第5章 二元一次方程组基础过关测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第5章 二元一次方程组基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于 的方程的一组解是（    ） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程，用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 4．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．如果方程组的解是方程的一个解，则（ ） A． B． C． D． 7．已知x，y满足方程组，则（   ） A． B．0 C．2 D．3 8．若是二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 11．关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 12．已知方程组的解是，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 14．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于的方程组的解是 15．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 弹簧的长度 18 20 22 24 26 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是 ． 16．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程组： (1)； (2)． 18．（10分）在期末回顾与复习时，老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解该方程组．小明和小军解方程组的部分过程如下： 小明： ①-②，得． …… …… 小军： 由②，得，③ 把①代入③，得． …… (1)小明和小军解方程组的过程是否正确（在括号里画“√”或“×”）； 小明（    ）小军（    ） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 19．（10分）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 20．（10分）某地对居民家庭用电实行“阶梯电价”．电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．小张家4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时． 21．（10分）批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 22．（12分）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式； (2)求直线l、与x轴围成的三角形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二元一次方程组基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 2．关于 的方程的一组解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据使方程成立的未知数的值，叫做方程的解，把各选项逐一代入，进行检验即可得出结果． 【详解】解：A、把代入方程得，不符合题意； B、把代入方程得，符合题意； C、把代入方程得，不符合题意； D、把代入方程得，不符合题意； 故选B． 3．已知二元一次方程，用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程，把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 移项得：， 解得：． 故选：D． 4．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？设李三公家有x间客房，来了y名房客，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据一房七客多七客，一房九客一房空，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 5．已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数交点与方程组解的关系，根据两条直线的交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】解：直线和交于点， 关于，的方程组的解是， 故选：C． 6．如果方程组的解是方程的一个解，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握方程组的解的定义是解本题的关键．先解方程组，用a表示x和y，再代入方程求解a的值． 【详解】解：方程组为： 由方程②得：． 将代入方程（1）： 代入，得： 因此，方程组的解为： 将解代入方程： 解得： 故选：A． 7．已知x，y满足方程组，则（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解答本题的关键．先解二元一次方程组求出x、y的值，然后再求x+y即可． 【详解】解：， 将得：， 将得：， 解得：， 将带入得：， 解得：， ∴， 将带入得： ． 故选：C． 8．若是二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．将方程的解代入原方程得到关于a和b的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为是方程的解， 所以代入方程得：． 所以，． 故选：B 9．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意并根据题意得出方程组是解题的关键．根据题意大和尚和小和尚的人数之和为100，馒头总数也为100以此建立方程组即可． 【详解】解：大和尚x人，小和尚y人，总人数为100， 第一个方程为：， 大和尚每人分3个，共分得个； 小和尚每3人分1个，共分得个，总馒头数为100， 第二个方程为：， 可列方程组为． 故选：B． 10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的应用，根据题意列出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 11．关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确求出y的值是解题关键． 把代入，求出y的值，再将x，y的值代入中，进而求出m的值即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 把代入，得 ， 解得． 故选：A． 12．已知方程组的解是，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，将代入求出m、n的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入， ∴， 解得， 则． 故选C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于的方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为， 所以关于的方程组的解是， 故答案为：． 15．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 弹簧的长度 18 20 22 24 26 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了一次函数关系式形式，熟记一次函数的形式：，通过已知条件设出一次函数关系式，然后用待定系数法进行求解，即设法建立关于未知系数的方程或方程组进行求解．根据题意可设出与的关系式为：，再将已知的值代入求解即可． 【详解】解：设：，代入，得： ， 解得：， ∴， 当时， ， 故答案为：30． 16．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 整理得， ，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 18．（10分）在期末回顾与复习时，老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解该方程组．小明和小军解方程组的部分过程如下： 小明： ①-②，得． …… …… 小军： 由②，得，③ 把①代入③，得． …… (1)小明和小军解方程组的过程是否正确（在括号里画“√”或“×”）； 小明（    ）小军（    ） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)×，√ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握常见的几种解二元一次方程组的方法． （1）先分别按照小明和小军的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 解法一：得： 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 解法二：由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； ∴小明的过程不正确，小军的过程正确， 故答案为：×，√； （2）解：， ②-①得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 19．（10分）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握两个方程组的解相同的含义是解决本题的关键． 根据题意，可先求解的解，再将求出的x和y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， 的解为， 将代入中， 即， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， ∴． 20．（10分）某地对居民家庭用电实行“阶梯电价”．电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．小张家4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时． 【答案】“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为元/千瓦时，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为元/千瓦时， 由题意得：， 解得， 答：“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． 21．（10分）批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 【答案】(1)； (2)该公司选择方案二更省钱 【分析】本题考查了分段函数的建立以及实际问题中的方案优化选择，涉及代数表达式的构建和数值比较． （1）明确两种方案的具体规则，尤其是方案一中“赠送”对乙商品数量的影响，根据购买数量，区分甲、乙商品的实际支付部分并列出关系式； （2）通过代入具体数值，计算两种方案的总费用并比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意得：优惠方案一购买费用， 优惠方案二购买费用． （2）解：当时，优惠方案一购买费用（元）， 优惠方案二购买费用（元）， ∵， ∴该公司选择方案二更省钱． 22．（12分）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元 (2)①；②购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的建立与求解，以及一次函数的实际应用．在解题中引入恰当的未知数，判断函数增减性是关键. （1）通过题目中的购买组合信息，设立二元一次方程组，解出牡丹酥和八景糕的单价； （2）①：根据总费用=牡丹酥费用+八景糕费用，再结合两种糕点各自数量和单价，建立总费用与八景糕数量之间的函数关系式； ②：分析函数的单调性，结合变量取值范围确定最小值对应的方案． 【详解】（1）解：设购买1盒牡丹酥需要元，购买1盒八景糕需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元． （2）①， 与之间的函数关系式为． ②， 随的增大而减小． ， 当时，的值最小，此时． （盒）． 答：购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式； (2)求直线l、与x轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数表达式，求围成三角形面积．熟练掌握待定系数法求一次函数表达式是解题的关键． （1）将代入，计算求解可得，则，然后利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）分别将代入和求出对应x的值，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得， 解得 将代入得， 解得 ∴直线l、与x轴围成的三角形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $