江西省九江市永修县第三中学等校2026-2027学年度九年级上学期阶段（一）质量检测数学试卷

**基本信息** 本卷以九年级上册阶段知识评估为核心，通过地铁标志识别、跳绳促销方案等现实情境，设计从基础运算到几何探究的分层问题，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|轴对称与中心对称、分式意义、不等式变形|第1题结合地铁标志考图形性质，体现数学眼光| |填空题|6/18|因式分解、菱形面积、等腰三角形分类|第12题矩形边上等腰三角形分类，考查空间观念| |解答题|11/84|四边形证明、函数应用、探究推理|23题三问递进（正方形到四边形），培养创新意识与推理能力|

2026-2027学年度上学期阶段（一）质量评估试卷 九年级 数学 命题人：王莹 审题人：王剑 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分。 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列地铁标志中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列不等式的变形不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是（    ） （第5题） （第6题） A．112.5度 C．115度 B．120度 D．135度 6．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作平行四边形，连接，分别交于点，．下列四个结论： ①；②S□BECF = 2S矩形ABCD；③；④若点是的中点，则□BECF为菱形． 以上结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．请你写出一个满足不等式的正整数x的值：______． 8．因式分解：________ 9．如图，在菱形中，，，则菱形面积为______． 10.已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________ 11．如图，将Rt△ABC沿方向平移后，得到Rt△DEF．若，则阴影部分的面积为_____． （第9题） （第11题） 12.在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点P是矩形边上一点，若△PAB是等腰三角形，则AP的长为_______ 三解答题、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算 (1) (2)． 14．先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数求值 15．如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若△ABC和△DEF关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形△A’B’C’． (3)在（2）的条件下，若为△ABC边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 16．已知：如图，是□ABCD的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形． 17.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△EBC≌△EDC． （2）延长BE交AD于F，当CE=BC时，求∠EFD的度数． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 19．九年级准备大课间跳绳训练，计划在某文体书店购买A、B两种跳绳，已知A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元，且B种跳绳比A种跳绳多购买20条．现该文体书店对A、B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：购买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳； 方案二：购买A种和B种跳绳都打八折． 设该校选择方案一购买跳绳所花费用为（元），选择方案二购买跳绳所花费用为（元），购买A种跳绳的条数为（条）． (1)请分别求出、与x之间的函数关系式； (2)哪种方案更划算． 20．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB于点E，交边DC于点F，连接AF、CE． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）连接OB，若AD=8，CF=10，求线段OB的长． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． (1)求，，的值； (2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围　　； (3)求△ABD的面积． 22．长方形中，点E是中点，△ABE沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F．    (1)如果点G在长方形的内部，如图①所示． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求的长度． (2)如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值． 六、（本大题共12分） 23．探究下列问题： (1)如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； (2)如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：； (3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在四边形中，AD∥BC，，，是线段上一点，且，，，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度上学期阶段（一)质量评估答题卷 九年级 数学 学校 班级 贴条形码区 姓名 考号 注1答题前考生务必首先认真核准条形码上的姓名、考号，然后使用0,5毫米墨水签字笔将考生学校、班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂。修改时，要使用橡皮擦干净。正确填涂样例：■ 意 3.答第Ⅱ卷时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔书写清楚。要求字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指的答题区域作答，超出答题区域 事 书写的答案无效：在试卷、草稿纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整。严禁在答题卡上作任何标记严禁使用涂改液、胶带和修正液。 项 5.未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负 7. 8 9. 10. 11. 12. 3 x-2<0 =2- 13. (1) 2x-1 1-2x (2) 2(2x-1)≤1+5x 14. 15. (1)点P的坐标为 4 3 (3)点N的坐标为 B 5432-9F245 3 4 16. 17. A F E B 18 A E F B 19. (1) (2) 20 D F C 0 A E 夕 /y=kx+b 21 y=x+1 D 0 22. A E D E D B B G 图① 图② 23.(12分) A D G E (1) B 图1 图2 图3 (2) (3) 数学答题卷2026-2027学年度上学期阶段（一 九年级 数学 1.D2.B3.D4.B5.A6.C 7.1(答案不唯一) 8.b(b-5) 9.35 10.m>-1且m≠3 2V17 11.51 12.2,或2 或 1 13.【答案】(1)x=-3 (2)-3≤x<2 1+2）m2-4 14.m-2m, m-2+2）(m+2)(m-2) 原式=（m-2 m =m.（m+2)(m-2) m-2 名 =m+2, ,m≠0且m-2≠0. .m≠0且m≠2， .m从0,1,2中选一个恰当的数：m=1, 当m=1时，m+2=1+2=3, .当m=1时，代数式的值为3： 15.,(2,0) (2) 如图，△AB'C即为所求， 质量评估答案 -5-4 3-2-10 345x 2 (3)N(-a.-b) 16.证明：如图，连接BD,与AC交于点G, 因为ABCD, 所以AG=GC,BG=DG 因为AE=CF 所以AG+AE=GC+CF, 所以GE=GF, 所以四边形EBFD是平行四边形 17.证明：（1)，四边形ABCD是正方形 ∴.AD∥BC,BC-CD,∠BCE=∠DCE=45° .BC-CD,∠BCE=∠DCE=45°，EC=EC ∴.△EBC≌△EDC (2),CE=BC,且∠ACB=45 .∠EBC=∠BEC=67.5° ,AD∥BC .∠AFB=∠FBC=67.5° .∠EFD+∠AFB=180° .∠EFD=112.5° 18.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ,AB=AD=BC=DC,∠B=∠D=90°」 在Rt△CDE和Rt△CBF中， CE=CF DC=BC, RtACDE≌RtaCBF(HL) .'DE=BF, :AD-DE AB-BF, 即AE=AF: (2)解：：四边形ABCD是正方形，边长为2， .∠A=∠B=90°，AB=BC=2, ：CF=5 :BF=JCF-BC(5)-21, ,AF=AB-BF=2-1=1, 又由(1)知，AE=AF, :EF=√AE2+AF=P+=5 19.(0=10r+10产为正整数)，为=12x+80 x为正整数) (2)当xx>10且x为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用： 当x=10且x为正整数时，选择方案一，方案二所花费用一样。 当x<10且x为正整数时，选择方案二所花费用小于选择方案一所花费用. 20.21、（1)证明：在矩形ABCD中，点0为对角线AC的中点， ∴.AB∥CD,0A=0C, ∴.∠0AE=∠0CF, EF⊥AC交边AB于点E,交边DC于点F, ∴.EF是对角线AC的垂直平分线， ∴.EA=EC,FA=FC,∠AOE=∠C0F=90°， 在△A0E和△C0F中， LAOE=LC0F=90° 0A=OC LOAE=LOCF ∴.△AOE≌△COF(ASA), ..EA=FC, ∴.EA=EC=FA=FC, .四边形AECF是菱形； (2)如图所示： B ,CF=10, .AF=CF=10, 在矩形ABCD中，AD=8,AB=CD,OB=BD,∠ADF= 在△ADF中，∠ADF=90°， 由勾股定理得：DF=VAF2-ADV102-8 ∴.CD=DF+CF=6+10=16, ∴.AB=CD=16, 在△ABD中，∠DAB=90°， ∠DAB=90°， 由勾股定理得：BD-VAD2+ABV82+1G8V5 45 ∴.0B=BD= 211)n=2,k=3,b=-1 (2)x≤1 (3)1 22.(I)证明：连接EF, E 1111111 B :点E是AD中点， .AE =ED, 四边形ABCD为长方形， ∴∠BAE=∠D=90°， ∵翻折， ∴.∠BGE=LBAE=90°，AE=EG, ∴.DE=GE=AE,∠EGF=90°， 在Rt△DEF和Rt△GEF, 「EG=DE EF =EF, :.RtADEF≌RtAGEF, :.GF=DF: (Ⅱ)6 【分析】(1)(I)如图所示，连接EF,根据矩形的性质和已知条件，证明 RtaDEFS≌RtAGEF ,即可得证：(T)设CD=3x CF,BF ,则可用含“的代数式表示出 在Rt△BCF中利用勾股定理求出x的值，即可. (2)同(1)法证明GF=DF,设AB=CD=a,DF=FG=b,用含a,b的代数式表示出 CF,BF b k,a 勾股定理得到与的关系，再代入计算，即可. 【详解】(1)解：(I)略. ):DFCD设C0=3 .DF =2x, ∴.CF=CD-DF=x, 四边形ABCD为长方形 :.AB=CD=3x,BC=AD=4,∠C=90°， 翻折， :BG=AB=3x, 由(I)知：GF=DF=2x, ∴.BF=BG+GF=5x, 在R1△BCF中，BF=BC2+CF2,即：(5)=4+r .:x=V6 3 (负值己舍去)： AB=3x=6 (2)连接EF, E D C G 同(I)法可得：RtADEF≌RtAGEF .GF=DF, 设AB=CD=a,GF=DF=b. :'AD=BC=ka,BG=AB=a, :.BF=BG+GF=a+b,CF=DF-CD= 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2, :a'+b-a=(a+b} :b= .DF-b-4Ka, 4 a1k2（k>2). DF-4 CD a 4 (1)证明：正方形ABCD, ∴.CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°. .∠CDF=90° 在△BCE和△DCF中， CB=CD ∠ABC=∠CDF BE=DF △BCE≌ADCF(SAS) ∴.CE=CF; (2)证明：如图，延长AD,并在延长线上取一点F, G D E 图2 由(1)得△BCE≌△DCF ∴.∠BCE=∠DCF,CE=CF, 正方形ABCD .∠BCD=90°， .∠GCE=459 ∴.∠BCE+∠DCG=∠DCF+∠DCG=∠GCF=45°」 在△CEG和△CFG中， CE=CF LGCE=∠GCF CG=CG △CEG≌ACFG(SAS) ∴GE=GF=DF+GD, .DF=BE, ∴GE=BE+GD: (3)10 使得DF=BE,