临潭县第一中学2026-2027学年高三上学期9月份数学学业学情调研练习卷

**基本信息** 以高考为导向，融合《功夫女足》台词、中国象棋等文化与现实情境，通过梯度设计全面考察数学眼光、思维与语言，适配高三一轮学情调研。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量等基础|第6题结合电影台词字母排列，考察创新应用| |多选|3/18|统计、立体几何等|第10题长方体综合，体现空间观念| |填空|3/15|概率、圆、解三角形|12题浇水概率问题，培养数据意识| |解答|5/77|数列、立体几何、抛物线、概率、函数|18题中国象棋比赛概率，19题函数证明，考察逻辑推理与数学表达|

临潭县第一中学2026-2027学年第一学期9月份 2027届高三数学学业学情调研（练习卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 2．已知复数满足，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则． 3．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 4．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二倍角公式可得，解得或， 因为为锐角，故，所以. 5．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 6．近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 【答案】B 【分析】利用间接法，先求总排列数，再减去恰好 3 对、恰好 4 对字母相邻的情况，得到至多两对相同字母相邻的排列种数. 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种，所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 7．如图所示，过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，切线与一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，易得，从而可求出，进而可求出，再根据求出的关系，再根据离心率公式即可得解. 【详解】如图所示，连接，由题意知，，所以， 设，则，又因为，所以， 故， 所以，由得，即， 所以离心率. 故选：C. 8．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】因为函数，可得， 因为函数在上存在单调递减区间，可得在上有解， 即在上有解， 令，则，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.故选：D． 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别： 恒成立问题： ①恒成立；恒成立． ②恒成立；恒成立． ③恒成立； 恒成立． ④． 有解问题： ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（   ） A．数据的上四分位数为34 B．已知随机变量，若，则 C．一组观测数据的经验回归方程为，则样本点处的残差为 D．在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【分析】应用百分位数计算判断A，应用二项分布数学期望及方差公式计算判断B，应用残差定义计算判断C，结合决定系数定义判断D. 【详解】A选项，10个数据的75%分位数位置为，取第8个数据34，A正确； B选项，由二项分布期望、方差，解得，B正确； C选项，代入得，残差为，C错误； D选项，决定系数值越大模型拟合效果越好，D正确. 10．如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【分析】根据四棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据向量方法证明选项A和选项C；根据三棱锥的体积的求法，求出三棱柱的体积，判断选项B的正误；根据四棱柱外接球的性质，求出外接球的半径，进而求出表面积，判断选项D正误. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， 因为是的中点，所以， 选项A：，显然不存在实数使， 所以不平行，故选项A错误； 选项B：可知， 因为平面， 所以，故选项B正确； 选项C：取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 可知 ， 可得，即， 令，解得，即， 因为，所以两平面不垂直，故选项C错误； 选项D：三棱锥的四个顶点均为长方体的顶点，其外接球即为长方体的外接球， 长方体的体对角线长为， 所以外接球半径为，表面积，故选项D正确. 11．已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先求出椭圆的切线方程判断A；结合直线与坐标轴交点、距离公式，利用基本不等式求解范围判断BC，利用最值取等号及两点斜率公式求解判断D. 【详解】先证明，已知椭圆及上面一点，则曲线在点处的切线方程为. 当时，切线的斜率存在，设切线方程为. 代入椭圆的方程得. 由， 得.又点在椭圆上，所以，从而， 所以，即，所以， 所以所求切线方程，即. 另外当时，切线方程为也满足上式. 综上，以椭圆上一点为切点的切线方程为. 对于选项A：椭圆在点处的切线方程为，正确； 对于选项B：令切线方程中得，令得， 故，由基本不等式，， 即，当且仅当时等号成立，故，最小值为4，错误； 对于选项C：，即，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项D：当时，由选项C可知，切线的斜率为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.1.邻居记得浇水的概率为0.9.如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为_____. 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，， ， ， 因此 . . 13．若圆C：关于直线对称，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题意，直线过圆心，则，且，所以，所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为.故答案为：. 14．在中，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将角转化成边，然后用表示,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案. 【详解】由， 得，所以， 由此可得 令， ，（当且仅当，即时取等号）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造辅助等比数列求解； （2）将通项拆分为等差乘等比型项与等差数列项的差，分别用错位相减法和等差数列求和公式计算后合并结果 【详解】（1）因为，所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为，则， 所以，则， 所以，又， 所以. 16．（15分）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面，所以． (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值， 所以， 代入，，可得， 所以， 化简解得，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，，所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，，所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 17．（15分）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，为的中点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若的中垂线与的准线交于点，且，求直线的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出，再求抛物线的方程即可； （2）先设直线，再联立方程求出，接着用表示出、，由已知建立方程求出，最后求出直线的斜率即可. 【详解】解：（1）设，，由抛物线定义可知： ∴，即抛物线的方程为. （2）设直线 ∴. . . 由得：，解得或（舍） 所以直线的斜率为. 18．（17分）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求： (1)甲积分的期望； (2)甲、乙积分相同的概率 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出甲和乙、丙对局时输的概率，甲积分为，则的可能取值为，算出每种情况的概率，得到的分布列，利用期望的公式求解即可； （2）若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分，分类求出每种情况的概率，根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】（1）由已知可得，甲、乙对局时，甲输的概率为；甲、丙对局时，甲输的概率为， 设甲积分为，则的可能取值为， ，，， ，，. 的分布列为： 0 1 2 3 4 6 ； （2）若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分， 若甲、乙均积1分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局丙胜，其概率为； 若甲、乙均积2分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局平局，乙、丙对局平局，其概率为； 若甲、乙均积3分，则甲、乙对局甲胜，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局乙胜，或者甲、乙对局乙胜，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局丙胜，其概率为：； 若甲、乙均积4分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局乙胜，其概率为： ；所以甲、乙积分相同的概率为. 19．（17分）已知函数． (1)求的最小值； (2)已知曲线在点处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若，求面积的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2)． (3)因为，所以只需证， 因为， 令，则， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，所以， 所以． 【分析】（1）代入得到，利用基本不等式即可求得最小值； （2）利用导数的几何意义可求在点处的切线方程，求出与x轴和y轴的交点，得到，令 对其求导，利用导数分析单调性可求最小值； （3），所以只需证，代入构造新的函数，求导可证，由此可证. 【详解】（1）因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． （2），所以， 所以曲线在处的切线方程为， 当时，，当时，， 因为，所以． 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最小值为． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2026-2027学年第一学期9月份 2027届高三数学学业学情调研（练习卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 5．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 6．近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 7．如图所示，过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，切线与一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（   ） A．数据的上四分位数为34 B．已知随机变量，若，则 C．一组观测数据的经验回归方程为，则样本点处的残差为 D．在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好 10．如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的表面积为 11．已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.1.邻居记得浇水的概率为0.9.如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为_____. 13．若圆C：关于直线对称，则的最小值是______． 14．在中，，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 16．（15分）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 17．（15分）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，为的中点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若的中垂线与的准线交于点，且，求直线的斜率. 18．（17分）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求： (1)甲积分的期望； (2)甲、乙积分相同的概率 19．（17分）已知函数． (1)求的最小值； (2)已知曲线在点处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若，求面积的最小值； (3)证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $