由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递减，， 即，由于，所以，解得， 所以； 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西宜春市四所重点中学2025-2026学年高一下学期 期中考试联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分． 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，，，则的外接圆半径为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（ ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 5．已知，，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 7．如图几何体是圆锥的一部分，其中，，．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，是对角线，的交点，，，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9．（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（ ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 10．如图，在中，为边上的动点，为边上的动点，线段相交于点．则下面说法正确的是（ ） A．若分别为与中点，则 B．若点是平面内任意一点，且满足，，则点的轨迹一定过三角形的内心 C．若，，则 D．若，，为中点，则的最大值为 11．下列结论中，正确的是（ ） A． B．函数的定义域为 C．函数的单调增区间是 D．已知，，且，则的最小值为 三、填空题：每小题5分，共15分． 12．平面向量与的夹角为，，，则________． 13．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 14．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________，底面圆的半径是________． 四、解答题：共77分，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分． 15．（1）已知，，其中，．求角的值． （2）化简：． 16．已知复数． （1）若为纯虚数，求及的值； （2）若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 17．已知非零向量，满足，且，． （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值． 18．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求的取值范围． 19．已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）若函数． （i）求的最小正周期和单调递增区间； （ii）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $