3.1 平方根 同步讲义 2026--2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理平方根的定义、性质（正数有两个相反数平方根，0的平方根是0，负数无平方根）及开平方运算，延伸至算术平方根的概念与双重非负性，进而拓展非负数性质的应用，构建从概念到性质再到应用的递进式学习支架。 资料以题型分类为特色，典例结合现实情境（如婺江宽度问题）培养数学眼光，变式题强化运算能力与推理意识，过关验收含实际应用题（如高空下落时间计算）提升模型意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习查漏补缺。

第三章 3.1 平方根 内 容 导 航 题型1 平方根 题型2 算术平方根 题型3 非负数的性质：算术平方根 考 点 演 练 题型1 平方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a和a﹣8，那么这段婺江的宽度是（　　） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．0除以任何数都得0 B．若a2＝﹣a，则a＜0 C．最大的负整数和最小的正整数之和为0 D．1的平方根是1 【变式2】9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 【变式3】平方根是±的数是（　　） A． B． C． D．± 题型2 算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．﹣32＝9 B．|﹣3|＝﹣3 C．3 D．±3 【变式1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 【变式3】5的算术平方根是（　　） A．±5 B．25 C． D． 题型3 非负数的性质：算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【典例1】已知实数x、y满足，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】若，则（a+b）2023＝　 　 ． 【变式2】已知两个数m，n满足|n﹣2|＝0，则m+2n的值为 　 　 ． 【变式3】若，则xy的值为　 ． 过 关 验 收 1．若|a﹣5|+（b+4）2＝0，则a﹣b的平方根是　 　 ． 2．平方后等于的有理数是 ． 3．如果s和s+6是正数m的两个不同的平方根，那么s＝　 　 ，m＝　 　 ． 4．的平方根是 　 ． 5．求的平方根，用式子来表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知某数的一个平方根为，则这个数为　 　 ． 8．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出 _________________（用含n的代数式表示）． 9．已知为整数，且x是三位数，则有 　 　 个x满足题意． 10．观察，则 　 ． 11．据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）某物体自45m高空下落，所需时间为　 　 s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 12．如图为一台代数式选机程序，若输入的代数式是：，，，，请你将筛选的结果写在相应的横线上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 3.1 平方根 内 容 导 航 题型1 平方根 题型2 算术平方根 题型3 非负数的性质：算术平方根 考 点 演 练 题型1 平方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a和a﹣8，那么这段婺江的宽度是（　　） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【答案】B 【解答】解：根据题意得a+a﹣8＝0， 解得a＝4， ∴这个正数是42＝16， 即这段婺江的宽度是16米， 故选：B． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．0除以任何数都得0 B．若a2＝﹣a，则a＜0 C．最大的负整数和最小的正整数之和为0 D．1的平方根是1 【答案】C 【解答】解：A．0除以任何非零的数都得0，故不符合题意； B．若a2＝﹣a，则a＝0或﹣1，故不符合题意； C．最大的负整数和最小的正整数之和为0，故符合题意； D．1的平方根是±1，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 【答案】D 【解答】解：A、表示9的算术平方根，故选项错误； B、±，故选项错误； C、等式左右两边不可能相等，故选项错误； D、±±3，故选项正确． 故选：D． 【变式3】平方根是±的数是（　　） A． B． C． D．± 【答案】C 【解答】解：∵（）2， ∴平方根是±的数是， 故选：C． 题型2 算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．﹣32＝9 B．|﹣3|＝﹣3 C．3 D．±3 【答案】C 【解答】解：A：﹣32＝﹣9，故A错误； B、|﹣3|＝3，故B错误； C、3，故C正确； D、一个正数的算术平方根只有一个，故D错误． 故选：C． 【变式1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、无意义，故错误，不符合题意； B、5，故错误，不符合题意； C、9，故错误，不符合题意； D、3，故正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 【答案】C 【解答】解：1+1，1，1，1，…， ， ∴ ＝1+11 ＝24+1 ＝24． 故选：C． 【变式3】5的算术平方根是（　　） A．±5 B．25 C． D． 【答案】D 【解答】解：数5的算术平方根为． 故选：D． 题型3 非负数的性质：算术平方根 解｜题｜知｜识 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【典例1】已知实数x、y满足，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴3， 故选：C． 【变式1】若，则（a+b）2023＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵|b+3|0， ∴b+3＝0，a﹣2＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， 则（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式2】已知两个数m，n满足|n﹣2|＝0，则m+2n的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵， ∴m+1＝0，n﹣2＝0 解得m＝﹣1，n＝2， ∴m+2n＝﹣1+4＝3． 故答案为：3． 【变式3】若，则xy的值为　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：∵， ∴x+8＝0，y+2＝0， ∴x＝﹣8，y＝﹣2， ∴xy＝﹣8×（﹣2）＝16． 故答案为：16． 过 关 验 收 1．若|a﹣5|+（b+4）2＝0，则a﹣b的平方根是　±3　 ． 【答案】±3． 【解答】解：由题意可得：|a﹣5|＝0 且（b+4）2＝0， 解得a＝5，b＝﹣4， 则 a﹣b＝5﹣（﹣4）＝9， 9 的平方根为±3， 故答案为：±3． 2．平方后等于的有理数是　±　 ． 【答案】± 【解答】解：∵（±）2， ∴平方后等于的有理数是：±． 故答案为±． 3．如果s和s+6是正数m的两个不同的平方根，那么s＝　﹣3　 ，m＝　9　 ． 【答案】﹣3；9 【解答】解：由题意得：s+s+6＝0， 解得：s＝﹣3， 则m＝s2＝9， ∴s＝﹣3，m＝9． 故答案为：﹣3，9． 4．的平方根是　±　 ． 【答案】± 【解答】解：的平方根是：±． 故答案为：±． 5．求的平方根，用式子来表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据平方根的定义可知， 的平方根为±． 故选：C． 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y）， 则x2＝4，y2＝9， x＝2，y＝3， 则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（3﹣2）×2＝2， 故选：B． 7．已知某数的一个平方根为，则这个数为　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：已知某数的一个平方根为， ． 故答案为：13． 8．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出　　 （用含n的代数式表示）． 【答案】． 【解答】解：∵①， ②， ③， ④， ⑤， ⋯， ∴， 故答案为：． 9．已知为整数，且x是三位数，则有 　8　 个x满足题意． 【答案】8． 【解答】解：∵为整数，且x是三位数， ∴x是偶数，且是6的倍数， ∴x＝150，216，294，384，486，600，726，864，共有8个． 故答案为：8． 10．观察，则 　24.77　 ． 【答案】24.77． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：24.77． 11．据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）某物体自45m高空下落，所需时间为　3　 s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【答案】（1）3； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由： 当t＝4s时，4， ∴h＝80m， 这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解答】解：（1）由题意知h＝45m， ∴t3（s）， 故从45m高空抛物到落地时间为3s； 故答案为：3； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由： 当t＝4s时，4， ∴h＝80m， 这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 12．如图为一台代数式选机程序，若输入的代数式是：，，，，请你将筛选的结果写在相应的横线上． 【答案】 【解答】解：是整式，是单项式； 是分式，不是整式； ﹣2a2bc是整式，是单项式； 是整式，是多项式； 是整式，是单项式； m2n2+m3是整式，是多项式； 是二次根式，不是整式； 学科网（北京）股份有限公司 $