精品解析：江西省九江市永修县第三中学2025-2026学年上学期第三阶段质量检测九年级数学试卷

2025－2026学年度上学期阶段（三）质量评估试卷 九年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得α的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体的左视图是， 故选：． 3. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 4. 关于反比例函数下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 当时， 函数值 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数的性质：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限．本题中 ，故图象在第一、三象限．根据反比例函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第一、三象限，故A正确； ∵当 时，在每个象限内随的增大而减小，故B错误； ∵当时，，故点不在图象上，故C错误； ∵当时，，故D错误． 故选：A． 5. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：连接，由矩形性质可知，， ∵、是与的中点， ∴是的中位线， ∴（cm）， 同理，， ∴四边形的周长为20cm. 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 6. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，再将整体代入计算即可． 【详解】解：由题意知：． 故答案为：． 8. 如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由概率公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：甲从乙手中随机抽取一张共有4种等可能的结果，其中恰好与手中牌组成一对的有2种结果， 甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键． 9. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键；设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得： ， 解得：（舍去）； ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是； 故答案为． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 11. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 【答案】540 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱是解题的关键．由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱，然后根据侧面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，原几何体为三棱柱， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：540． 12. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与相似，写出所有满足条件的点C的坐标______． 【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【解析】 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4， ∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则， 即， 解得OC＝1， ∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 故答案为：(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，平方，绝对值，三角函数，然后再进行计算即可解答； （2）根据配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即，． 14. 在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，画出的角平分线（为格点） 【答案】（1） 如图1，即为所求， ， （2） 如图2，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． （1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； 【小问1详解】 解：理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； 【小问2详解】 解：理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； 15. 为纪念历史，缅怀先烈，某校社团将电影《长津湖》中的四位历史英雄人物头像制成编号为、、、的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张． （1）小强从中随机抽取一张卡片是“梅生”的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：一共有四张卡片，则抽出一张的所有可能数是4，抽到“梅生”的可能数是1， 所以抽到“梅生”的概率是， 故答案为∶； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物（记为事件）有4种，即，，，． ． 16. 如图，点为矩形内一点，连接，，，，且．求证：． 【答案】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．利用矩形的性质得到边和角的关系，结合已知，通过证明三角形全等得出． 【详解】略 17. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解得； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 四．解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 19. 如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）当秒时，求影子的长？ 【答案】（1）路灯的高度为9.6米 （2）的长是米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【小问1详解】 解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； 【小问2详解】 解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 20. 如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． （1）当长度是多少时，养鸡场的面积为； （2）李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 【答案】（1）当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； （2）不能达到900平米． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，解之可得； （2）设边所用栅栏的长度为米，则长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，判断该方程有无实数根即可判断． 【小问1详解】 解：设长度为米， 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意， 答：当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； 【小问2详解】 解：设边所用栅栏的长度为米，则长度为米， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无解， 所以不能达到900平方米． 五．解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点， 在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 如图，过作，垂足为点， ，， ， ， ， 在中，， ． 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为． ， 没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值． （2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为， （2）①②存在，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论； （2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论； ②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标． 【小问1详解】 解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； ②存在，理由如下； 设点， 则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 即， 解得或． 故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形， 此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 六．解答题（本大题共12分） 23. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点C，点E，点B，点F在为直径的圆上， ∴点，点E，点B，点F四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当E在线段上时，由（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当或时，点M不存在，所以， ∴， 当E在延长线上时，设，则 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（不合题意，舍去），， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期阶段（三）质量评估试卷 九年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 已知为锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 当时， 函数值 5. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，那么的值为______． 8. 如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是______． 9. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为______． 11. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 12. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与相似，写出所有满足条件的点C的坐标______． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：； 14. 在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，画出的角平分线（为格点） 15. 为纪念历史，缅怀先烈，某校社团将电影《长津湖》中的四位历史英雄人物头像制成编号为、、、的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张． （1）小强从中随机抽取一张卡片是“梅生”的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率． 16. 如图，点为矩形内一点，连接，，，，且．求证：． 17. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 四．解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）当秒时，求影子的长？ 20. 如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． （1）当长度是多少时，养鸡场的面积为； （2）李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 五．解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值． （2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 六．解答题（本大题共12分） 23. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $