第3章 实数 章节（11知识点回顾+23题型巩固） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第3章 实数 章节（11知识点回顾+23题型巩固） 目录 知识梳理 1. 平方根 2.算术平方根 3.估算算术平方根 4、无理数 5、实数的概念及分类 6.实数的有关概念与性质 7.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 8.立方根及开立方 9.立方根的事实 10.实数的运算 11.用计算器进行实数运算 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、估计算术平方根的取值范围 四、算术平方根的实际应用 五、平方根概念理解 六、求一个数的平方根 七、平方根的应用 八、已知一个数的平方根，求这个数 九、无理数 十、无理数的大小估算 十一、无理数整数部分的有关计算 十二、实数的分类 十三、实数的性质 十四、实数与数轴 十五、实数的大小比较 十六、立方根概念理解 十七、求一个数的立方根 十八、已知一个数的立方根，求这个数 十九、立方根的实际应用 二十、算术平方根和立方根的综合应用 二十一、实数的混合运算 二十二、实数运算的实际应用 二十三、计算器——平方根和立方根 知识梳理 知识点1.平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点2.算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 知识点3.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点4、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点5、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点6.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点7.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 知识点8.立方根及开立方 名称 内容 立方根 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根。 立方根的表示 的立方根，记作，其中 是被 开方数，3是根指数，符号“ ” 读作“三次根号”。____ 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 说明：（1） 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角； （2）开立方与立方是互逆的运算，所以可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）开立方时，被开方数可以是任意实数，且立方根的符号与被开方数的符号相同。 知识点9.立方根的事实 1.立方根的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2.平方根与立方根的区别与联系 名称 关系 平方根 立方根 区别 被开方数的取值范围不同 在中，≥0 。 在中， 为任意实数。 特征不同 正数有两个平方根，它们互为相反数。 只有非负数才有平方根。 正数的立方根是正数。 负数也有立方根。 负数没有平方根。 负数的立方根是负数。 表示不同 联系 零的平方根和立方根都是零。 知识点10.实数的运算 1.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 2.实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 注意：若算式中运用运算律能够简化计算，则要运用运算律计算。 敲黑板 （1）无理数与有理数的和、差，结果仍是无理数； （2）无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果仍是无理数； （3）两个无理数的和、差、积、商，结果可能是有理数也可能是无理数。 知识点11.用计算器进行实数运算 我们可以用计算器进行实数的运算；近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。 （1）用计算器求一个数的算术平方根的步骤：①先按 2ndF 键； ②然后按 键；③再输入要开平方的数；④最后按 = 键显示 结果。如求 的操作是2ndF 3 = 。 （2）用计算器求一个数的立方根的步骤：①先按 2ndF 键； ②然后按 键；③再输入需要开立方的数；④最后按 = 键 显示结果。如求 的操作是 2ndF 3 = 。 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）化简（   ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． （1）当输入的值为8时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 3．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 4．已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 题型三、估计算术平方根的取值范围 5．（23-24七年级·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 题型四、算术平方根的实际应用 7．（22-23七年级上·浙江金华·期末）依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）    A．2 B． C． D．2.5 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，求这个长方形的周长． 题型五、平方根概念理解 9．（24-25七年级上·浙江杭州）下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 10．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 题型六、求一个数的平方根 11．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若某数的一个平方根为，则另一个平方根为 ． 题型七、平方根的应用 13．（23-24七年级·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 14．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 题型八、已知一个数的平方根，求这个数 15．如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（　　） A． B．7 C． D．49 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果和是正数的两个不同的平方根，那么 ， ． 题型九、无理数 17．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）请写出一个比3大的无理数是 ． 题型十、无理数的大小估算 19．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 20．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求． 题型十一、无理数整数部分的有关计算 21．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则= ． 22．（23-24七年级上·浙江·周测）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)现已知， 使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； (2)的整数部分为，小数部分为，求的值． 题型十二、实数的分类 23．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若，则 C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（只填编号即可）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：______； 分数：______； 无理数：______． 题型十三、实数的性质 25．实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 26．的相反数是 ． 题型十四、实数与数轴 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数轴上的点，，，，分别表示，，，1， (1)点的位置如图所示，请在数轴上标出点，，，的位置． (2)观察（1）中的数轴，则大于小于的所有整数的和为_______． 题型十五、实数的大小比较 29．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 30．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 0，，， 题型十六、立方根概念理解 31．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中正确的是（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．负数有立方根 C．如果三个有理数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数为0 D．若数a由四舍五入法得到近似数为，则数a的范围是： 32．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值． 题型十七、求一个数的立方根 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 34．已知，，则 ． 题型十八、已知一个数的立方根，求这个数 35．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则 ． 36．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 题型十九、立方根的实际应用 37．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 38．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求锻造成的立方体铁块边长及其表面积． 题型二十、算术平方根和立方根的综合应用 39．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 40．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 题型二十一、实数的混合运算 41．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）若a是有理数，b是无理数，则下列说法正确的是（    ） A．可能是有理数 B．一定是无理数 C．一定是无理数 D．可能是有理数 42．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 题型二十二、实数运算的实际应用 43．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 44．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 题型二十三、计算器——平方根和立方根 45．在计算器上按键：，显示的结果为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣5 D．5 46．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 章节（11知识点回顾+23题型巩固） 目录 知识梳理 1. 平方根 2.算术平方根 3.估算算术平方根 4、无理数 5、实数的概念及分类 6.实数的有关概念与性质 7.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 8.立方根及开立方 9.立方根的事实 10.实数的运算 11.用计算器进行实数运算 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、估计算术平方根的取值范围 四、算术平方根的实际应用 五、平方根概念理解 六、求一个数的平方根 七、平方根的应用 八、已知一个数的平方根，求这个数 九、无理数 十、无理数的大小估算 十一、无理数整数部分的有关计算 十二、实数的分类 十三、实数的性质 十四、实数与数轴 十五、实数的大小比较 十六、立方根概念理解 十七、求一个数的立方根 十八、已知一个数的立方根，求这个数 十九、立方根的实际应用 二十、算术平方根和立方根的综合应用 二十一、实数的混合运算 二十二、实数运算的实际应用 二十三、计算器——平方根和立方根 知识梳理 知识点1.平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点2.算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 知识点3.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点4、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点5、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点6.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点7.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 知识点8.立方根及开立方 名称 内容 立方根 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根。 立方根的表示 的立方根，记作，其中 是被 开方数，3是根指数，符号“ ” 读作“三次根号”。____ 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 说明：（1） 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角； （2）开立方与立方是互逆的运算，所以可以运用立方运算求一个数的立方根； （3）开立方时，被开方数可以是任意实数，且立方根的符号与被开方数的符号相同。 知识点9.立方根的事实 1.立方根的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2.平方根与立方根的区别与联系 名称 关系 平方根 立方根 区别 被开方数的取值范围不同 在中，≥0 。 在中， 为任意实数。 特征不同 正数有两个平方根，它们互为相反数。 只有非负数才有平方根。 正数的立方根是正数。 负数也有立方根。 负数没有平方根。 负数的立方根是负数。 表示不同 联系 零的平方根和立方根都是零。 知识点10.实数的运算 1.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 2.实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 注意：若算式中运用运算律能够简化计算，则要运用运算律计算。 敲黑板 （1）无理数与有理数的和、差，结果仍是无理数； （2）无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果仍是无理数； （3）两个无理数的和、差、积、商，结果可能是有理数也可能是无理数。 知识点11.用计算器进行实数运算 我们可以用计算器进行实数的运算；近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。 （1）用计算器求一个数的算术平方根的步骤：①先按 2ndF 键； ②然后按 键；③再输入要开平方的数；④最后按 = 键显示 结果。如求 的操作是2ndF 3 = 。 （2）用计算器求一个数的立方根的步骤：①先按 2ndF 键； ②然后按 键；③再输入需要开立方的数；④最后按 = 键 显示结果。如求 的操作是 2ndF 3 = 。 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）化简（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据的算术平方根是，从而可得答案． 【详解】解：， 故选：C 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． （1）当输入的值为8时，则输出的值为 ； （2）若输出的是且，则输入的的值为 ． 【答案】 11或83或 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求算术平方根，程序框图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：若经过一次转换，则；若经过两次转换，则；若经过三次转换，则，若经过四次转换：，根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）当输入的值为8时， ， 取算术平方根：， ∵是无理数， ∴输出的值为， 故答案为：； （2）根据题意可得： 若经过一次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 若经过两次转换：， 则，解得：或（不符合题意）， 若经过三次转换：， 则，解得：或， 若经过四次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 综上所述，输入的的值为11或83或． 故答案为：11或83或． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 3．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、m的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）由题意得：，， 解得：， （2）由（1）得：，， ∴， ∴的平方根 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质．解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值． 题型三、估计算术平方根的取值范围 5．（23-24七年级·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， 比较接近整数5， 故选：C． 6．若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】根据，可得：的值，进而即可求解． 【详解】， 又为两个连续整数，， 故答案为：3；4． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键． 题型四、算术平方根的实际应用 7．（22-23七年级上·浙江金华·期末）依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）    A．2 B． C． D．2.5 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】首先求出阴影正方形的面积，即可得出边长． 【详解】解：阴影正方形的面积为， ∴阴影正方形的边长是， 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，关键是明确算术平方根的意义． 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，求这个长方形的周长． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算数平方根的应用，设长方形的宽为，则长为，列出方程，用平方根的定义即可求解；理解“()的平方根为，算数平方根为．”是解题的关键． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为，由题意得 ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 长为（）， 周长为： （）； 答：这个长方形的周长． 题型五、平方根概念理解 9．（24-25七年级上·浙江杭州）下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B． 10．（22-23七年级上·浙江·期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵x是最大的负整数， ∴， ∵y是最小的正整数， ∴， ∵z是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0． 题型六、求一个数的平方根 11．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：16的平方根是． 故选：C． 12．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若某数的一个平方根为，则另一个平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：某数的一个平方根为，那么这个数是， 13的平方根为：． 故答案为：． 题型七、平方根的应用 13．（23-24七年级·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 14．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 题型八、已知一个数的平方根，求这个数 15．如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（　　） A． B．7 C． D．49 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】依据平方根的性质列出关于a的方程可求得a的值，然后依据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个正数的x的平方根是和， ∴， 解得． ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，求得a的值是解题的关键． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果和是正数的两个不同的平方根，那么 ， ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，求出的值，进而确定出的值，由此得到答案． 【详解】解：由题意得： 和是正数的两个不同的平方根， ， 解得：， ， ，． 故答案为：，． 题型九、无理数 17．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义及有理数与无理数的区分，解题的关键是先将可化简的数（如平方根、立方根）化简，再根据“无理数是无限不循环小数”的定义判断每个数的类别． 先将题中可化简的数化简（，）；再逐一判断各数是否为无理数，其中有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数；最后统计无理数的个数，匹配选项． 【详解】解：先化简题中可化简的数：，； 再判断各数类别：是分数，属于有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有2个，对应选项C． 故选：C． 18．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）请写出一个比3大的无理数是 ． 【答案】 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义写出一个比3大的无理数即可． 【详解】解：写出一个比3大的无理数是π． 故答案为：（答案不唯一）． 题型十、无理数的大小估算 19．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，由估算方法得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 20．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先求出的范围，求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求的范围． 题型十一、无理数整数部分的有关计算 21．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则= ． 【答案】9 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】先估算出和的大小，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，解题的关键是掌握无理数的估算方法． 22．（23-24七年级上·浙江·周测）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)现已知， 使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； (2)的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)，， (2)． 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，使用二次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，再使用三次“调日法”计算即可求解； （2）先估算无理数的范围，求出、的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， ∵， ∴， ∴使用二次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， ∵， ∴， ∴使用三次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴． 题型十二、实数的分类 23．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若，则 C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】C 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类以及运算，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 根据实数的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵是无理数，∴带根号的数一定是有理数，说法错误，故该选项不符合题意； B、∵当时，，∴若，则，说法错误，故该选项不符合题意； C、比大比小的实数有无数个，说法正确，故该选项符合题意； D、∵，是有理数，∴两个无理数的和一定是无理数，说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C ． 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（只填编号即可）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：______； 分数：______； 无理数：______． 【答案】①④⑧；③⑤⑥；②⑦ 【知识点】实数的分类 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答此题的关键．根据“正整数、负整数和0统称为整数；无限不循环的小数是无理数”进行分类． 【详解】解：整数：，，； 分数：，，； 无理数：，； 故答案为：①④⑧；③⑤⑥；②⑦． 题型十三、实数的性质 25．实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查实数的性质，根据相反数的定义，直接求解即可． 【详解】解：实数的相反数只需在其前面添加负号，即为． 故选B． 26．的相反数是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 题型十四、实数与数轴 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握“数轴上，右边的数总是大于左边的数”是解决问题的关键．根据相反数的概念作图，然后利用数轴比大小． 【详解】解：如图， 由数轴可得， 故选：D． 28．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数轴上的点，，，，分别表示，，，1， (1)点的位置如图所示，请在数轴上标出点，，，的位置． (2)观察（1）中的数轴，则大于小于的所有整数的和为_______． 【答案】(1)见详解 (2)0． 【知识点】有理数加法运算、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的加法运算等知识． （1）根据数轴上点的特点把点表示在数轴上即可； （2）写出到的所有整数，然后相加即可． 【详解】（1）解：在数轴上标出点，，，的位置如下图所示： （2）解：根据（1）中的数轴大于小于的整数有：，，，0，1，2，3． 则大于小于的所有整数的和为：． 题型十五、实数的大小比较 29．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，根据正数大于零，负数小于零，两个负数中绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：∵， ∴最小的是， 故选：D． 30．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 0，，， 【答案】数轴表示见解析， 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确地把各数在数轴上表示出来是解决本题的关键． 【详解】解：，， 数轴表示如下： ∴． 题型十六、立方根概念理解 31．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中正确的是（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．负数有立方根 C．如果三个有理数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数为0 D．若数a由四舍五入法得到近似数为，则数a的范围是： 【答案】B 【知识点】立方根概念理解、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．也考查了单项式、算术平分根和近似数．利用数轴上点表示的数为全体实数可对A进行判断；利用立方根的定义对B进行判断；根据有理数乘法运算法则对C进行判断；根据近似数的精确度对D进行判断即可． 【详解】解：A、实数与数轴上的点一一对应，所以A选项的说法错误； B、负数有立方根，所以B选项的说法正确； C、如果三个有理数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数为0或2，所以C选项的说法错误； D、若数由四舍五入法得到近似数为，则数的范围是：，所以D选项的说法错误． 故选：B． 32．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值． 【答案】 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根、立方根、最小正整数的概念，由题意得出，，，再代入进行计算即可，熟练掌握平方根、立方根、最小正整数的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ， ∵的立方根是， ∴， ∵是最小的正整数， ∴， ∴． 题型十七、求一个数的立方根 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的估算，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 34．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 题型十八、已知一个数的立方根，求这个数 35．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 36．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概率，代数式求值： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程可求出a；根据立方根的定义可得，解方程即可求出b； （2）根据（1）所求结合平方根的概念求出x的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是 ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型十九、立方根的实际应用 37．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ． 【答案】5 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴其边长为， 故答案为：5． 38．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求锻造成的立方体铁块边长及其表面积． 【答案】边长为，表面积为 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，设立方体的棱长是，得出方程，求出，代入求出即可． 【详解】解：设立方体的棱长是， 则， ， 即锻造成的立方体铁块的表面积是． 答：立方体的棱长是20，锻造成的立方体铁块的表面积是． 题型二十、算术平方根和立方根的综合应用 39．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 40．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 题型二十一、实数的混合运算 41．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）若a是有理数，b是无理数，则下列说法正确的是（    ） A．可能是有理数 B．一定是无理数 C．一定是无理数 D．可能是有理数 【答案】A 【知识点】无理数、实数的混合运算 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，实数的运算．利用特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，是有理数，故A选项正确； B、若，，则，是有理数，故B选项错误； C、若，，则，是有理数，故C选项错误； D、一定是无理数，故D选项错误； 故选：A． 42．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，有理数的加减运算，乘法运算，根据题意找出运算规律是解题的关键． （1）裂项后，将各项相加，消掉互为相反数的项； （2）裂项后乘以，将各项相加，消掉互为相反数的项； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉互为相反数的项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型二十二、实数运算的实际应用 43．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 44．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 题型二十三、计算器——平方根和立方根 45．在计算器上按键：，显示的结果为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣5 D．5 【答案】A 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】根据计算器的使用方法列式计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，运算结果为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了计算器的使用，开立方，解决本题的关键是掌握计算器的使用方法． 46．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了实数加减运算： （1）利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可； （2）分别利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $