第2章 平面解析几何初步 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步单元卷，全面覆盖直线与圆核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，渗透数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）、语言（模型观念）素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、圆方程等|基础概念辨析，如倾斜角计算、两直线垂直关系| |多选|3/18|阿氏圆、对称圆等|创新情境应用，如阿氏圆轨迹判断（体现数学眼光）| |填空|3/15|平行直线参数、切线长等|运算能力考查，如直线平行求参数| |解答|5/77|圆方程求解、存在性问题等|综合应用，如圆过三点求方程及存在性探究（体现推理能力与模型观念）|

湘教版高中数学选择性必修第一册 第2章：平面解析几何初步 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 4．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 10．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．点，则的取值范围是 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在上存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线：与直线：平行，则实数________. 13．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 14．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 18．（17分）如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 19．（17分）设，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第2章：平面解析几何初步 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线，因此，所以. 3．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直，得 ，解得. 5．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是点到的距离的平方， 又点到的距离，所以的最小值为． 7．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 8．直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 10．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．点，则的取值范围是 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在上存在点，使得 【答案】ABC 【分析】直接法求得点的轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得到直线的斜率；根据三角形内角平分线的性质可得射线是角的平分线，求出点的轨迹方程，和的方程联立即可判断. 【详解】对于A，设点，则，化简整理得， 即，故A正确； 对于B，点，设，则，它表示过点的直线， 的几何意义是轨迹上的点与点连线的斜率， 轨迹是圆心为，半径的圆，当直线与圆相切时，则， 解得，则的取值范围是，B正确； 对于C选项，，， 要证PO为角平分线，只需证明，即证 ，化简整理即证， 设，则，，则证 ，故C正确； 对于D选项，设，由可得， 整理得，而点在圆上，故满足， 联立解得，无实数解，于是D错误.故答案为：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且，解得，即实数. 13．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则．故答案为： 14．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A，则切线长. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为，即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得， 即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有， 解得，即. ∴圆的标准方程为. 18．（17分）如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 19．（17分）设，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用圆的几何性质，求出圆心和半径，即可求解； （2）设，根据条件得，从而将问题转化成两圆相交，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】（1）易知圆心为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 因为，则，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又易知线段的垂直平分线的方程为， 由，解得，所以圆心为， 又，即圆半径为，所以圆的方程为. （2）设，因为，， 所以， 化简得，若，则， 此时，又，即不在圆上，不合题意，所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交， 又， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $