精品解析：江西九江市湖口县黄冈实验学校2025-2026学年上学期第二次质量检测九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期第二次质量检测 九年级 数学卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 2. 一块三棱柱积木如下图所示，则其俯视图的大致形状是（　　） A. B. C. D. 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 5. 如图，矩形中，于点E，，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 8. 在反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是_______． 9. 若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为_____． 10. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 11. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 _____． 12. 已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解一元二次方程： （1） （2） 14. 小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明的身高为1.60 m，小明和小丽之间的距离为2 m，而小丽的影子长为1.75 m，求小丽的身高． 15. 宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？ 16. 如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要画图痕迹． （1）在图1中求作边的中点； （2）在图2中的边上求作点，使． 17. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上点F． （1）若，，求的长． （2）若，求证：． 19. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”倡议，曲靖市某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有______． （2）补全条形统计图； （3）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有2名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率． 20. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式． （2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． （1）直接写出一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求的面积． 22. 如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF． （1）求证：EB＝ED； （2）若∠DEF＝∠ABC＝120°； ①求证：ED＝EF； ②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次质量检测 九年级 数学卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次幂为2次的整式方程即可求解． 【详解】解：选项A：x+2y＝1为二元一次方程，故选项A错误； 选项B：x2﹣2＝0为一元二次方程，符合题意； 选项C：未知数的最高次幂为3次，故选项不是一元二次方程，选项C错误； 选项D：3x+＝1不是整式方程，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 一块三棱柱积木如下图所示，则其俯视图的大致形状是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从物体上方观察几何体得到几何图形的形状即为所求. 【详解】解：从上面看，俯视图是有两个矩形组成的几何图形， 故选择C. 【点睛】本题考查几何体的三视图，掌握观察的方法和三视图的定义是解决问题的关键. 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选D． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右 ∴黄球的个数为 ∴布袋中白球可能有 故选：D 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5. 如图，在矩形中，于点E，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．由矩形的性质，得到，，进而得到，，再利用三角形内角和定理，求得，然后由等边对等角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了分式化简求值，先化简得到，再整体代入求值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 在反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是_______． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和图象可以得到，即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 9. 若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为_____． 【答案】1：3 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算 【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9 ∴△ABC与△DEF的相似比为1：3 故答案为：1：3 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 10. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 11. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再利用完全平方公式得到x12﹣4x1x2+x22=（x1+x2）2-6x1x2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=-1， 所以，x12﹣4x1x2+x22 =（x1+x2）2-6x1x2 = =9+6 =15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 12. 已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，推出为等边三角形，证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第三种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 【详解】解：①如图1，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N， 由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ， ∴在中， ， ； ②如图2，当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M， 由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ∴在中，， ； ③如图3，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，然后配方法求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程解即可． 小问1详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ，即， ∴，， ∴，． 14. 小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明的身高为1.60 m，小明和小丽之间的距离为2 m，而小丽的影子长为1.75 m，求小丽的身高． 【答案】（1）图形见解析；（2）1.4 m. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可． 试题解析：(1)如图，线段CA即为此时小丽在阳光下的影子． (2)∵小明的身高为1.60 m，小明和小丽之间的距离为2 m，而小丽的影子长为1.75 m，设小丽的身高为x m， ∴， 解得x＝1.4. 答：小丽的身高为1.4 m. 15. 宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？ 【答案】长比宽多12步． 【解析】 【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形的长为步，则宽为步， 根据题意，得 ． 解得　，（舍去） 当时， ， ． 答：长比宽多12步． 【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键． 16. 如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中求作边的中点； （2）在图2中的边上求作点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定： （1）连接，过的交点与点E作直线，交于点F，即可； （2）方法一：连接，并延长交于点P，连接交于点H，即可；方法二：连接，交于点Q，连接，并延长交于点H，即可； 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点H即为所求． 17. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD． 【详解】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F． （1）若，，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出，再由折叠的性质，得到，，，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可求出的长； （2）由矩形的性质，得出，由折叠的性质，得到，由等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可证明结论． 【小问1详解】 解：矩形， ，，， 中，， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 证明：矩形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键． 19. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，曲靖市某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有______． （2）补全条形统计图； （3）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有2名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50人 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可； （2）求出D的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可知，总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生总人数共有：人， 故答案为：50人； 【小问2详解】 根据（1）的结论，得D类学生数量为：人 条形统计图补全如下： 【小问3详解】 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有8种 ∴P（抽取的两位学生恰好是一男一女）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式． （2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）7元 【解析】 【分析】（1）观察函数图象，根据各点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式； （2）利用销售这种榴莲获得的总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，结合为了让顾客得到更大的实惠，即可确定x的值，再将其代入y=5x+50中即可求出销售这种榴莲的数量． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 将（2，60），（4，70）代入y=kx+b得： ，解得， ∴y关于x函数解析式为y=5x+50（0＜x＜10）； 【小问2详解】 解：依题意，得（40-x-20）（5x+50）=1105， 整理得，解得，． 又∵要让顾客得到更大的实惠， ∴， 答：这种榴莲每千克应降价7元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． （1）直接写出一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，再将、代入，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象法，即可得到答案； （3）先求出点的坐标，得到，再根据，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：在反比例函数， ， ， 将、代入，得： ，解得：， 一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数交点、 由图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； 【小问3详解】 解：一次函数的图象分别与y轴交于点B， 令，则； ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 22. 如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF． （1）求证：EB＝ED； （2）若∠DEF＝∠ABC＝120°； ①求证：ED＝EF； ②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）①证明过程见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】(1)由“SAS”可证△ECB≌△ECD，可得BE=DE； (2)①由全等三角形的性质可得DE=BE，∠CDE=∠CBE，由四边形内角和可得∠EFB=∠EBC，可证BE=EF=DE； ②延长CD至M，使DM=CF，过点E作EN⊥CD，连接EM，由“SAS”可证△EDM≌△EFC，可得∠M=∠ECF，由直角三角形的性质可得CM=CE即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD，∠ECB=∠ECD， 在△ECB和△ECD中，， ∴△ECB≌△ECD（SAS）， ∴EB=ED； 【小问2详解】 证明：①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴∠ACD=60°， ∵(∠DCB+∠DEF)+(∠CDE+∠EFC)=360°，且已知∠DEF＝120° ∴∠CDE+∠CFE=180°， ∵∠CFE+∠EFB=180°， ∴∠EFB=∠CDE， ∵由(1)可知：△ECB≌△ECD， ∴∠CDE=∠CBE， ∴∠EFB=∠CBE， ∴BE=EF， 又由(1)知：BE=ED， ∴EF=ED； ②CF+CD与CE的关系为，理由如下： 延长CD至M，使DM=CF，过点E作EN⊥CD，连接EM，如下图所示： ∵∠MDE+∠EDC=180°，∠EDC+∠EFC=180°， ∴∠EFC=∠MDE， 在△EDM和△EFC中，， ∴△EDM≌△EFC(SAS)， ∴∠M=∠ECF， ∵∠BCD=180°-∠ABC=60°， ∴∠M=∠ECF=∠ACD=∠BCD=30°， ∴在Rt△CNE中，CN=EC， ∴CM=2CN=EC， ∵CF+CD=DM+CD=CM=EC， ∴CF+CD=EC． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $