第二章平面解析几何 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步单元卷，覆盖直线与圆核心知识，结合大摆锤等现实情境，适配单元复习，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线斜率、垂直平分线、点到直线距离|基础巩固，如斜率存在性判断| |多选|3/18|直线位置关系、圆的性质|能力辨析，如直线平行条件推理| |填空|3/15|直线截距、公共弦方程、阿氏圆|创新应用，如阿氏圆轨迹探究| |解答题|5/77|中线方程、圆的切线、外接圆|综合探究，如弦中点轨迹方程推导|

湘教版高中数学选择性必修第一册 第2章：平面解析几何初步 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 2．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 4．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 5．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 6．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 7．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 10．已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 11．在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则（   ） A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 13．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 14．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 17．（15分）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 18．（17分）已知的三个顶点分别为. (1)若点为线段AB中点，求CM所在直线的方程； (2)求外接圆的方程. 19．（17分）已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第2章：平面解析几何初步 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 3．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干中的垂直关系得出两直线斜率之积为即可求解. 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 4．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 5．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 6．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ，解得， 大摆锤的长度为 7．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，从而得点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 8．已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围. 【详解】设点，由，，得，. 由，代入得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式， 因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离. 由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得，故的取值范围为. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 【答案】BC 【分析】通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 10．已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 【答案】BD 【分析】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【详解】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确.故选：BD. 11．在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则（   ） A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，设，由，根据距离公式化简得到结果；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，到轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于C，直线恒过点，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大；对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】对于A，设，由，得，即，即点的轨迹是圆，A正确；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确；对于C，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，和间的距离为，即到距离的最大值为，C错误； 对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，D正确． 故选：ABD.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或，所以直线方程为或. 故答案为：或. 13．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 14．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径，所以，即， 解得，即故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标，所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点，则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为，由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为，即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 17．（15分）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即。综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 18．（17分）已知的三个顶点分别为. (1)若点为线段AB中点，求CM所在直线的方程； (2)求外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标，斜率，再由点斜式求出方程； （2）待定系数法求解即可. 【详解】（1）由点为线段中点，则，又因为， 直线CM斜率为．所以所在直线的方程为． （2）由、、，设圆方程为 则有．解得．所以圆方程为． 19．（17分）已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)与 【分析】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【详解】（1）由圆C：，可得圆心，半径，      所以圆心到直线的距离，所以. （2）① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线；      ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即，      因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 学科网（北京）股份有限公司 $