甘肃平凉市名校大联盟2027届高三上学期月考卷（一）数学试题

▣▣ 2027届名校大联盟·高三月考卷（一） 数 学 :形的1涉爽来( 大接不干头赠( 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将弥封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 家 4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.命题“Hx>0,x2十2x≥0”的否定是 A.]x≤0，x2+2x<0 B.Hx>0,x2+2x<0 ... C.3x>0,x2+2x<0 D.]x>0,x2+2x≥0 长 2.已知集合A={0,1,2,3},B={x1nx<1},则A∩B= A.☑ B.{1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2} 3.函数y=-1 x 的图象大致为 0)卉(x)1落(3 4.“2>2y”是“x2>y2”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.若函数f(x)=e+x一4的零点所在区间为(n,n+1),n∈Z,则n的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 【高三月考卷（一）·数学卷第1页（共4页）】 ,愿型新22即亚元即可年文阳要出多答颗.公T共，恩小共盛大本：暖答照，四 6.设a=e,b= n2W万cn元>则a,b,c大小关系是 代). A.c<b<a B.a<c<b 1=8,0C.a<b<c=A含Q,D.c<a<b联 7.已知正实数x,y满足上+9=1时，有x十y≥m一6m恒成立，则m的最大值为等 y A.8 B.2 C.-2 D.-8 8.已知函数fx)的定义域为R,且f(x)十f2-x)）=2,设函数8)产与函数fx)的 交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为(x1,y1),(x2,y2),…,(x226,y2026),则 A.0 B.1013 C.2026 D.4052 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 关，月35.0，时 9.已知a>b>0,c<d<0,则 公一=贤阳1 A.ac2>bc2 .1 B. 3a—c不6=a发等不的生千关物 C.bc<ad D.ac<bd 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且当x>0时，f(x)>0, 则 A.f(0)=0 B.f(1)+f(-1)=2 C.g(x)=f(x)一x2是偶函数 D.f(x)在(0，十∞)上单调递增 （个1 11.已知函数f(x)=(x2十ax)e,f(x)为f(x)的导数，则 (8一)+三（元1楼酒世雪 A.任意实数a,f(x)一定存在极大值 B.任意实数a,f(x)一定存在极小值面好回断单的()一化来，的「=。兰 C.存在实数a,使得f(x)在区间（一2，-1）上单调递增附同不个两()八誉8 D.任意实数a,曲线f(x)一定存在与直线y=x平行的切线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.函数f(x)= 2x-1,x≥0， 3x2,x<0, 则f(f(0))= 得分☐ 13.若x=1是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则a= 得分 14.某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量Q(t)(单位：拷贝数/升)与时间t(小 时)的关系为Q(t)=Q。·2+-一4，其中>1，Q。为初始病毒载量，则病毒载量在t= 小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的号倍，当低于时不具 传染性，则从t=0起，该病毒具有传染性的总时长为 小时 得分 【高三月考卷（一）·数学卷第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 得分■ 已知全集U=R,集合A={x|x2-4x-5<0},B={x-2a≤x≤a十3). (1)若a=1,求(CuA)∩B; 显两，液爽重快与 (2)若AUB=B,求a的取值范围. 阳1法环已 三头线函货，一1卡且，月比园发的(1沙函同5 16.(15分)产，中面敌的出心强查伦1共，伦0圈小卖，腰小心共部大本：丽 得分 已知a,b,c∈R,关于x的不等式bx2-3x+2>0的解集为(xx<1或x>c. (1)求函数y=bx2-3x十2的零点； (2)解关于x的不等式ax2一(ac十b)x+bc<0. ,011,进0一元世日，S十(V(x一十)1宝满八卷烟的可列的父金附当0西 0=(0)./ 17.(15分) 得分 已知函数f(x)=e+a-2)x+号-1.1，- 宜大州容市宝一)：烧堂通计. (1)当a=1时，求y=f(x)的单调区间以及极值；小合章(+效奖意 (2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围. 一问才分11周数拉贤炎节节 为时的平天一处育已当特宝（门曲，”话用 代共，伦限小岳，显小名共题大本：强空赋， 代 公需 。现，点国班的(。一)整一)=年送县1一x洛 上1回神代，发将：的单9强特海家其，能进公好雪回「到冠宝将游数饰英 一的潮券苗称限，量第葡高部位9，文中其。 8·0一1出亲头的 目不阳干别世，的的来南比身如小社最者海司女前抛险断相 阳总的甘举计疗具花疾，主0一火牌，计典 【高三月考卷（一）·数学卷。第3页（共4页）】 18.(17分) 誉巷且三高·盟郑大外子鼠T80分 已知函数fx)=hx+t3十1f)= (1)求实数t的值； 蝼 (2)解关于x的不等式f3+2x)>-3千十1n(一ex: 3 (3)设g(x)=f(x)-lnx,若9g(x)十g(2x)≥mg(x)·g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成 立，求实数的取值范围.张平然水色层米生，0立阳少生芒，信移分 该生斗误客显排公国，京素苏出数碳小辞议补封士十张客体然变落补衣，彻客中李生 政梦的战容生千头客立学率容光岁色头些业己，0立的数强华成非：义轮是诗举公钟日面 。效天答朴」静草，学暖啦在，效天案窖的巨件批因强答出骸，落补内从烈 是早已使西，生管不，部所特坚执密，合动：西苏限会春本 诗最爽一言只，中数个四增出能醒小产，代共，食圆小窃，露小共网大本：醒科数，一 的来要目暖合 如 宝含的≤x,0“图命， 08+,0c1H8 》≤，E 0>.,0< 19.(17分) 8门A恨，111=过，8,8，，0= 得分5 已知函数f(x)=x2十4x-aln(x+1),a∈R. S.I 8 (1)若a=4,求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)在(0，十∞)上存在唯一零点b, (i)求a的取值范围； （i)求证：e-4-1>b. 的“” 州茶要家 州杀裂：不价资 丹茶要4入京不期 卧茶代资小型边 议谢阳两围N,1十，)状同公我说点的11+，=：)8酒塔 【高三月考卷（一）·数学卷第4页（共4页）】2027届名校大联盟·高三月考卷（一）·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C根据全称命题否定的定义，“Hx>0,x2十2x≥0”的否定是：3x>0,x2+2x<0.故选C. 2.B由lnx<1,得lnx<lne,解得0<x<e,所以B={x0x<e},又因为A={0,1,2,3},所以A∩B= {1,2}.故选B. 3.D令f(x)=1,其定义域为{xx≠0y,关于原点对称因为f(一x)=x)-1=-1 一f(.x),所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B,C;又因为f(x)=x-】,当x>0 时，函数y=x单涧递增，函数y=一单调递增，所以函数了()=x一子在(0，十∞)上单调递增，故挂除 选项A,选项D正确，故选D, 4.D由题可知，2>2，根据指数函数y=2单调递增，所以x>y,当x=1,y=-2时，x2<y2,所以2>2 不是x2>y的充分条件：当x=-2,y=1时，满足x2>y,但22<2，因此，2>2是x2>y的既不充分 也不必要条件.故选D. 5,B因为函数y=e与函数y=x一4均为增函数，所以函数f(x)=e十x一4为增函数.因为f(1)=e十1 4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>22-2>0,所以函数f(x)=e+x-4的零点所在区间为(1,2).所 以n=1.故选B. 6C设f()=后当≥e时，了()≥0，则f)在[e,+)上单调遥增，由e<2E<:有 )2)K,即后e品<后n得a<放C Ine In2√2 7A因为正实数w满足士+号-1，所以x+y=（+)(2+号）=10+兰+兰>10+2√2·要 y 义=9x 16,当且仅当 xy时，等号成立，即x=4,y=12时，等号成立，因为正实数x,y满足】+9=1时，有 y x+y=16 x+y≥m2-6m恒成立，所以(x十y)mim≥m2-6m,即m2-6m≤16，即-2≤m≤8，m的最大值为8.故选A. 8.C已知fx)+f2-)=2,则f()的图象关于点(11)对称，由g(x)=号=1十与且g(2-x)=1+ 2-可=1+己1-马所以g)+g2-)=(1+)+(1-)=2,故g(x)的图象关于 点(1,1)对称，所以f(x)和g(x)的交点必然也是成对的，且关于(1,1)对称，若(x,y,)是它们的一个交点，则 (2-x,2一y)也必然是它们的交点，所以横坐标之和为x,十(2一x,)=2,已知交点有2026个，因此可以配成 2026 1013对，每一对交点的横坐标之和为2，所以所有交点横坐标的总和为x,=1013×2=2026. 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第1页（共6页）】 9.ABD已知a>b>0,c<d<0,则c2>0,a-b>0,.ac2-bc2=c2(a-b)>0,故ac2>bc2,A正确：c<d<0, 则->-d>0,:a>b>0a-c>6d,∴a<6故B正确：取a=4,b=1c=-3d=-1,满足a >b>0,c<d<0,此时bc=1×(-3)=-3,ad=4×(-1)=-4,即bc>ad,故bc<ad不恒成立，故C错 误：c<d<0,则-c>-d>0,.a>b>0,则-ac>-bd,故ac<bd,故D正确.故选ABD. 10.ABD因为定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0,可得f(0)= f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,故A正确：令x=1,y=-1,可得f(0)=f(1)+f(-1)-2=0,即f(1) 十f(-1)=2,故B正确：令y=一x,可得f(0)=f(x)+f(一x)-2x2=0,整理可得f(x)-x2= -[f(-x)-x2门=-[f(-x)-(-x)2门，对于g(x)=f(x)-x2,可得g(x)=-g(-x),且定义域 为R,所以g(x)=f(x)-x2是奇函数，故C错误；令x=x2,y=x1-x,可得f(x1)=f(x2)+ f(x1一x2)+2x2(x1-x2),即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+2x2(x1-x2),若0<x2<x1,则x1-x2> 0,可得f(x1一x2)>0,2x2(x1-x2)>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增，故D正确.故选ABD 11.AB对f(x)=(x2+a.x)e求导得：f(x)=(2x+a)e+(x2+ax)e=[x2+(a+2)x+a]e,h(x) =x2十(a十2)x+a,其判别式△=(a十2)2-4a=a2+4>0,因此h(x)恒有两个不同实根，f(x)的符号 由h(x)决定，选项AB:因为△=a十4>0恒成立，h(x)总有两个不同零点x1,x2,不妨设x1<x2,当x<x1 时，h(x)>0,f(x)>0,f(x)递增；当x1<x<x2时，h(x)<0,f(x)<0,f(x)递减；当x>x2时， h(x)>0,f(x)>0,f(x)递增.因此f(x)一定存在极大值f(x1)和极小值f(x2),AB正确；选项C: h(-1)=1-(a十2)+a=-1<0,故f(-1)=h(-1)e1=-e1<0,即f(-1)<0且函数连续，故 存在x∈（一2，一1)使得∫(x)<0,即不可能在区间(-2，一1)上单调递增，C错误：选项D:设切点为 [x6+(a+2)xo+a]e'6=1, a=1, (xo,(x8十axo)e'o),当曲线切线与y=x重合时， 可得 是一组解，当 xo=(x8十axo)eo, (x0=0 a=1时，(x8+3.xo+1)e0=1,设p(x)=(x2+3x+1)e,则p'(x)=(x2+5x+4)e= (x+1)(x+4)e,所以当x∈(-o∞，-4)U(-1,+o∞)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，当x∈ (-4,-1)时，p'(x)<0,p(x)单调递减，又p(-4)=5e1<1,且p(0)=1,所以(x8+3.x6+1)e0=1 只有唯一解0，所以当a=1时，曲线f(x)仅在x=1处的切线斜率为1，且与直线y=x重合，D错误.故 选AB. 12.3由题意可得f(0)=2×0-1=-1,f(-1)=3×(-1)2=3,所以f(f(0))=3. 13.1因为f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)=(x-a)(x2-3x+2),所以f(x)=x2-3.x+2+(x-a)(2x-3),由 题意可得f(1)=-(1-a)=0,解得a=1,当a=1时，f(x)=（x-1)2(x-2),f(x)=(x-1)(2x-3),令 ∫(x)=0,得1=1，=号，当x<1时，()>0，f)单调递增：当1<x<号时，(x)<0,(x)单调递 减，x=1是函数f(x)的极值点，符合题意，所以a=1. 14,432当t≥4时，此时|t-4|=t-4,代入原函数指数部分：t+4k一k|t-4=t十4k-k(t-4)=t十4k kt十4k=(1-k)t十8k,所以，Q(t)=Q。·21=+,已知k>1,则1-k<0,所以当t≥4时，指数(1一k)t+ 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第2页（共6页）】 8k是关于t的减函数，因此Q(t)在[4，+oo)上单调递减，当t<4时，此时|t一4|=4一t,代入原函数指数 部分：t十4k一k|t一4|=t十4k-k(4一t)=t+4k-4k+kt=(1十k)t,所以，Q(t)=Q。·21+t,同理得 Q(t)在(0,4)上单调递增，综合以上两种情况，Q(t)在t<4时单调递增，在t≥4时单调递减，因此，病毒载 量在=4时达到峰值.在≥4时，Q()-Q,·2-,根据题意，对于任意≥4，有：Q(:+1)-号Q(), 代入表达式：Q。·20-e*-号Q。·2-“,整理得，2-=2-寸，(1-)2十8十1 k=(1-k)加十8改-号→k=号，所以Q)=Q。·211,病毒具有传染性的条件是Q(0≥器，即 Q。·2+6-多1-4≥是，整理得，4+10≥号1-4，当≥4时，不等式变为：1+10≥号(4-4)→4≤ 32,结合前提6>4，得到4<1<32：当1<4时，不等式变为：十10>子(4-)→≥-号，结合前提1<4，得 到一1.6≤t<4,综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为[-1.6,32]，题干要求计算从t=0起的传染时 长，即时间区间[0,32]的长度，故总时长为32一0=32小时. 15.解：(1)因为x2一4x-5<0的解集为{x-1<x<5},……2分 所以A={x-1<x<5},则CA={xx≤-1或x≥5}，……4分 当a=1时，B={x|-2≤x≤4}，所以(CA)∩B={x|-2≤x≤-1}.…6分 (2)若AUB=B,则A三B, ……8分 f-2a≤a+3, 因为A三B,B≠，所以-2a≤-1， 11分 a+3≥5， 解得a≥2，即a的取值范围为[2，十∞). 13分 16.解：(1)因为不等式bx2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>c}, 可知x1=1与x2=c是方程bx2一3x十2=0的两个实数根，且b>0,… 2分 1+c=3 则 解得b=1,C=2,……………………5分 1xc-2」 b 令y=bx2-3x+2=x2-3x十2=0，解得x=1或x=2, 所以函数y=bx2一3x十2的零点为1和2.……………………7分 (2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即为a.x2-(2a+1)x+2<0,即(ax-1)(x-2)<0,…9分 ①当a=0时，易得不等式的解集为{x|x>2},………………10分 ②当a<0时，不等式可化为(x-是)(x-2)>0,不等式的解集为z<或x>2 ……12分 ③当a>0时，不等式可化为(x-是)(x-2)<0, 当>2，即0<a<分时，不等式的解集为2<x<}: 13分 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第3页（共6页）】 当}=2，即a=2时，不等式的解集为②； 14分 当。<2，即a>号时，不等式的解集为{女日<<2 15分 17.解：(1)当a=1时，f(x)=e-x-7,定义域为R. f(x)=e-1.……2分 令(x)<0,即e<1,解得x<0;令f(x)>0,即e>1,解得x>0. 所以y=∫(x)的单调递减区间为（一o∞，0），单调递增区间为(0，十o∞).………5分 当x=0时取得极小值：极小值为子(0)=心-0一专-号无极大值。…7分 (2)f(x)=e+a-2,x∈R. 当a一2≥0，即a≥2时，∫(x)>0恒成立，所以f(x)在(-o∞，+o∞)上单调递增，最多1个零点，不符合 题意。……………9分 当a-2<0,即a<2时，令f(x)=0,即e十a-2=0,解得x=ln(2一a).…10分 当x<ln(2-a)时，f(x)<0;当x>ln(2-a)时，f(x)>0. 所以f(x)在区间（一∞，ln(2-a))上单调递减，在区间(ln(2-a),十∞）上单调递增. 所以x=ln(2a)是极小值点，也是最小值点，……12分 且fih(2-a)=eM+(a-21n(2-a)+号-1=(a-2)[ln(2-a)-] 当x→-o∞时，f(x)→十o∞；当x→+o∞时，f(x)→十∞. 因为f(x)有两个不同的零点，所以f(ln(2一a))<0,………… 13分 即(a-2)[n(2-a)-]<0 又因为a<2,所以ln(2-a)-号>0，解得a<2-6. 所以a<2-√E. 综上所述，若∫(x)有两个不同的零点，a的取值范围为（一o6,2一√）.……15分 18,解：1DfI)=-,则=1.… ……2分 (2f)=nx+1厂3中' 1 则-3+lh(-e)=33+h(-)+1=1中3+a(-)+1=(-0 3 则不等式3+2x> 3十+lh（-x)可化为f(3+2)>f(-x),…5分 因函数y=r十1在(0，十∞)上单调递增，则y=1一3片在(0，十)上单调递增， 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第4页（共6页）】 因y=lx在(0，十oo)上单调递增，故f(x)在（0，十oo)上单调递增，…7分 则3+2x>-x>0,得-1<x<0, 故不等式的解集为（一1,0），………………9分 1 1 3 （3)gx)=fx)-lnx=nx+13中市-lnx=13+7-3r+>0,…1分 因9g(x)十g(2x)≥mg(x）·g(2x), 则m≤9g(x)十g(229 1 9 g(x)·g(2x)g(2x)g(x) 32 十1=9×3十1十3十1 328 37 32x+13+1 =9X++10 14分 令=xe[1,2,则e[号]， 15分 则h)=9r++10在[号，号]上的最小值为（行）-号， 因9g(x)+g(2x)≥mg(x)·g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立， 则m<号，故实数m的取值范围为(-○， 921 17分 19.解：(1)f(x)=x2+4x-aln(x+1),定义域为(-1，+o∞)， fx)=2+44=2+6+4e, 2分 x+1 a=4时，∫(0)=0，(0)=0，故切线方程为y=0.………4分 2fx)=2x+44=2+6+4=心-， x+1 (i)当a≤4时，f(x)≥0，函数f(x)在(0，+o∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0, 所以f(x)在(0，十0∞)上不存在零点，………6分 当a>4时，令m(x)=2x2+6.x十4一a,m(x)在(0，+∞)上单调递增， m(0)=4-a<0,3xo∈(0，+oo),使得m(x)=0,即f(x)=0, 所以x∈(0，x)时，f(x)<0,x∈(xo,+o∞)时，f(x)>0, 所以∫(x)在(0,0)上单调递减，(x0,十0o)上单调递增，…8分 f(0)=0,f(xo)<f(0)=0,f(a)=a2+4a-aln(a+1)=a(a+4-ln(a+1))>0, (其中m(a)=2a2+5a十4>0，所以a>xo), 所以当a>4时，函数f(x)在(0，十o∞)上存在唯一零点b,其中b∈(xoa),a的取值范围为(4，十∞).… …10分 (i)法一：b为f(x)唯一零点，所以f(b)=b2+4b-aln(b+1)=0, ln(b+1)=+4b 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第5页（共6页）】 要证e1-1>b,即证e4>b+1,即证a-4>1n(b+1)=6+4地 即证a2一4a>b2十4b,即证b<a一4，……… 13分 因为f(a-4)=a(a-4)-aln(a-3)=a(a-4-ln(a-3)),a>4, 令8a)-a-4ha-3),则ga)18青0… 所以g(a)在(4，十o∞)上单调递增，则g(a)>g(4)=0,……15分 即a-4-ln(a-3)>0,又a>4,所以f(a-4)>0=f(b), 由(1)可知f(x)在(xo,十o∞)单调递增，所以b<a一4，得证.…17分 法二：b为f(x)唯一零点，所以f(b)=b+4b-aln(b+1)=0, b2+4b ]万， 11分 要证e-1-1>b,即证e-1>b+1,即证a-4>ln(b+1), +46一4>1n(b叶1)，即证6+4b-4n(b+1)>≥m(6+1), 即证n(b+1) 即证b-1n(b+1)>4ln(b+1)-4b, 即证(b+ln(b+1))(b-ln(b+1))+4(b-ln(b+1))>0, 即证(b-ln(b+1))(b+ln(b+1)+4)>0, 即证b>n(b十1)，………………………14分 记么()=x-h(x+1),则(x)=1-克千令公)>0，则>0， 所以h(x)在(-1,0)上单调递减，(0，+o)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,所以原命题得证.…………………17分 【高三月考卷（一）·数学卷参考答案第6页（共6页）】