精品解析：海南海口市2027届高三上学期摸底考试数学试题

海口市2027届高三年级摸底考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 集合， 所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数与指数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 3. 已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 4. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 5. 的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式赋值计算即得. 【详解】因二项式的展开式的通项为， 取，即得含的项的系数为 . 6. 函数向右平移个单位长度得到函数，则函数的零点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将函数向右平移个单位长度， 可得，令，解得， 对于A，当时，可得，故A正确， 对于B，C，D，而，，，故B，C，D错误. 7. 在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为. 【详解】由题意可知， 又，平面， 所以平面，为二面角的平面角， 所以，又因为，所以为等边三角形， 如图，取的中点，则，则平面， 外接圆圆心为，连接，易证平面， 外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面， 连接，则平面， 则四边形为矩形. 在等边中，，则，， 则， 在中，， 所以四面体的外接球的半径， 所以外接球表面积为. 8. 将按照某种顺序排成一列得到数列，在数列中，对任意，若，则称数对构成数列的一个逆序对，所有逆序对的总个数称为数列的逆序数，例如：数列的逆序数为．当时，逆序数为的数列的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆序数的定义，分别列举逆序数为2的所有可能情况即可 【详解】满足条件逆序数为2的数列为： 1，3，4，2； 1，4，2，3； 2，1，4，3； 2，3，1，4； 3，1，2，4， 所以逆序数为2的数列有5个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出实函数定义域即可判断；对于B，由幂函数的性质判断即可；对于C，先确定定义域，再利用定义法判断奇偶性即可；对于D，易知时，即可判断． 【详解】对于A，函数，则，解得， 故函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，单调递增， 故函数是增函数，B正确； 对于C，函数定义域为，且， 故函数是偶函数，C正确； 对于D，当时，， 当时，，故函数没有最小值，D错误． 10. 为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.026 B. 估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C. 估计该校高一学生成绩的众数为75 D. 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用频率分布直方图的性质求参数即可；对于B，根据百分位数的求解方式求解；对于C，由众数的概念求解；对于D，根据平均值的公式求解． 【详解】，解得，故A正确； 的频率分别为， 则高一学生成绩的下四分位数落在，设为， ，解得，故B错误； 估计该校高一学生成绩的众数为，故C正确； 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为，故D正确． 11. 已知抛物线：上两个动点，的纵坐标满足，作动圆经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 圆的面积不存在最大值 C. 若直线过点，圆以为直径，则圆心到抛物线的准线的距离大于该圆半径 D. 若圆与抛物线有四个不同公共点，，，，则点，的纵坐标之和为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线方程可判断A；根据题意得到为定值可判断B；根据圆心到准线的距离可判断C；联立圆方程和抛物线方程可判断D, 【详解】对于A，已知抛物线：，由抛物线方程可知焦点坐标为，故A正确； 对于B，因为，所以是定斜率的动弦，长度可以无限增大， 因此过的圆的直径可以无限大，面积不存在最大值，故B正确； 对于C，如图所示，因为圆心到准线的距离等于，所以圆心到准线的距离等于半径，故C错误； 对于D，如图所示，设圆的方程为，与联立得：， 因为圆与抛物线有四个不同公共点，所以， 因为两方程中的系数相等， 所以，由可得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】复数， 所以． 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 因为，所以. 14. 已知函数，，对均有，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数分析出两个函数的单调性，结合题目得出与在上的零点一定唯一存在且重合，设为，列出方程组求解即可． 【详解】对于，因为有意义，所以， ，， 所以在上为增函数，且时，；时，， 在上为减函数，且时，；时，， 由题可知，满足对均有， 则与在上的零点一定唯一存在且重合，设为， 可得：消去，可得， 故，即，所以． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由题意可得： 所以数列的前n项和为. 16. 在中，，，分别为内角，，的对边，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理边角互化即可求解； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理知：，即， 因为，，所以，即， 因为，所以，可得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以由正弦定理可得，， 所以，， 由于，所以， 所以. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：法一：取的中点N，连接MN， 因为M，N分别为，的中点，所以MN为的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示空间直角坐标系．则，，所以， 易知平面的一个法向量为，所以， 所以，又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用线面平行的判定定理证明即可；法二，利用空间向量，证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为0，即可证明线面平行；（2）法一：利用空间向量直接求解线面所成角的余弦的绝对值，即可求出线面所成角的正弦值；法二：利用等积法，即根据建立等量关系，先求出点到面的距离为d，进而求出线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：以点A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，， 所以，，， 设面的一个法向量为，则，可取， 设直线与面所成角为，则， 所以直线与面所成角的正弦值为． 法二：设点到面的距离为d，由（1）得， 因为，，，， 所以，所以， 所以，， 因为，所以，即，所以， 设直线与面所成角为，则，所以直线与面所成角的正弦值为． 18. 甲和乙两个箱子各装有大小相同的若干小球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有个红球和2个白球，若从乙箱中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为． （1）若从乙箱中随机摸出2个小球，求恰有1个红球和1个白球的概率； （2）现从两个箱子中随机选一个箱子（每个箱子被选到的可能性相等），再从选中的箱子中不放回地随机摸出2个小球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这2个小球的得分之和，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： X 2 3 4 P ． 【解析】 【分析】（1）先利用概率求得乙箱中球数，再利用组合数计算取球的种数，即可求概率. （2）利用条件得到各种取球的概率，再利用全概率公式计算出得分的对应的概率，即可求的分布列及数学期望． 【小问1详解】 从乙箱中任取一球，取出的是红球的概率为，得，所以. 从乙箱中任取2个球，设取到1个红球和1个白球为事件， 则. 所以取到1个红球和1个白球的概率为． 【小问2详解】 设事件表示“取到甲箱”，表示“取到乙箱”，事件表示“取出的两球都是红球”，事件表示“取出的是1个红球和1个白球”，事件表示“取出的两球都是白球”. 故，，，， ，，，. 由题知的可能取值为2，3，4， 则； ； . 所以的分布列为： X 2 3 4 P ． 19. 已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． （1）求椭圆的方程； （2）当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）由（1）得椭圆的方程为， 令得，即，. 设点，则，所以. 设，， 则，所以. 直线：，联立 消得. 设，，则， 所以，. 所以. 同理，，将代入得. 所以，所以得证． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的短轴长和离心率可求得椭圆的方程，再利用等比缩放椭圆的定义即可求椭圆的方程. （2）由点在椭圆上可得直线与的斜率关系，再设直线方程，联立椭圆的方程可计算点的坐标，即可得，同理可得，从而可计算的值. 【小问1详解】 由题知 解得，所以C的方程为. 所以椭圆的方程为，即． 【小问2详解】 略 20. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极大值点，在区间上存在唯一的零点； （3）对于（2）中的和，试比较与的大小，并说明理由．（参考数据：）． 【答案】（1） （2）证明：由得， 设，，则 ， 取，，因为时递增， 当时递减且，考虑在上递减，其零点为， 则由复合函数的单调性可知：在上递减，在上递增. 又∵，，，∴必存在使得，此时. 考虑，则与同号. 列表： x t + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，，，， 所以必存在唯一的使得，且当时，， 当时，， 列表 x + 0 - 递增 极大值 递减 所以在上存在唯一的极大值点， 因为，，，，所以必存在唯一的使得， 综上所述在上存在唯一的极大值点，在上存在唯一的零点； （3）判断 证明：由（2）可知在上递减，且，，其中， 因为，， 所以，，，所以要证明，等价于证明， 因为，所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，再利用点斜式方程求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可证明；（3）要证明，等价于证明即可，利用函数单调性结合放缩即可得出证明. 【小问1详解】 由得，， 取得，即切线的斜率， 取得，即切点坐标为， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市2027届高三年级摸底考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 函数向右平移个单位长度得到函数，则函数的零点可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 将按照某种顺序排成一列得到数列，在数列中，对任意，若，则称数对构成数列的一个逆序对，所有逆序对的总个数称为数列的逆序数，例如：数列的逆序数为．当时，逆序数为的数列的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数的最小值为 10. 为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.026 B. 估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C. 估计该校高一学生成绩的众数为75 D. 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 11. 已知抛物线：上两个动点，的纵坐标满足，作动圆经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 圆的面积不存在最大值 C. 若直线过点，圆以为直径，则圆心到抛物线的准线的距离大于该圆半径 D. 若圆与抛物线有四个不同公共点，，，，则点，的纵坐标之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则__________． 13. 已知，，则__________． 14. 已知函数，，对均有，则__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 在中，，，分别为内角，，的对边，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 甲和乙两个箱子各装有大小相同的若干小球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有个红球和2个白球，若从乙箱中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为． （1）若从乙箱中随机摸出2个小球，求恰有1个红球和1个白球的概率； （2）现从两个箱子中随机选一个箱子（每个箱子被选到的可能性相等），再从选中的箱子中不放回地随机摸出2个小球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这2个小球的得分之和，求的分布列及数学期望． 19. 已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． （1）求椭圆的方程； （2）当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 20. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极大值点，在区间上存在唯一的零点； （3）对于（2）中的和，试比较与的大小，并说明理由．（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $