江西宜春市四所重点中学2025-2026学年高一下学期期中考试联考数学试卷

%,,”°一四所重点中学2025-2026学年高一下学期 期中考试“考数学试卷 一、单选题；每小题5分，共40分. 2 1.己知复数=1年，则外（） A.√2 B.2 C.√5 D.5 2.已知a∈(0，，财sm(π-a)=)是cosa=5的（) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，AB=3,7AC=5BC=35,则△ABC的外接圆半径为() A.76 B. 3 C.25 D.√2 3 4.已知函数f(x)=sinx+sinx,则() 4+)为奇函数 B. 为偶函数 C.f(x+)为奇函数 D.f(x+π)为偶函数 ,则x的值为() A B. c. D政君 6.已知向量a,万满足a=1,=2,a-=V万，则a+i在上的投影向量是() P A.五 B.8 C.-18 4 0.0 7.如图几何体是圆锥的一部分，其中∠AOB=120,OA=OB=2,P0=2W5.从点A出 发沿曲面运动到B的最短路线的距离是() A.2W5 B.3√2 C.45 D.52 8.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点， AB=1AD,PC=AC,若E护=xA拉+yAB,则x+y=() B 5 A.1 C.2 D. 2 试卷第1页，共4页 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题"十1I“6￡十1I十·￡一·1 0. 9.(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是() A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 10.如图，在△ABC中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P 则下面说法正确的是() B A.若M、N分别为BC与AC中点，则PA+PB+PC=O AB B.若点O是平面内任意一点，且满足OP=OA+入 AC AB 1∈(0，+w),则点P的轨迹一 定过三角形的内心 c.若N=}AC,m=C,则=AC+}AB 3 21 6 2 D.若∠BAC子，BC=2,M为BC中点，则的最大值为，6 11.下列结论中，正确的是() A.sin2cos3>0 B.函数y=tan 2x周的完义城为47子经e乙 C.函数y=log:(仁+2x)的单调增区间是(-o,) D.已知x>0,y>0,且+3=1，则x+2y的最小值为7+26 x V 三、填空题：每小题5分，共15分 12.平面向量a与5的夹角为行，同=1，=1，则3ā-2 13.如图，△A'B'C是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图，其中OA=OB=OC”=1,则 △ABC的周长为 14.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是 ,底 面圆的半径是 B O C 试卷第2页，共4页 四、解答题：t77￡1513￡16,17,15￡18,19,17· 15.（1D已知sm2z-c09=-25,其中-子as至0<e<求角2a-B的值 3 10 4 4 (2)化简： cos10°1+V3tanl0°）-2sin50° V1-cos10° 16.已知复数=(m2+5+6)+(m+3)i(meR) 2026 (1)若为纯虚数，求z06 1+ 1-4 的值： (2)若z1为虚数，且其在复平面内对应的点在直线y=x上，复数二2满足1+2)2=5，求5+2=，的 大小 17.已知非零向量a6满足问=1，且(2a+6)(a-6)=3,6-a-方)-号 ()求的值： (2)证明：a1(a-2): (3)设i与a-b的夹角为p,求a-b及cosp的值. 试卷第3页，共4页 18.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b),i=(cosA,sinB),且m/i (1)求角A: (2)若a=√21，b=4,求△ABC的面积： (3)若a=6,求b+c的取值范围. 19.已知向量i= 函数f(x)=ii: 4 的值： 3 回若函数()=寸2x+引 (1)求g(x)的最小正周期和单调递增区间： (i)设函数h(x)=cos2x+2(x)-2,若对任意的∈ 引在小引 使得 h(s)<g(x)成立，求a的取值范围」 试卷第4页，共4页 期中考试“乙.”S 参考答案 题号 2 4 5 6 8 9 10 答案 A B B B ABD ABD 题号 11 答案 BD 1.A 22(1-i) 【详解】因为z=1中0+i)0- 6=1-i, 所以z=V1P+12=√2 2.B 【解1若加(x-@)=子则na=方又a=0,所以a君或-答，则c± 6 2 所以当ae0,利时，“血(r-a)}推不出“c0sa=5 2 若cwa=9a-0列.则a=若可得u方则油(-a小a 21 当c∈(0，元时，“cosa=Y2”可以推出sin(π-c): 综上，“sin(亿-)=是“cosa5的必要不充分条件 2 2 3.A 【详解】由余弦定理得c0sA=AB+AC2-BC_9+25-491 2xABxAC 2×152 由A∈(0，)得A=2 由正弦定理得△ABC的外接圆半径R=BC-7-7N3 2sinA√33 4.B 【分析】先利用诱导公式求出fx+2 再根据定义可判断其为偶函数，而根据反例可判 断ACD的正误， 设8()-J+-os+co,g0=2≠0， g(-x)=cos(x+cos(x)=|cosx+cosx=g(x),其中x∈R, 答案第1页，共11页 故+)不为奇函数。f+习为偶函数，故A错误，B正确 f(x+π=sin(x+π+sin(x+)=sin x-sinx,其中xeR, 设国-m小mx,则〔引-2到=0， 放()月〔引+得0 故f(x+π)既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误 5.B 【详解】由xe(-孕，得2+c(-红，而sm2x+马=5 22 4 4’4 2 44解得x 因此2x+亚=-元， 41 所以x=-」 4 6.B 【详解】由题可知，向量a,五满足同=1，=2，a-=V万， 所以a-=7→8-2ai+6=7→a.6=-1, 则a+b在b上的投影向量为 +列66a6t6i-446-3 4 7.C 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度 即可 【详解】圆锥高PO⊥底面，己知OA=OB=2,P0=2√5， 由勾股定理得母线长PA=PB=√A0+P0=√2+(2W3)2=4, 底面中劣弧4B的长度为1-否0A=经。占底面圆周的写 3 D B M 圆O的周长为2π×2=4机，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为4元 答案第2页，共11页 所以侧面展开图中的弧AMB的长为4r-4红.8如 3-3 8n 设圆心角∠APB=,由弧长公式1=Q.PA得4=1=3=2匹， PA4-3 由余弦定理AB2=PA2+PB2-2·PA·PB.cos=42+42-2×4×4×co 2=48, 3 得AB=4v5,则从点A出发沿曲面运动到点B的最短路线的距离是4√5 8.A 【详解】在平行四边形ABCD中，AC门BD=0,AB4D,C-4 4c, 则丽-切，亚40亚+40. 亚正亚亚+而而西而而+m 4 解得，x 3 =4,y=4所以，x+y=1. 9.ABD 【详解】对于A,根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确： 对于B,根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相 平行，所以B正确： 对于C,由棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上， 其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定 是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 答案第3页，共11页 对于D,棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱， 此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确， 10.ABD 【分析】对于A,由题意可得P为△ABC的重心，根据重心的性质求解后即可判断；对于B, 由题意可得点P在∠ABC的平分线上，即可判断：对于C,由向量的线性运算，即可判断： 对于D,由向量的线性运算、余弦定理及基本不等式，即可判断. 【详解】对于A,当MN分别为BC与AC中点时， 则P为△ABC的重心， 则-子西丽+C), 32 同理可得B=(+BO,Pc-(i+西 所以PA+历+P心-(+4C+1+BC+C+C网-0放A正确： AB AC 对于B,因为 是与A正同向的单位向量， 是与AC同向的单位向量， AB AC 所以 AC 表示的向量在∠BAC的平分线上， AB AC 又因为OP=OA+入 1∈(0，+o). AB AC 答案第4页，共11页 AB 所以OP-OA=元 AC 即AP= AC AC 所以点P在∠BAC的平分线上， 所以点P的轨迹一定过三角形的内心，故B正确： 对于c瓜-c+c叙cc}西名c, C错误； 对于D,由题意可得=（西+A0), 所以AMP=0ABP+|AcP+2AB.AC)=1c2+b2+bc), 4 由余弦定理可得4=c2+b2-bC,所以b2+c2=4+bc, 又因为b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时，等号成立， 即4+bc≥2bc,所以bc≤4，所以c2+b2+bc=4+bc+bc=4+2bc, 所以1AM印=c2+b2+bC)=14+2c)=1+bx≤1+x4=3,当且仅当b=c=2时，等号 2 2 成立， 所以AM≤√5，即AM的最大值为√，故D正确 11.BD 【分析】选项A:由于匹<2<3<，即2和3都为第二象限角，即可判断：选项B:根据 正切函数的定义域即可判断：选项C:根据复合函数的单调性的定义，结合对数函数及二次 函数的单调性，即可判断；选项D:根据基本不等式即可判断。 【详解】选项A:由于子2<3元，故n2>0,c0s3<0, 故sin2cos3<0,故A错误： 选项B:由2+m,k∈乙，得x≠3+，e乙，放B正确， 62 选项C:由t=-x2+2x=-x(x-2)>0,得0<x<2, 且此时t=-x2+2x的单调减区间为(1,2)，又y=1ogt为单调递减函数， 故y=log:（←x+2x)的单调增区间为(1,2)，故C错误； 选项D:由x>0,y>0,且+3-1， 答案第5页，共11页 得x+2y=(c+20+3)=7+2y,3≥7+32巴.与26， 1 Vx y 当且仅当2Y-3x,即2y=3x2,结合+31，得x=1+6,y-6+6时， 13 x V 2 不等式取等号，故x+2y的最小值为7+2√6，故D正确 故选：BD 12.√7 【详解】：平面向量ā与5的夹角为牙，=1，=1， a6-问co3-11号3a=1.6-1 ba-20=V3ā-2=V6a-12a6+46=9x1-12x5+41=5 13.2√5+2 【详解】由直观图△AB'C画出原图象△ABC,如图所示： B 由直观图可知OB=OC=1,OA=2,OA⊥BC, 所以AB=AC=√5，所以△ABC的周长为2+2√5. 14. 2√2 2√2 【分析】根据轴截面等腰三角形的性质求解即可 【详解】设圆锥的高为h,底面圆的半径为r. 则r=√42-h2 由思意可知子2h=mN4-厅=8， 解得h=22,r=V16-8=2W2 答案第6页，共11页 15.1)经：2)2 【分析】(1)先利用同角三角函数的基本关系求出2的余弦和B的正弦，再利用两角差的 正弦求出sin(2-)的值，从而可求2a-B的值： (2)利用同角三角函数基本关系式可得cos10+V5sml0°-2sim50 再利用辅助角公式和 √2sin5° 两角差的正弦可求三角函数的值， 【详解】(1)因为sin2a= 3 。,-7N2且-延<a<4；0<日<π，可得-2<2a< 10 4 所以a2Mm2a-手np=-oP- 10 sin(2a-B)=sin2acosB-cos2asing= 37W24x2 510厂5x10=-2 因为<a S,0≤B≤，可得-正≤2元 2 cosp=-72 2 又因为0<sim2a=3V2」 3π 10 2 4 所以0<2a<开，3亚<B<元，可得-<-B<3亚 4’4 4 所以-<2a-Bs-子所以2a-A-买 4 (2)原式=c010°+V5stn10°-2sin50_2sim40°-2sin50°2sin40°-2cos409 √2sin5° √2sin5o √2sin5° 2W√2sin(40°-45）-2√2sin5° =-2 V2sin5° v2sin5 2026 16.(1)22026- +Z1 =-1 (2)25 【分析】(1)根据纯虚数的定义，可得m的值，即可得=i,根据复数的运算性质，整理 计算，即可得答案 (2)根据为虚数，可得的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得 的值，即可得复数3，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案。 答案第7页，共11页 【详解】(1)若31为纯虚数，则 r+50+6=0,解得m=-2,即i m+3≠0 所以32026=i2026=(4)506×i2=-1, 1+51+i0+0=1+f+21-i, 1-与1-i0-i01+i)2 12026 =i2026=-1. (2)由1为虚数，得m+3≠0，则≠-3， 3在复平面内对应的点坐标为(2+5m+6,+3), 因为在复平面内对应的点在直线y=x上， 所以m2+5m+6=m+3,即2+4+3=(0+1)(m+3)=0, 解得m=-1,则31=2+2i, 又0加5，则1a”句0-上a 所以3+233=2+2i+20-2i)=4-2i, 则5+2-=4-21=√42+(-2=2√5， 17.(1)1 (②证明：因为6-(a-6列=片所以a6-6=号，又1，所以a6= 所以a.(a-25)=2-2a.6=1-2×号-0，所以a1(a-2b) (3)a-6=1,cosp=-1 2 【分析】(1)根据数量积与模的概念与公式求的值： (2)通过向量垂直的等价条件证明： (3)应用向量夹角的公式求， 【详解】(1)因为(2a+b)(2ā-b)=3, 所以42-2-3，故4-=3· 又4=1，所以=1. 答案第8页，共11页 (2)略 (3)因为i--点-=Va-b)=点2五b+b=1, 所以a-=1. B.(a-B) 因为c0sp= -a-b' 又6(a-列=2-1a--1, 所以c0sp=-2 18.0A-号 (2)5V5 3)(6,12] 【分析】(1)根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值： (2)先由余弦定理求得c=5,再由面积公式可得： (3)先由余弦定理得36=(b+c)-3bc,再由基本不等式可得最大值 【详解】(1)因为向量m=(a,V3b),i=(cosA,sinB)且l/m,所以asinB=√3bcos4. 又由正弦定理得sin4sinB=√5 ssinBcos4,因为sinB>0,所以tanA=√5 又因为0<A<,所以4=骨 (2)因为aABC中，a=.b=4,由(D知A-号由余弦定理d-6+c-2bcos4, 即21-16+c2-4c,所以c2-4c-5=0,解得c=5或c=-1(舍去). 所以aABC的面积S=besin A=x4×5x5-5√5. 21 2 (3)由余弦定理可知，ad=b2+c2-2 bc cosA,即b2+c2-bc=36, 则(b+c)-3c=36,因为c≤b+c 4 所以6+ef-c≥6+c-3b+c八b+c,则6+c≤36，当b=c时等号成立， 4 4 4 则(b+c)}≤144，且b+c>a=6,所以6<b+c≤12， 所以b+c的取值范围为(6,12] 答案第9页，共11页 19.(1)-4+33 10 (2)(i)g(x)的最小正周期为T=π，单调递增区间为 +k,+m,k∈Z: 3 6 @a5 【分析】(1)将向量坐标代入计算结合三角恒等变换得到正弦函数，代入已知条件求值，再 通过两角和的余弦公式计算即可： (2)()利用正弦函数的性质得出最小正周期，利用整体法解不等式得到单调递增区间； ()由己知条件可知问题转化为h(5)<g(:)mk,利用整体法结合正弦函数性质可得 8(:)m,通过换元将()化为含参的二次函数，结合二次函数性质求最大值，最后解不 等式即可. 【详解】(1）由已知，f)=m-元=sn5cos产-cos5sim产sim红)=sinx, 44 44 气44 因为o号所以m0号因为0合所以cm0= 5 ma骨号9 2 10 (28-f2)-m2x+引 最小正周期T=2亚=兀， 令t=2x+二，因为y=sint的单调递增区间为 -+2+2mkeZ, 2 所以-子+2as2+若受e乙，辩得-骨机≤xs名e乙， 6 3 所以g(x)的单调递增区间为 匹+机亚+k,keZ 3 6 (ii)h(x)=cos x+2af (x)-2=cos2x+2asinx-2=-sin2x+2asinx-1, 因为对任意的，∈ 7 总存在x,0,2】 使得h()<g(s)成立， 所以h()mx<g(s)as’ 令=2x,+x∈0， 所以u∈ π7π 6 2 6’6 兀兀 上单调递增，在u∈ π7π y=sinu在u∈ 62 2'6 单调递减， 所以sinu∈ 1 所以8(x)ax=1, 答案第10页，共11页 令t=sinx1,k1∈ 元π 所以t∈[-1,1]， 函数h(s)可化为p)=-t2+2at-1,开口向下，对称轴t=a, 当a≥1，p)在[-1,1上单调递增，p()mx=p0)=2a-2, 即h)a=2a-2,由于hs)a<g(s)a,所以2a-2<1,解得a< 21 所以1≤a<2 .3 当-1<a<1,pt)在[-1，a)上单调递增，在[a,1]上单调递减， 则p0mx=p网=d-1，即h(5)ns=-l, 由于h(5)m<g(5)m,所以d-l<l,解得-2<a<√2， 所以-1<a<1: 当a≤-1，p)在[-1,1上单调递减，p(t)mx=p(-1)=-2a-2, 即h()am=-2a-2,由于h(G)ae<g(s.,所以-2a-2<1,解得a>- 2 所以子as-1, 纹上所达，口的取怕范国为（为 答案第11页，共11页