第2章 有理数的运算章节复习（14题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理有理数运算体系，涵盖加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，用对比表格呈现教学重难点，明确符号法则和混合运算顺序为核心，关联科学记数法与近似数，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，14类题型覆盖基础运算（如直接计算）、实际应用（如水费问题）及规律探究（如算式规律），培养运算能力与模型意识。典例配变式适合不同学生，错解分析助学生提升批判性思维，教师可据此实施精准教学。

第2章 有理数的运算章节复习 教学目标 1.掌握运算法则：理解并掌握有理数加、减、乘、除及乘方的运算法则，能准确判断符号并正确计算。 2.灵活运用运算律：掌握加法与乘法的交换律、结合律及分配律，能运用运算律简化计算。 3.解决实际问题：能将实际情境转化为有理数运算模型，培养数学建模与应用能力。 教学重难点 教学重点 1.运算法则的掌握：有理数加、减、乘、除及乘方的运算法则，特别是符号法则的准确运用。 2.混合运算的顺序：有理数混合运算的顺序与运算律的灵活应用。 教学难点 1.符号法则的抽象理解：从实际问题中抽象出有理数混合运算法则，并熟练进行运算。 2.运算律的灵活运用：根据算式特征，灵活、合理地选用运算律简化计算过程。 知识点01 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【即学即练1-1】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 【即学即练1-2】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 知识点02 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【即学即练2-1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破650亿千克，为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“650亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将以“亿”为单位的数转化为原数，再化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：650亿． 知识点03 近似数 1.近似数：与准确数接近的数。 2.精确度：精确到某一位，或保留几个有效数字。 3.有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位止。 4.取近似值方法：四舍五入、进一法、去尾法 5.判断精确位：看末位数字在哪个数位。 6.注意：末尾的 0 不能随便去掉； 【即学即练3-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 【即学即练3-2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 题型01 有理数的加减混合运算 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （2）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号和绝对值，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型02 有理数加减中的简便运算 【典例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的加减法； （1）去括号后，按照有理数加减法法则计算即可； （2）去括号后，将同分母的分数先计算，再将所得结果相加即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . 题型03 有理数乘除混合运算 【典例3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型04 有理数乘除中的简便运算 【典例4】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 题型05 用科学记数法表示较大的数 【典例5】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一个较大的数用科学记数法表示为的形式，其中，为正整数，的值等于原整数位数减1即可． 【详解】解：． 【变式2】（26-27九年级上·四川自贡·开学考试）自贡恐龙博物馆是国家一级博物馆，2025年接待游客约2860000人次，数据2860000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万 题型06 有理数的混合运算 【典例6】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)0 【分析】（1）利用乘法对加法的分配律进行简便计算； （2）先进行有理数的乘方运算，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再从左到右依次计算乘除即可； （2） 先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 有理数的混合运算中错解复原问题 【典例7】（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 【变式1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【变式2】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号 (2) 解： ． 【分析】（1）有理数的乘除法应按照顺序从左到右依次计算，且异号相除得负数，据此即可求解； （2）先计算括号内的运算，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：计算括号内的式子得：，因此步骤①计算正确； 乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，步骤②先计算了，改变了正确的运算顺序，因此第一处错误是第②步； 原式中，正数除以负数应得负值，而结果为正数，结果符号错误，遗漏负号，因此第二处错误是第③步； 故答案为：②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号． （2）略 【变式3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读以下的计算过程并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第________步开始就出现了错误，错误的原因是________； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了 (2) 解：原式 ． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法的运算法则进行分析即可； （2）根据有理数混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴原解题过程中，第一步出错，较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了， 故答案为：一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了； （2）略 题型08 有理数的混合运算中应用问题 【典例8】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【分析】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【详解】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 【变式3】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 题型09 含乘方的有理数混合运算 【典例9】（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式=． 【变式1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可. 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式 . 【变式2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减；   （2）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减 ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 有理数运算中的程序问题 【典例10】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【变式2】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【变式3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 题型11 算24点 【典例11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式1】（24-25七年级上·广西贵港·期中）将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．通过尝试不同的运算组合，利用括号改变运算顺序，使结果等于24即可． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型12 有理数的混合运算中新定义型问题 【典例12】（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)64 (2) 解：成立，理由如下： ∵； 故． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意， ； （2）略 【变式1】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）对于有理数，定义两种新运算“※”与“◎”，规定： ，．例如，． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，理解新运算的法则，正确地列出算式是解题的关键． （1）根据新定义的法则，进行计算即可； （2）根据新定义的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 【变式2】（2025七年级上·河北唐山·专题练习）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）． 例：． （1）__________； （2）若，则__________． 【答案】 21 4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可， （2）根据新定义的运算，把相应的值代入，得出一元一次方程求解即可， 【详解】解：（1）． 故答案为：21； （2）根据定义，得 ， 解得：． 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程等知识，熟练掌握新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算顺序进行计算即可； （2）根据新定义的运算计算等式的左边，进而得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）由题意可得 ∵， ∴， 解得 题型13 有理数运算中的规律探究问题 【典例13】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段检测）观察下列各式的计算结果： ；； ； (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ____________________；____________________． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，含乘方的有理数混合运算，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． （1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴， …… 则， ∴； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑩条算式：________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)5050 【分析】本题主要考查数字的变化规律与有理数的混合运算； （1）根据已知等式得出，再将代入可得； （2）利用所得规律展开得原式，再利用求和公式计算可得． 【详解】（1）解：∵①， ②， ③， ④， ⑤， ∴第个算式为， 则第⑩个算式为， 故答案为：； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，解题的关键是： （1）（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解； （3）用从1开始到2023的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式3】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察下列各式： … (1)计算：________； (2)根据规律，猜想：________； (3)根据规律，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察已知等式找出规律． （1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第5个等式的结果； （2）根据（1）呈现的规律，归纳猜想出的表达式； （3）利用（2）得出的结论，将所求式子转化为从1到的和减去从到的和，进而计算化简． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律猜想：， 故答案为：， （3）解：原式 ． 题型14 近似数有关问题 【典例14】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数． 【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字． ∵的千分位数字是4，且， ∴直接舍去千分位及后面的数字，得到． 因此正确选项为C． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 【变式2】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 【详解】解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）2025年，我国某项重大科技工程取得突破，相关投资约为125000000000元．这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“125000000000”用科学记数法表示为． 2（25-26七年级上·全国·期末）用四舍五入法，按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，根据四舍五入法，分别计算每个精确度的近似值，判断错误选项即可． 【详解】解：∵精确到十分位，需看百分位，0.05019的百分位是5，，∴进位，得0.1，A正确； ∵精确到百分位，需看千分位，0.05019的千分位是0，，∴舍去，得0.05，B正确； ∵精确到千分位，需看万分位，0.05019的万分位是1，，∴舍去，得0.050，但选项C为0.05（仅两位小数），未保留千分位，∴C错误； ∵精确到0.0001（万分位），需看十万分位，0.05019的十万分位是9，9≥5，∴进位，得0.0502，D正确； 故选：C． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河南周口·开学考试）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 【答案】 【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果． 【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数， 千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是， 个位进后是，则原来个位是， 千分位最小取，得到． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期末）一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 【答案】5 【分析】本题考查重叠问题，熟练掌握容斥原理与韦恩图是解题关键． 先计算出只答对第一题的人数，再用总人数减去只答对第一题和答对第二题的人数即可． 【详解】解：由题意可知，只答对第一题的人数为人， ∴两道题都错的有人． 故答案为：5． 7．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 8．（25-26七年级上·全国·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 【答案】③④ 【分析】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键；根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：∵点a在的右边， ∴， 故①错误； ∵点b在1的右边， ∴， 故②错误； ∵b在a的右边， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故④正确． 故答案为：③④． 三、解答题 9．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 【答案】(1)没有回到起点，前进了4米； (2)分 【分析】本题考查正负数的实际应用及有理数加减的运算，核心是理解正负数表示相反意义的量，以及绝对值在路程计算中的作用． （1）将机器人走过的各段路程的数值进行有理数的加减混合运算，根据运算结果判断是否回到起点，结果为0则回到起点，结果的正负表示前进或后退，绝对值表示距离起点的距离； （2）因为路程是实际行走的长度，与方向无关，所以先计算各段路程绝对值的和得到总路程，再乘以每米的得分即可求出总得分． 【详解】（1）解：计算机器人最终相对起点的位置： ． ∵结果为正， ∴机器人没有回到起点，前进了4米； （2）解：计算总路程：． 总得分：(分)； 答：本次机器人一共得到分． 11．（25-26七年级上·福建福州·期末）某校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小明为响应号召，决定每天练习跳绳．小明以一分钟跳175个为目标，并把10次一分钟跳绳的数量记录如下表（超过175个的部分记为“”，少于175个的部分记为“”）： 与目标数量的差值（单位：个） 0 次数 3 2 2 1 2 (1)小明在这10次跳绳练习中，一分钟最多跳_____个； (2)小明在这10次跳绳练习中，最多的一次比最少的一次多几个？ (3)小明在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)177 (2)个 (3)1712个 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据表格中数据进行计算即可； （2）用差值最大值减去差值最小值，即可得出答案； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：（个）， 小明在这10次跳绳练习中，一分钟最多跳177个． （2）解： 答：最多的一次比最少的一次多10个； （3）解： 答：小明在这10次跳绳练习中，累计跳绳1712个． 12．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【答案】(1)1；2 (2)0 (3)负数 【分析】本题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得出结果； （2）当输入数字为0时得到的结果为0； （3）根据“数值转换机”即可得到答案． 【详解】（1）解：若输入数字为4时，，得到， ∵， ∴得到相反数为1，倒数为1， ∴输出结果为1； 若输入数字为7时，，得到，得到相反数为，绝对值为2， ∴输出结果为2； 故答案为：1，2； （2）解：根据题意，输入数字为0时， ∴得到相反数为0，不是正数， ∴取绝对值为0， ∴结果为0， 故答案为：0； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负数． 1、 单选题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2026·贵州遵义·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数轴的特征，正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，，， A.∵，故选项正确，不符合题意； B.∵， ∴，故选项正确，不符合题意； C.∵，∴，故选项错误，符合题意； D.∵，，，∴，，则，故选项正确，不符合题意． 4．（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 二、填空题 6．（2024七年级·全国·竞赛）希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为______．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 【答案】/分 【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和． 【详解】解：由题意， 每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分； 每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分； ∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分， 故答案为：0． 7．（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）学校为艺术节准备了一批小礼品．如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个．这批礼品最少有_____________个． 【答案】37 【分析】本题考查同余问题，根据题意，礼品数量满足除以3余1、除以5余2、除以7余2的条件．利用同余性质，先找到同时满足除以5和7余2的数，即35的倍数加2，再代入除以3余1的条件求解即可． 【详解】解：∵3，5，7互质，且礼品数量满足除以5余2、除以7余2， ∴礼品数满足除以35余2， ∵且，满足除以3余1； ∴这批礼品最少有37个； 故答案为：37． 10．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意可得代数式，将值代入求解，得到正数直接得结果；得到负数取该数的绝对值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 13．（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2) 由题意得：； ； ． 【分析】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）略 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 15．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【答案】(1)7；7 (2)10000 (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，数字类规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据题中的式子即可得出规律； （2）利用（1）中得出的规律计算即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ．．．．．． 所以第n个等式可表示为：， 所以当时，， 所以， 故答案为：7，7． （2）解：当时，， 所以， 故答案为：10000； （3）解：原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算章节复习 教学目标 1.掌握运算法则：理解并掌握有理数加、减、乘、除及乘方的运算法则，能准确判断符号并正确计算。 2.灵活运用运算律：掌握加法与乘法的交换律、结合律及分配律，能运用运算律简化计算。 3.解决实际问题：能将实际情境转化为有理数运算模型，培养数学建模与应用能力。 教学重难点 教学重点 1.运算法则的掌握：有理数加、减、乘、除及乘方的运算法则，特别是符号法则的准确运用。 2.混合运算的顺序：有理数混合运算的顺序与运算律的灵活应用。 教学难点 1.符号法则的抽象理解：从实际问题中抽象出有理数混合运算法则，并熟练进行运算。 2.运算律的灵活运用：根据算式特征，灵活、合理地选用运算律简化计算过程。 知识点01 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【即学即练1-1】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) (3) 【即学即练1-2】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 知识点02 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【即学即练2-1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破650亿千克，为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“650亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 知识点03 近似数 1.近似数：与准确数接近的数。 2.精确度：精确到某一位，或保留几个有效数字。 3.有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位止。 4.取近似值方法：四舍五入、进一法、去尾法 5.判断精确位：看末位数字在哪个数位。 6.注意：末尾的 0 不能随便去掉； 【即学即练3-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【即学即练3-2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 题型01 有理数的加减混合运算 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 题型02 有理数加减中的简便运算 【典例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【变式3】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： (1) (2) 题型03 有理数乘除混合运算 【典例3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 有理数乘除中的简便运算 【典例4】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【变式3】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 题型05 用科学记数法表示较大的数 【典例5】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·四川自贡·开学考试）自贡恐龙博物馆是国家一级博物馆，2025年接待游客约2860000人次，数据2860000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型06 有理数的混合运算 【典例6】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）计算 (1) (2) 【变式1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【变式2】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型07 有理数的混合运算中错解复原问题 【典例7】（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【变式3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读以下的计算过程并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第________步开始就出现了错误，错误的原因是________； (2)把正确的解题过程写出来． 题型08 有理数的混合运算中应用问题 【典例8】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【变式3】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 题型09 含乘方的有理数混合运算 【典例9】（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 【变式1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）计算下列各题 (1) (2) 【变式2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）计算： (1)； (2) 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型10 有理数运算中的程序问题 【典例10】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【变式2】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【变式3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 题型11 算24点 【典例11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·广西贵港·期中）将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 【变式2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 题型12 有理数的混合运算中新定义型问题 【典例12】（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）对于有理数，定义两种新运算“※”与“◎”，规定： ，．例如，． (1)计算的值． (2)计算的值． 【变式2】（2025七年级上·河北唐山·专题练习）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）． 例：． （1）__________； （2）若，则__________． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，求的值． 题型13 有理数运算中的规律探究问题 【典例13】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段检测）观察下列各式的计算结果： ；； ； (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ____________________；____________________． (2)用你发现的规律计算：． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑩条算式：________； (2)计算：． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 【变式3】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察下列各式： … (1)计算：________； (2)根据规律，猜想：________； (3)根据规律，化简：． 题型14 近似数有关问题 【典例14】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【变式2】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）2025年，我国某项重大科技工程取得突破，相关投资约为125000000000元．这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2（25-26七年级上·全国·期末）用四舍五入法，按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001） 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河南周口·开学考试）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期末）一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 7．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 8．（25-26七年级上·全国·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是__________． ①    ②    ③    ④ 三、解答题 9．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 11．（25-26七年级上·福建福州·期末）某校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小明为响应号召，决定每天练习跳绳．小明以一分钟跳175个为目标，并把10次一分钟跳绳的数量记录如下表（超过175个的部分记为“”，少于175个的部分记为“”）： 与目标数量的差值（单位：个） 0 次数 3 2 2 1 2 (1)小明在这10次跳绳练习中，一分钟最多跳_____个； (2)小明在这10次跳绳练习中，最多的一次比最少的一次多几个？ (3)小明在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 12．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 1、 单选题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 二、填空题 6．（2024七年级·全国·竞赛）希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为______．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 7．（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）学校为艺术节准备了一批小礼品．如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个．这批礼品最少有_____________个． 10．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 三、解答题 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 12．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 13．（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 15．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $