精品解析：海南琼海市嘉积中学2026-2027学年第一学期高三年级随堂练习（一）数学试题

琼海市嘉积中学2026—2027学年度年第一学期高三年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 全集，且，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先解绝对值不等式、一元二次不等式，再求集合A、B的交集. 【详解】由，得或， ∴. 由，得，即， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的运算，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法和复数的分类即可得到方程，解出即可. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故选：B. 3. 下列函数中既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用单调性、奇偶性的定义，复合函数的单调性求解. 【详解】在上周期性增减，，定义域是，函数是偶函数，选项A错误； 在内单调递减，与不相等，函数不是偶函数，选项B错误； 令在上是增函数，是减函数， 所以在上是减函数，，定义域为，函数是偶函数，选项C错误； 对称轴是轴，函数是偶函数，在上单调递增，选项D正确. 4. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 5. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，，代入求解即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故选：A. 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若，，，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和 D. 在一组样本数据，，…，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 【答案】ABC 【解析】 【详解】，则，故A正确； ， 故B正确； 模型 取对数得 ，令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故C正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与函数的周期性，确定函数在某一区间的单调性及其对称关系. 【详解】因为，所以，即为奇函数， 所以函数的图象关于点中心对称，且， 因为为偶函数，所以，函数的图象关于直线轴对称， 即，即， 所以函数的一个周期为，所以正确； 因为，令，得，当时，，所以，即， 所以，所以，所以正确； 因为，函数的一个周期为，所以， 所以函数是上的偶函数， 当时，，是增函数，在上是减函数，所以上是减函数，所以错误； 因为，则， 又，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 13. 已知且，则的展开式中的系数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，再结合二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】由且，则，即， 则对于，有， 有， 故的展开式中的系数的值为. 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以， ， 所以. 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值； （2）设，，是上一点，且是的角平分线，求和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角关系、和角正弦公式及三角形内角性质可得，即可得的值； （2）由（1），应用余弦定理求，再由正弦定理求. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又，， 所以，可得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，则， 而，，所以； 因为是的角平分线，所以， 由正弦定理得：，，， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，则且， 因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 分别取的中点，连接，则，因为平面平面，所以，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，直线为轴建立坐标系，设，则，所以， 设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以， 设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以， 设平面与平面的夹角为，则，又，所以，即平面与平面的夹角为. 17. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【小问2详解】 ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 19. 已知点是抛物线 上一点，且点N到点的距离是其到抛物线准线距离的倍. （1）求抛物线的方程； （2）若点在第二象限，过点 作斜率分别为 的直线 ，分别与抛物线交于点和，线段的中点分别为，若点到直线 的距离为. (i)求的最大值； (ii)若是坐标原点，当取最大值时，求四边形的面积. 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得关于的方程组，求出其解后可得抛物线方程； （2）(i)联立直线方程和抛物线方程后可得，结合题设条件可得直线过定点，从而可求的最大值； (ii)根据取最大值时确定、的坐标，从而可求四边形面积. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 点在抛物线上，代入得， 根据抛物线定义，点到准线的距离为， 由题意，平方得：， 代入，化简得，解得， 因此抛物线方程为； 【小问2详解】 已知在第二象限，得， 设直线，联立得， 由中点坐标公式得中点，同理得， 故，所以直线：， 而，故， 故直线：即， 故恒过定点； (i)是到过定点的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 故， 当时，，故，而， 故，故存在相应的线段，使得即. (ii) 当最大时，，故此时， 而， 故，， 直线即，同理， 故点到直线的距离为， 同理到直线的距离为， 故四边形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2026—2027学年度年第一学期高三年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 全集，且，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列函数中既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 5. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若，，，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则，的值分别是和 D. 在一组样本数据，，…，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 已知且，则的展开式中的系数的值为______． 14. 已知数列的前n项和，则__________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值； （2）设，，是上一点，且是的角平分线，求和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 17. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 19. 已知点是抛物线 上一点，且点N到点的距离是其到抛物线准线距离的倍. （1）求抛物线的方程； （2）若点在第二象限，过点 作斜率分别为 的直线 ，分别与抛物线交于点和，线段的中点分别为，若点到直线 的距离为. (i)求的最大值； (ii)若是坐标原点，当取最大值时，求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $