第3章 实数章节复习（11题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学实数章节复习讲义通过表格对比算术平方根、平方根、立方根的定义、性质及运算公式，以“概念-性质-运算”知识模块构建体系，用框架图呈现实数分类标准，突出无理数“无限不循环”本质及实数与数轴一一对应的重难点。 讲义亮点在于“典例+变式”分层练习设计，如“利用算术平方根非负性求解”题型，通过已知√(a-1)+|b+2|=0求a+b值，培养抽象能力和运算能力。11类题型覆盖基础应用到规律探究，基础生可掌握方法，优秀生能拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

第3章 实数章节复习 教学目标 1.理解核心概念：经历无理数发现过程，理解无理数是无限不循环小数，知道实数由有理数和无理数组成。 2.掌握数形对应：理解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数并比较大小。 3.迁移运算性质：会求实数的相反数、绝对值，知道有理数运算律在实数范围内同样适用。 教学重难点 教学重点 1.实数概念体系：无理数与实数的意义，实数的分类标准与方法。 2.数形结合核心：实数与数轴上点的一一对应关系及其应用。 教学难点 1.无理数本质理解：从“无限不循环”角度认识无理数与有理数的本质区别。 2.对应的双向理解：每个实数可用数轴上的点表示，且数轴上每个点都表示一个实数。 知识点01 算术平方根、平方根、立方根 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a（即 x2 = a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。 如果一个数x的平方等于a（即x2= a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根） 如果一个数x的立方等于 a（即x3 = a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。 表示方法 （读作“根号a”） （读作“正负根号a”） （读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3是根指数。 被开方数范围 a≥0 a≥0 任意实数 性质 1. 非负性：≥0（双重非负：a≥0且≥0）。 2. 唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0的平方根是0。 3. 负数没有平方根。 1. 每个实数都有且只有一个立方根。 2. 正数的立方根是正数。 3. 负数的立方根是负数。 4. 0的立方根是0。 重要公式 ()2=a(a≥0) = ()3=a；；（负号可以移到根号外）. 【即学即练1-1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）的算术平方根是__________；__________；__________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根为； ； . 知识点02 实数的概念与分类 1. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。 2. 实数的分类 按定义分类： 实数 按性质分类： 实数 【即学即练2-1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；；；；（每相邻两个之间的个数逐次加1）． 有理数集合：________________________． 无理数集合：________________________． 正数集合：________________________． 负数集合：________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的分类，分别根据正数和负数的定义、实数以及有理数的概念判断即可． 【详解】解：有理数集合：{①②③⑤⑥…}； 无理数集合：{④⑦…}； 正数集合：{②③④⑦…}； 负数集合：{①⑥…}； 故答案为：． 知识点03 实数的性质与运算 1. 基本性质 相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a + b = 0。 绝对值：|a| = 倒数：非零实数a的倒数是。 2. 实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数 > 0 > 负数。 3. 实数的运算 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 常用计算口诀： 平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。 算术根：非负数，它本身；双重非负要记准。 立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。 【即学即练3-1】（26-27八年级上·四川内江·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根、立方根、绝对值，进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的立方根，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【即学即练3-2】（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）对于如下运算程序： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若输入m的值后，无法得到n的值，则输入m的值是______． 【答案】(1)5 (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义． （1）根据无理数的定义以及流程图即可求出m得值． （2）根据题目中的运算程序代入计算即可； （3）综合立方根和无理数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是无理数， ∴， ∴， 故答案为：5． （2）输入，得到， 不是无理数不能输出，返回可得：， ∵是无理数可以输出， ， 故答案为：； （3），，， 输入的值为或或时，无法得到的值， 故答案为：0或． 题型01 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【典例1】（26-27八年级上·北京·开学考试）（1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的平方根是； （2）∵， ∴的立方根是． 【变式1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 【变式2】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）25的平方根是___________；的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，掌握平方根与立方根的性质是解题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解． 【详解】解：，的平方根是； ，的立方根是． 【变式3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的平方根是_____；的算术平方根是_____；的立方根是__； 【答案】 【分析】先化简，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义，分别计算得到结果． 【详解】解：，且， 的平方根是． ，算术平方根为非负数， 的算术平方根是． ， 的立方根是． 题型02 无理数的识别 【典例2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； C、是有限小数，是有理数，故选项不符合题意； D、是整数，是有理数，故选项不符合题意． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·开学考试）在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 【变式2】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 【变式3】（25-26七年级下·吉林松原·期末）在，，，，，中，无理数的个数是（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据无理数定义，逐个判断给出的数，统计无理数个数即可． 【详解】无理数定义为无限不循环小数， ∵是整数，是整数，是分数，都属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数. ∴ 无理数共个． 题型03 实数的比较大小 【典例3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：_____3．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系． 【详解】解： ，，且 ，， ∵， ∴． 【变式1】（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小：_____ 3． 【答案】 【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小． 【详解】解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． 【变式2】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）比较大小：____1． 【答案】＜ 【分析】先估算的取值范围，再推导得到的范围，即可完成大小比较. 【详解】，，即， 不等式三边同时减，得． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·期中）以下实数：0、、、、，最大的是________． 【答案】 π 【分析】先化简题目中的各实数，再根据实数大小比较规则，即可确定最大的数． 【详解】解：，， 比较这些数的大小，得： ， 因此最大的数是． 题型04 利用算术平方根的非负性求解 【典例4】（2026·广东茂名·一模）若实数、满足，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得：． 【变式1】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如果，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性，求出，的值，再代入计算的值，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 将，代入得：， 则1的平方根为， 的平方根是． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）若实数a，b满足，则的值是________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东潮州·阶段检测）若实数，满足，则______． 【答案】0 【分析】几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05 实数与数轴 【典例5】．（2026·四川达州·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点在点的左侧．根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数， ． 【变式1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积是10，先求出边长，再在数轴上求出点M对应的数． 【详解】解：∵面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上， ∴ ∵以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M， ∴， ∴点M所表示的数为． 【变式2】（25-26九年级下·四川达州·期中）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则________x．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】＞ 【详解】解：由数轴可知：， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ，，，， ∴______<______<______<______<______． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和数轴，在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大． 【详解】略． 题型06 实数的性质 【典例6】（24-25八年级上·山西·开学考试）的相反数是___________；的倒数为___________；___________ 【答案】 【分析】本题考查实数的相反数，倒数，绝对值，根据只有符合不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数解答即可． 【详解】解：的相反数，的倒数为， 故答案为：，，． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是________，的相反数是________． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 【变式2】（25-26七年级下·辽宁营口·阶段检测）的绝对值是______，的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，倒数和相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：，的相反数是，的倒数是， 故答案为：；；． 【变式3】（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知实数满足：． (1)求和的值； (2)若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据正实数的两个不相同的平方根互为相反数列式求出，再求的值． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得， ∴正实数的两个不相同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07 程序设计与实数运算 【典例7】（25-26七年级上·山东淄博·期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解． 【详解】解：输入x的值是1时，， ∴， 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）有一个数值转换器，设计流程如图： 当输入的值为_____时，该程序无法输出值 【答案】负数或0或1 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：∵负数没有算术平方根， ∴不能输出； 当输入时，算术平方根为0，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 当输入时，算术平方根为1，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 综上，当输入的值为负数或0或1时，该程序无法输出值 故答案为：负数或0或1． 【变式2】（2026·贵州黔东南·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是________． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的性质，根据题意，先求出的算术平方根，在再求出立方根，即可． 【详解】解：计算程序可得，， ∴取算术平方根为， ∴取的立方根为， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·陕西商洛·期末）有一个数值转换机，转换流程如下：    当输入的x值为256时，求输出的y值． 【答案】 【分析】根据程序流程图的顺序进行计算即可． 【详解】解：由题图可知：是有理数， 是无理数，输出； ∴输出的值是． 题型08 利用平方根与立方根的定义解方程 【典例8】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·青海海西·期中）求下列方程中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）根据等式的性质，可化简成乘方的形式，根据开方运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：或； （2）解：， 两边都除以，得， 开方，得， 解得：． 【变式2】（25-26八年级·重庆·阶段检测）解下列关于 x 的方程： （1） （2） 【答案】（1）x= 或 x=；（2）x= ． 【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案． （2）根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴或 ∴ （2） 【变式3】（25-26七年级下·四川广安·期中）求下列方程中的x的值： （1）(2x－1)2﹣121=0                          （2）2(x＋2)3＋128=0 【答案】（1）x=6或x=－5（2）x=-6 【详解】分析：(1)先把－121移到等号的右边，再用平方根的定义求解；(2)先把128移项到等号的右边，方程两边都除以2，再用立方根的定义求解. 详解：(1)(2x－1)2＝121， ∴2x－1＝±， ∴2x－1＝±11， ∴2x－1＝11或2x－1＝－11， ∴x＝6或x＝－5； (2)2(x＋2)3＝－128， ∴(x＋2)3＝－64， ∴x＋2＝， ∴x＋2＝－4， ∴x＝－6. 题型09 实数的运算 【典例9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简各部分后计算加减． （2）展开乘法，化简绝对值后计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式1】（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·河北廊坊·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题先分别化简算术平方根、立方根、绝对值，再按照有理数混合运算的顺序计算，先算乘除，后算加减，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 平方根与立方根的综合问题 【典例10】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 【变式2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 题型11 与算术平方根、立方根有关的规律问题 【典例11】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【变式1】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【答案】(1)0.1435，14.35 (2)12.60 (3)①或；② 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． （1）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律进行类比解答即可； （3）①先移项，再运用求一个数的平方根进行解方程，即可作答． ②先移项，再运用求一个数的立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 一、单选题 1.（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 2．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 6．（2025八年级上·北京·专题练习）的整数部分是______，小数部分是______． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了估计无理数大小，得出无理数取值范围是解题的关键．利用无理数与整数关系分别得出各数的整数部分和小数部分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，． 7．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算得到的值，最后求该值的平方根即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， ， ， 的平方根为， 的平方根是． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：是即4的算术平方根， ， 是的立方根， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 10．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依次计算乘方，绝对值，立方根，再合并化简即可； （2）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 12．（25-26七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 一、单选题 1.（2026·江苏南京·二模）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即介于和之间． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 5．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）的算术平方根是______；的绝对值是 _____；的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算和性质，根据算术平方根的定义，绝对值的意义，倒数的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 的绝对值是， 的倒数是； 故答案为：，，． 7．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 9．（25-26七年级下·河南焦作·期末）的算术平方根为，的整数部分为，则的立方根为__________． 【答案】2 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值．再估算无理数得到的值．最后计算的立方根即可． 【详解】解：，的算术平方根为． ． ，即． 的整数部分． ． 的立方根为． 的立方根为． 10．（25-26七年级下·福建福州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【答案】 / 【分析】先根据算术平方根的定义估算的取值范围，得到的整数部分，再根据小数部分的定义得到，最后将代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分， 将，代入得： ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，，，，，…（相邻两个2之间依次多1个0）填入相应的集合． 正数集合：{             …}； 负数集合：{             …}； 有理数集合：{             …}； 无理数集合：{             …}． 【答案】正数集合：{（相邻两个2之间依次多1个0），…}； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：{（相邻两个2之间依次多1个0），…} 【分析】本题考查了正数、负数、有理数和无理数的定义，掌握这些概念是解题的关键． 根据正数、负数、有理数和无理数的定义，对所给的数进行分类即可． 【详解】解： 是一个循环小数，大于0，属于正数，属于有理数， 中 ，所以 ，属于正数，也属于无理数， （相邻两个2之间依次多1个0）是无限不循环小数，属于无理数，也属于正数， 是负分数，小于0，属于负数，属于有理数， 是负整数，小于0，属于负数，属于有理数， 是负分数，小于0，属于负数，属于有理数， 正数集合：{（相邻两个2之间依次多1个0），…}； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：{（相邻两个2之间依次多1个0），…}． 12．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 13．（25-26七年级下·河北唐山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律展开原式,再根据二次根式的乘法法则计算化简即可得到结果； （2）分别计算出算术平方根、绝对值、立方根的值,再进行加减运算即可得到结果； 【详解】（1）解: ． （2）解： ． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 15．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章实数章节复习 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01算术平方根、平方根、立方根 知识点02实数的概念与分类 2.知识清单 知识点03实数的性质与运算 题型01求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型02无理数的识别 题型03实数的比较大小 题型04利用算术平方根的非负性求解 实数 题型05实数与数轴 题型06实数的性质 3.题型精讲 题型07程序设计与实数运算 题型08利用平方根与立方根的定义解方程 题型09实数的运算 题型10平方根与立方根的综合问题 题型1与算术平方根、立方根有关的规律问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1理解核心概念：经历无理数发现过程，理解无理数是无限不循环小数，知道实数由 有理数和无理数组成。 教学目标 2.掌握数形对应：理解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数并比较 大小。 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3迁移运算性质：会求实数的相反数、绝对值，知道有理数运算律在实数范围内同样 适用。 教学重点 1.实数概念体系：无理数与实数的意义，实数的分类标准与方法。 2.数形结合核心：实数与数轴上点的一一对应关系及其应用。 教学重难点 教学难点 1.无理数本质理解：从“无限不循环”角度认识无理数与有理数的本质区别。 2对应的双向理解：每个实数可用数轴上的点表示，且数轴上每个点都表示一个实 数。 知识清单 知识点01算术平方根、平方根、立方根 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a 如果一个数x的平方等于a 如果一个数x的立方等于a (即x2=a),那么这个正 (即x2=a),那么这个数x (即x3=a),那么这个数x 数x叫做a的算术平方根。 叫做a的平方根（也称二次 叫做a的立方根（也称三次方 规定：0的算术平方根是0。 方根) 根)。 表示方法 a(读作“根号a”) ±√ā（读作“正负根号 ā（读作“三次根号a”), a”) 其中a是被开方数，3是根指 数。 被开方数范围 20 20 任意实数 性质 1.非负性：Va≥0（双重非 1.正数有两个平方根，它们 1.每个实数都有且只有一个立 负：≥0且Va≥0)。 互为相反数。 方根。 2.唯一性：一个非负数只有 2.0的平方根是0。 2.正数的立方根是正数。 一个算术平方根。 3.负数没有平方根。 3.负数的立方根是负数。 4.0的立方根是0。 重要公式 (Va)2=a(a20) Va -lal=, a,a≥0) (a3-a:a=a: -a,a<0) -a=-a(负号可以移到根 号外). 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-1】(25-26七年级下湖北黄冈期末)√16的算术平方根是 V(-3)2= -27= 知识点02实数的概念与分类 1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含有π的数；开方开不尽的数：有特定结构但不循环的小数。 2.实数的分类 按定义分类： 有理数 整数（有限小数或无限循环小数】 实数 分 无理数（无限不循环小数） 按性质分类： 正实数 正有理数 正无理数 实数 零 负实数 负有理数 负无理数 【即学即练2-1】(25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测)把下列各数填到相应的集合内（只填 序号)： 0 3:②0.54：③0.13： 9:⑤0：⑥-23：⑦0.3020020002..（每相邻两个2之间0的个数逐次加 1). 有理数集合： 无理数集合： 正数集合： 负数集合： 知识点03 实数的性质与运算 1.基本性质 相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。 3/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,(a>0） 绝对值：ld= 0,(a=0 -a,(a<0) 倒数：非零实数a的倒数是。 2.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数>0>负数。 3.实数的运算 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 常用计算口诀： 平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。 算术根：非负数，它本身：双重非负要记准。 立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。 【即学即练31】(26-27八年级上四川内江开学考试)计算： -4--0.125-6: (2(-1)°+l-2+8--22 【即学即练3-2】(25-26七年级下·湖北咸宁·期中)对于如下运算程序： 输入m 立方根 无理数 是 输出n 否 (①若n=5,则m= (2)若m=27,则n=: (3)若输入m的值后，无法得到n的值，则输入m的值是 题型精讲 题型01求一个数的平方根、算术平方根、立方根 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(26-27八年级上北京·开学考试)(1)9的平方根是 (2)-8的立方根是 【变式1】(25-26七年级下·吉林·阶段检测)4的平方根是 64的立方根是 √81的算 术平方根是 【变式2】(25-26七年级下·重庆铜梁期中)25的平方根是 -64的立方根是 25 【变式3】(25-26七年级下湖南岳阳期中)、8的平方根是一：64的算术平方根是一：-0.008的 立方根是一： 题型02 无理数的识别 【典例2】(26-27八年级上·黑龙江绥化开学考试)下列各数是无理数的是() A.3 B. C.0.7 D.4 22 【变式1】(26-27八年级上山东济南开学考试)在3.145、5、64、0.1010010001.（相邻的 两个1之间多一个0)中，无理数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √522 【变式2】(26-27八年级上河南周口开学考试)下列各数：2,0，√9,0.23,2’7， 0.303003…(每相邻的两个3之间依次增加一个0)，1-V2中，无理数的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 1 【变式3】(25-26七年级下吉林松原期末)在-2：元’0,3，-√2,0.202002002中，无理数的个数 是(). A.4 B.3 C.2 D.1 题型03 实数的比较大小 【典例3】(2526八年级上福建泉州阶段检测)比较大小：√73.（选填“>”“<”或“=”） 【变式1】(2026八年级上·全国专题练习)比较大小：25一3 【变式2】(2026宁夏吴忠模拟预测)比较大小：V3-31. 【变式3】(25-26九年级下湖北武汉期中)以下实数：0、3到、π、√9、-3，最大的是 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 利用算术平方根的非负性求解 【典例4】(2026广东茂名一模)若实数a、b满足la+2+Vb-3=0,则d= 【变式1】(25-26九年级下山东聊城阶段检测)如果a-+6+2)=0,则(a+b)218的平方根是 【变式2】(25-26八年级下湖南长沙期中)若实数a,b满足la+2+Vb-3=0,则a+b的值是 【变式3】(25-26七年级下广东潮州阶段检测)若实数a,b满足la-2+Vb-2=0,则a-b= 题型05实数与数轴 【典例5】，(2026四川达州中考真题)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示.则m n (填“>”或“<”). m 0n→ 【变式1】(25-26七年级下·云南昭通期末)如图，面积为10的正方形OABC的顶点O在数轴的原点上， 以点O为圆心，OA长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M,则点M表示的数是 B A ,O八 M -3-2-1012或45之 【变式2】(25-26九年级下四川达州期中)实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则x+1 (填“>”、“=”或“<”) 1 -1 0 【变式3】(25-26七年级上浙江衢州期中)如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<'把这些数连 接起来。 0,-2.5,2,-5,-16 -5-4-3-2-1012345 ∴.< << 题型06 实数的性质 【典例6】(24-25八年级上山西开学考试)√6的相反数是 V3的倒数为 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-π= 【变式1】(25-26七年级下·湖南衡阳期中)-V13的绝对值是 ， 5-√26的相反数是 【变式2】(25-26七年级下辽宁营口阶段检测)-V3的绝对值是 2-√5的相反数是 7 的倒数是 【变式3】(25-26七年级下河北唐山期中)已知实数a,b满足：Va-3+b+4=0。 (1)求a和b的值： (2)若正实数x的两个不相同的平方根分别为p-2a和p+b,求卫和x的值. 题型07程序设计与实数运算 【典例7】(25-26七年级上山东淄博期末)根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时， 则输出的y的值等于 +V3 输入x的值 ×(1+√3) 【变式1】(25-26八年级上·广东揭阳期末)有一个数值转换器，设计流程如图： 输入取算术平方根是否无理救是物出 否 当输入x的值为 时，该程序无法输出y值 【变式2】(2026贵州黔东南·一模)按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的 值是 输入x→ 取算术平方根→取立方根→ 输出y 【变式3】(25-26七年级下·陕西商洛期末)有一个数值转换机， 转换流程如下： 是无理数 输出y 是 输入x 取算术平方根 取立方根 襄 是有理数 是有理数 当输入的x值为256时，求输出的y值 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08 利用平方根与立方根的定义解方程 【典例8】(2025八年级上·全国专题练习)求下列方程中x的值： (1)(2-x°=64； (2)64(x+1)）3-125=0 【变式1】(24-25八年级下·青海海西期中)求下列方程中的x (1)(2x-3)2=36: (2)64(x+1)3=27 【变式2】(25-26八年级重庆阶段检测)解下列关于x的方程： (1)9(3x+2)2=16 (2)2x-=4 【变式3】(25-26七年级下四川广安·期中)求下列方程中的×的值： (1)(2x-1)2-121=0 (2)2x+2)3+128=0 题型09 实数的运算 【典例9】(25-26七年级下·河南南阳期末)计算： 1)V4+(-1)}2+-27: a5(5-14 【变式1】(25-26七年级下山东德州：期中)计算： (1)-9-22+27-V(-22: (281-(-6-5-2 【变式2】(25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测)计算： 1)(-42-5-2--3； (2(x-4)°=-27 【变式3】(25-26七年级下·河北廊坊期末)计算 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16-2-8+(2)月 aga+可x7±目 题型10平方根与立方根的综合问题 【典例10】(25-26七年级下·云南楚雄期中)己知3x-5的算术平方根是2,5x-7y的立方根是4. (I)求x,y的值 (2)求2x-y+12的平方根 【变式1】(25-26七年级下新疆吐鲁番期中)已知一个非负数c的平方根是2a-3与3a-2,a+3b-1的 算术平方根是4. (1)求a,b,c的值： (2)求：a+b+c+1的立方根。 【变式2】(24-25七年级下·云南昭通期中)已知4a-4的立方根是2,5-2b的算术平方根是3 (1)求a,b的值； (2)求7a-2b的平方根. 【变式3】(24-25七年级下陕西榆林·期中)已知5a+2的立方根是3,3b-2的算术平方根是4. (1)求a,b的值： (2)c是小于V15的最大整数，求b-c+1的平方根. 题型11与算术平方根、立方根有关的规律问题 【典例11】(25-26八年级上河北石家庄期中)观察下表，并用所得的规律解决问题： a 0.001 1000 1000000 ā 0.1 10 100 (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动 位，其立方根的小数点向右（或左)移动 位； (2)应用：①已知0.000456≈0.07697，则456≈ ②已知3000≈14.42，则3≈ (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根.已知：V6≈2.449，V60≈7.746，计算V0.54的值. 【变式1】(26-27八年级上广西南宁·开学考试)在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 算器计算得到下列数据： √V0.0324 √0.324 V3.24 V32.4 V324 V3240 V32400 … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大_倍： (2)已知7≈2.646，根据上述规律直接写出下列各式的值：0.07≈_，V700≈_： (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若0.3≈0.669,3≈1.442，则300≈，3000≈ 【变式2】(24-25七年级下江西赣州期中)求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如V4,有 些数则不能直接求得，如√5，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规 律求得，请同学们解答以下问题： 0.04 400 40000 a 0.2 20 200 ()运用你发现的规律，探究下列问题：己知V2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根： ①V0.0206≈：②V206≈_： (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知2≈1.260，则2000≈ (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ①x2-6=30 ②(x+1)3+1=0 【变式3】(25-26七年级下·重庆綦江·期末)小明想要探究被开方数末尾带“0时，算术平方根与立方根 的变化规律， 已知V1=1,则V100=10,V10000=100;已知V9=3,则V900=30,V90000=300; 已知1=1，则000=10,1000000=100：已知8=2，则38000=20,8000000=200： (1)根据小明的发现，请填空：若Va=2.5,那么V100a=:若b=-1.2,那么1000000b=-, (2)现有一个长方形，其长和宽分别用x,y来表示，且满足x+y-8=4。 ①求该长方形的周长C. ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C',请利用(1)中所得规律，求出VC的值. 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下·黑龙江双鸭山期末)下列式子正确的是() A.±V9=3 B.V9=3 C.V(-2)2=-2 D.16=4 2.(25-26七年级下广西桂林期中)若27=x,则x的值为() A.2 B.3 C.4 D.8 22 3.(25-26七年级下辽宁铁岭期末)下列实数：1.5,7,2√3，-3元：0.10101中，无理数有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26七年级下云南曲靖期末)若2.37≈1.333,21.4≈2.872，则2370≈() A.13.33 B.28.72 C.133.3 D.287.2 二、填空题 5.(25-26七年级上江苏徐州阶段检测)比较大小：一π (-3.14)(填“>”或“=”或“<”). 6.(2025八年级上北京专题练习)-√7的整数部分是一，小数部分是— 7.(25-26七年级下湖南岳阳期中)已知x-2+Vy-8=0,则Vy的平方根是 8 8.(25-26八年级上吉林长春期末)若x是、√16的算术平方根，y是27的立方根，则y的值为 三、解答题 9.(24-25七年级下·天津期中)求下列方程中x的值： (1)2x2=50: ac+=3, 3)(2-x°=64； (464(x+1)°-125=0 10.(24-25七年级下·四川南充阶段检测)计算 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)(-2}+小2-V3-3+64 ②--(-2八×8+2÷(2j》 11.(24-25八年级上·陕西宝鸡阶段检测)已知a+1的算术平方根是1，-27的立方根是b-12,c-3的 平方根是+2 (I)求a,b,c的值： (2)求a+b+c的平方根. 12.(25-26七年级下·江西上饶期末)如图，将长方形分成四个区域，其中A,B两正方形区域的面积分 别是3和9. A (1)A,B两正方形的边长各是多少？ (②)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数参考数据：√2≈1.414,5≈1.732）： 能力提升 一、单选题 1.(2026江苏南京二模)估算2.25介于() A.4和V5之间 B.V5和V6之间 C.√6和V7之间 D.√7和⑧之间 2.(25-26七年级下·河北保定期末)如图，在数轴上表示√20的点可能是点() P O MN 0123456 A.P B.O C.M D.N (25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： V0.0225 √0.225 √2.25 √22.5 0.15 0.4743 1.5 4.743 根据以上规律， V2250≈() 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.47.43 B.15 C.474.3 D.150 4.(26-27七年级上·浙江杭州开学考试)已知V13的整数部分为a,小数部分为b,则代数式a-b的值 为(). A.6-√13 B.6+V13 C.√13-6 D.6 5.(24-25七年级下·云南曲靖期末)已知0.1234≈0.4979,12.34≈2.311，则12340的值约是（) A.4.979 B.23.11 C.49.79 D.231.1 二、填空题 6.(25-26八年级上甘肃白银期中)√9的算术平方根是一；-5+2的绝对值是一：V8的倒数 是 7.(25-26七年级下·福建龙岩·期中)有一个数值转换器，原理如下：若把实数α代入数值转换器，恰好 经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是V2,则a= 输入 取算术平方根 是无理数 输出 是有理数 8. (25-26七年级下湖南长沙期末)已知实数m和n满足Vm-10+30-m=n-6,则Vm2-n的值为 9.(25-26七年级下河南焦作期末)V16的算术平方根为x,√40的整数部分为y,则x+y的立方根为 10.(25-26七年级下·福建福州期中)若V10的整数部分为a,小数部分为b,则2a+b= 三、解答题 4 11. (25-26八年级上全国课后作业)将-7，-5’0.23,2元’-5,0.2020020002…（相邻两个2之间 依次多1个0)填入相应的集合. 正数集合：{ … 负数集合：{ …}； 有理数集合：{ .}: 无理数集合：{ …} 12.(25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中)求x的值： (1)x2-36=0: (2)27x3+8=0: 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @2--号 13.(25-26七年级下河北唐山期末)计算： ①)55-5) (②)4+5-3-27 14.(25-26八年级上福建泉州期中)如图1，将两个1×2的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三 角形，它们与一个1x1的正方形可以拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为V5 因此，1×2的长方形的对角线的长是V5 0 图1 图2 (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为 (②)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B,点A表示的数为-V5,设点B表示的数为n. ①求n+V5的立方根. ②求n-3到+n+2的值. 15.(25-26八年级上·广东河源阶段检测)(1)【发现】 ①近+1=1+(-1)=0： ②8+-8=2-2=0： ③31000+-1000=10-10=0： ④64+6444 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式：； (2)【归纳】 等式①，②，③，④，…所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数a,b,若 a+6=0,则；（写出a与b之间的关系式） (3)【应用】 14/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据(2)中所归纳的结论，解决下列问题： ①若3-2x+x+6=0,求V4x: ②若4a2-10+6-3b=0,且V4-b=0,求a的值. 15/15