第5章 二元一次方程组能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第5章 二元一次方程组能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．2 D．5 4．解方程组时，下列消元方法不正确的是（   ） A．由，消去a B．由，消去b C．由，消去b D．由（2）得：（3），把（3）代入（1）中消去b 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会少4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 8．在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的托运费用（元）与行李的质量之间的关系用如图所示的图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（    ） A．12 B．48 C．58 D．72 12．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为 ． 14．直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 15．已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是 ． 16．我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则的取值范围是 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程组： (1)； (2)． 18．（10分）已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系内画出该一次函数的示意图． (3)若，直接写出的取值范围． 19．（10分）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 20．（10分）【综合与应用】 正值“”购物节，我市线下各大商场开展火热的促销活动．某中学积极组织“零点体育”活动，想借此机会购进一批足球．现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 已知甲商场和乙商场品牌足球的价格均为元/个，甲商场和乙商场品牌足球的价格均为元/个．    素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：，品牌足球均按原价的折销售．    乙商场：①购买品牌足球数量不超过个时，按原价销售；数量超过个时，超过的部分按原价的折销售． ②购买品牌足球不打折． 问题解决 任务一 学校打算购买、品牌足球共个，若设购买品牌足球个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元，分别求出和关于的函数关系式． 任务二 任务一中和的函数图象如图所示，请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 21．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 22．（12分）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 23．（12分）如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二元一次方程组能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：把方程写成用含的代数式表示的形式：． 故选：B． 2．用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用等式性质将①变形即可． 【详解】解：由①得：， 故选：C． 3．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，将代入二元一次方程中求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 4．解方程组时，下列消元方法不正确的是（   ） A．由，消去a B．由，消去b C．由，消去b D．由（2）得：（3），把（3）代入（1）中消去b 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种. 根据加减消元法计算看是否消元，D根据代入消元法计算看是否消元 【详解】A、由得，消去a B、 由得，消去b C、由得，无法消去b D、由（2）得：（3），把（3）代入（1）中得，消去b 故选：C 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会少4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会少4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱， 由题意可得，， 故选：A． 6．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查加减消元法，根据消去，则要使两个方程的含的项的系数相同或互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴要消去，则使方程②中的系数变为2，再与方程①相加即可， 即：，即可消去； 故选D． 7．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】方程组中的两个方程相加并化简，得，根据的值得关于k的一次方程，求解即可． 本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、等式的性质是解决本题的关键． 【详解】解：， ①+②，得， 化简，得 ， 故选：D 8．在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据交点坐标判断即可． 【详解】解：当：和：相交于一点时， 即：，则， 解得：， ∴直线和的交点在y轴的右侧， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据两种购买方式列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得， 故选：C． 10．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的托运费用（元）与行李的质量之间的关系用如图所示的图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象求得函数关系式，再求时的x值即可求解． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， ∵函数图象经过、, ∴ 解得, ∴y与x的函数关系式为， 令， 由， 得， 故旅客可免费携带行李的最大质量为． 故选：D． 11．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（    ） A．12 B．48 C．58 D．72 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：B． 12．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：D 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组交点关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：一次函数与图象的交点为， ， ， ， 方程组的解为， 故答案为：． 14．直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法． 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标． 【详解】解：假设的解析式为，将代入得， ， 解得， ∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ， 解得， ∴， 联立， 解得， 所以，交点的坐标为， 故答案为：． 15．已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程的解、二元一次方程组的解是解题的关键．根据加减消元法，用含m的式子表示出x和与y的值，将其代入即可求得m的值． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：， 故答案为：1． 16．我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 本题考查了待定系数法，整点，熟练掌握待定系数法，整点的意义是解题的关键． 【详解】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， 故解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①得：③， ②③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 18．（10分）已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系内画出该一次函数的示意图． (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将点和分别代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解即可得到系数和的值，进而得出一次函数表达式为； （2）直线过和两点，由于两点确定一条直线，在直角坐标系中绘制即可； （3）根据题意，结合，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：已知一次函数解析式为， 将点和代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的表达式为． （2）在直角坐标系中绘制过点和 直线如下图所示， （3）由题意可知，一次函数表达式为， ， 函数值取值范围为． 【点睛】求解本题的关键是将两点坐标代入表达式，建立二元一次方程组求出系数，其次，是利用函数值与自变量的关系式，推出函数值的范围． 19．（10分）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 【答案】(1)大于等于60克且小于等于90克 (2)甲种食材200克，乙种食材100克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，据此求出取值范围； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，为（克）， 单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，为（克）， ∴一份营养餐中蛋白质含量的范围为：大于等于60克且小于等于90克； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种食材200克，乙种食材100克． 20．（10分）【综合与应用】 正值“”购物节，我市线下各大商场开展火热的促销活动．某中学积极组织“零点体育”活动，想借此机会购进一批足球．现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 已知甲商场和乙商场品牌足球的价格均为元/个，甲商场和乙商场品牌足球的价格均为元/个．    素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：，品牌足球均按原价的折销售．    乙商场：①购买品牌足球数量不超过个时，按原价销售；数量超过个时，超过的部分按原价的折销售． ②购买品牌足球不打折． 问题解决 任务一 学校打算购买、品牌足球共个，若设购买品牌足球个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元，分别求出和关于的函数关系式． 任务二 任务一中和的函数图象如图所示，请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【答案】任务一：，；任务二：当买个时，甲乙商场一样合算，当少于个时，选甲商场，当大于个小于个时，选择乙商场． 【分析】本题考查的知识点是求一次函数解析式、一次函数的图象、一次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握一次函数的实际应用． 任务一：结合题意列出函数解析式即可得解，注意分情况讨论； 任务二：结合函数图象即可得解． 【详解】解：任务一：依题得：， 当时，， 当时，， ； 任务二：由图象可知当时，， 解得：， 当买个时，甲乙商场一样合算；当少于个时，选甲商场合算；当大于个小于个时，选择乙商场合算． 21．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或； （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 22．（12分）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 【答案】(1) (2) (3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得，代入计算即可得解； （2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可； （3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：当天平平衡时，则：， 即：， 当时，得：， 解得：； （2）解：通过题意，得：， 整理可得：， ∵、为正整数， ∴， ∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是． （3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元， 通过题意，得：， 整理可得：， ∵a和b都是正整数， ∴或， 故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元． 23．（12分）如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）由，得直线解析式为，求出，得，设，可得，解得，，可得直线解析式为， （2）存在点F，使，连接并延长交y轴于G，连接，得，得，证明，得，点G，F关于对称，由， ，得 ，由，得，解得，得，由G，F关于点B对称得； （3）设直线与直线夹角等于，即为等腰直角三角形．作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．证明．得．由，得直线l的解析式为．设点H坐标为，得I点坐标为．得．解得．得．当直线l过H点时， ．当直线l过I点时，． 【详解】（1）解：∵， ∴设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：存在点F，使． 连接并延长交y轴于G，连接， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G，F关于对称， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如下图，设直线与直线夹角等于， 即为等腰直角三角形． ∴． 作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N． 则， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵直线l过， ∴． 解得． ∴直线l的解析式为． 设点H坐标为， 则． ∴I点坐标为． ∵I点在直线上， ∴． 解得． ∴． 当直线l过H点时， ． 解得． 当直线l过I点时， ． 解得． 故或． 【点睛】查考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定行数法求一次函数解析式，一次函数的图象的性质，轴对称性质，面积法求三角形的高，勾股定理，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $