26.3～26.4 二次函数与一元二次方程 二次函数与实际问题 周练 错题巩固与压轴训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以A/B/C分层设计构建二次函数知识巩固路径，基础题夯实概念理解，中档题强化综合应用，拔高题培养高阶思维，适配周测分层检测需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A|二次函数概念、顶点坐标|选择题1-2、填空题7聚焦单一知识点，通过表格数据与方程解的关系，培养数感与符号意识| |B|函数与方程综合、实际应用|选择题3-6、解答题13-18结合利润问题（题17）、运动轨迹（题5），强化模型观念与运算能力| |C|几何与函数综合|填空题12、解答题19-20涉及角度关系（∠DEA=2∠DCA）、动态点探究，发展推理能力与创新意识|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第22章 二次函数（22.3～22.4） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•龙凤区期末）·【A】如表列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝6的其中一个解的取值范围是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 15 3 ﹣1 3 … A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．﹣3＜x＜﹣2 D．0＜x＜1 2．（2026•栖霞区校级三模）·【A】若二次函数y＝（x+m）2+m（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026•株洲校级自主招生）·【B】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 4．（2025秋•墨玉县期末）·【B】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 5．（2026•永城市一模）·【B】在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示v与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关系，则下列说法不正确的是（　　） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8cm/s D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 6．（2026•思明区模拟）·【B】经研究发现某型号火箭高度h（m）与时间t（s）的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如表，则下列判断正确的是（　　） 时间t/s 1 10 18 20 火箭高度h/m 155 1010 1090 1010 A．火箭在前18s持续上升 B．火箭在18s后才开始下降 C．火箭在10s前可以达到1090m D．火箭在30s时的高度低于155m 二．填空题（共6小题） 7．（2026•临平区二模）·【A】物体自由下落的高度h（m）和下落时间t（s）的关系为ht2（g为重力加速度）．记地球重力加速度为g1，月球重力加速度为g2．当物体自由下落高度相同时，在地球上的下落时间为t1，在月球上的下落时间为t2．若6，则　 　 ． 8．（2026春•海淀区校级期末）·【B】将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分），当直线y＝2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，则b的取值范围为　 　 ． 9．（2026春•虹口区校级期末）·【B】已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　 　 ． 10．（2026•厦门模拟）·【B】物体在空中水平抛出后做平抛运动，其轨迹为抛物线对称轴一侧的曲线，抛物线的顶点即为抛出点．根据物理学原理，物体抛出后在平面直角坐标系中的位置有如下关系：，其中抛出点坐标为（x0，y0），初速度为v0，重力加速度为g（g取10）．在某次实验中，测得物体在平抛运动过程中经过的三个点分别为（0，5），（1，﹣10），（2，﹣35），则此物体抛出点的坐标为　 　 ． 11．（2026•德州）·【B】某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　 　 元． 12．（2026•南充模拟）·【C】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•大姚县二模）·【B】在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a为常数，a≠0）与y轴交于点（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线（x≤0）记为L1，将抛物线y＝﹣x2+4x+4（x≥0）记为L2，L1与L2合起来的图象记为L．对于L上的两点M（x1，y1）和N（x2，y2），当x1≥4，t≤x2≤t+2时，总有y1＜y2，求t的取值范围． 14．（2026•颍东区模拟）·【B】已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+3k﹣1（k为常数）． （1）当k＝0时，求该抛物线与x轴两个交点之间的距离； （2）设该抛物线的顶点为点P，且k＞1． （i）当顶点P的纵坐标最大时，求此时顶点P的坐标； （ii）已知点M（0，2），N（4，6），若该抛物线与线段MN只有一个公共点，求顶点P的横坐标的取值范围． 15．（2026春•金华期末）·【B】在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2kx+k2﹣1（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当k＝3时，将该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当△ABC的面积为3时，求k的值． 16． （2026春•台江区校级期末）·【B】已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为点A（5，0），与y轴的交点为点B（0，5）．求抛物线的解析式． 17．（2026•萨尔图区校级二模）·【B】“五一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 18．（2026秋•同步）·【B】某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 19．（2026•固镇县一模）·【C】如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 20．（2026•深圳校级模拟）·【C】体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离x/m与竖直高度y/m的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 （1）在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是　 　 m，实心球在空中的最大高度是　 　 m； （2）求图中抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k； （3）根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （4）已知图中抛物线经过M（m，y1），N（m+2，y2）两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则m的值为　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A A B D 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•龙凤区期末）·【A】如表列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝6的其中一个解的取值范围是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 15 3 ﹣1 3 … A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．﹣3＜x＜﹣2 D．0＜x＜1 【答案】A 【解答】解：由表格中的数据可知， 该抛物线的对称轴为直线x0， ∴x＝﹣2和x＝2对应的函数值都是8， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝6的一个解的取值范围1＜x＜2， 故选：A． 2．（2026•栖霞区校级三模）·【A】若二次函数y＝（x+m）2+m（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝（x+m）2+m的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程（x+m）2+m＝0有两个不相等的实数根， ∴x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根． ∴Δ＞0，即（2m）2﹣4×（m2+m）＞0， ∴m＜0． ∴﹣m＞0， ∴顶点（﹣m，m）在第四象限． 故选：D． 3．（2026•株洲校级自主招生）·【B】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 【答案】A 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1与y轴正半轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝a﹣1＞0． ∴a＞1． ∵抛物线的对称轴为直线，且当时，y＞0， ∴当时，y＞0． ∵当时，y＜0， ∴当时，y＝0． ∴． ∴a＝4． 故选：A． 4．（2025秋•墨玉县期末）·【B】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）． 故选：A． 5．（2026•永城市一模）·【B】在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示v与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关系，则下列说法不正确的是（　　） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8cm/s D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 【答案】B 【解答】解：由图2，v是一次函数， ∴可设v＝kt+b（k≠0）， ∵过点（0，12）和（24，0）， ∴当t＝0时，v＝12，故b＝12；当t＝24时，v＝0，代入得0＝24k+12，解得， ∴； 由图3，y是二次函数，且过原点， ∴可设y＝at2+bt， 将点（4，44）和（8，80）代入解析式， ∴， ∴，b＝12， ∴； 对于A：，， ∴速度v随t增大而减小，故A正确； 对于B：路程y是二次函数，说明速度在变化（匀减速），单位时间内路程不同，故B错误； 对于C：当y＝80时，， ∴t＝8（t＝40舍去），此时，故C正确； 对于D：弹珠停止时t＝24s，代入，故D正确． 故选：B． 6．（2026•思明区模拟）·【B】经研究发现某型号火箭高度h（m）与时间t（s）的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如表，则下列判断正确的是（　　） 时间t/s 1 10 18 20 火箭高度h/m 155 1010 1090 1010 A．火箭在前18s持续上升 B．火箭在18s后才开始下降 C．火箭在10s前可以达到1090m D．火箭在30s时的高度低于155m 【答案】D 【解答】解：由题意，二次函数的解析式为h＝at2+bt+c， 根据表格数据可得图象过（1，155），（10，1010），（20，1010）， ∴． ∴． ∴h＝﹣5t2+150t+10＝﹣5（t﹣15）2+1135． ∴图象开口向下，对称轴是直线t＝15． ∴当t＜15时，h随t的增大而增大；当t＞15时，h随t的增大而减小． ∴火箭在前15s持续上升，故A错误，不合题意； 火箭在15s后开始下降，故B错误，不合题意； 火箭在10s前可以达到1010m，故C错误，不合题意； 火箭在30s时的高度为10m小于155m，故D正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•临平区二模）·【A】物体自由下落的高度h（m）和下落时间t（s）的关系为ht2（g为重力加速度）．记地球重力加速度为g1，月球重力加速度为g2．当物体自由下落高度相同时，在地球上的下落时间为t1，在月球上的下落时间为t2．若6，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵ht2， ∴t（负值舍去）． ∵6， ∴． ∴． 故答案为：． 8．（2026春•海淀区校级期末）·【B】将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分），当直线y＝2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，则b的取值范围为　﹣7＜b＜﹣6　 ． 【答案】﹣7＜b＜﹣6． 【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为 （1，4）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3 则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， ∴开口方向相反，开口大小一样 ∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称 ∴翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4）， 如图，当直线y＝2x+b过点B时，直线y＝2x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴0＝2×3+b，解得b＝﹣6； 当直线y＝2x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝2x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即（x﹣1）2﹣4＝2x+b有相等的实数解，整理得x2﹣4x﹣b﹣3＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣7， ∴当直线y＝2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，﹣7＜b＜﹣6． 故答案为：﹣7＜b＜﹣6． 9．（2026春•虹口区校级期末）·【B】已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，a≠0， 令y＝ax2+6ax+6＝0， ∴Δ＝36a2﹣24a＞0， ∴a＜0或a， 又∵对称轴是直线x3， ∴a时，不合题意， ∴，， 再令x＝0，y＝6，则可以得出点C（0，6）， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC，则|AB|＝|AC|， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026•厦门模拟）·【B】物体在空中水平抛出后做平抛运动，其轨迹为抛物线对称轴一侧的曲线，抛物线的顶点即为抛出点．根据物理学原理，物体抛出后在平面直角坐标系中的位置有如下关系：，其中抛出点坐标为（x0，y0），初速度为v0，重力加速度为g（g取10）．在某次实验中，测得物体在平抛运动过程中经过的三个点分别为（0，5），（1，﹣10），（2，﹣35），则此物体抛出点的坐标为　（﹣1，10）　 ． 【答案】（﹣1，10）． 【解答】解：由题意，∵，g＝10， ∴， 设，则，即y＝ax2+bx+c的形式． 又∵图象过（0，5）、（1，﹣10）、（2，﹣35）， ∴． ∴a＝﹣5，b＝﹣10． ∴y＝﹣5x2﹣10x+5＝﹣5（x+1）2+10， ∴抛物线顶点（抛出点）坐标为（﹣1，10）． 故答案为：（﹣1，10）． 11．（2026•德州）·【B】某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　7　 元． 【答案】7． 【解答】解：由题意，设， 把（3，12）代入得：9a+3＝12， ∴a＝1， ∴抛物线为， 设单件水果利润为W元， ∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39 ＝﹣x2+10x﹣18 ＝﹣（x﹣5）2+7， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝5时，单件利润W的最大值为7元． 故答案为：7． 12．（2026•南充模拟）·【C】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是　（﹣1，1）或（，）　 ． 【答案】（﹣1，1）或（，）． 【解答】解：由题意，分以下两种情形： ①如图，E在CD上， 过O（0，0）点作线段AC的中垂线交AC于点H， ∵B（﹣1，0）和C（0，4）在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴c＝4，1﹣b+4＝0．则b＝5． ∴y＝x2+5x+4． 令y＝0，则x2+5x+4＝0， ∴x＝﹣1，或x＝﹣4． ∵B（﹣1，0）， ∴A（﹣4，0）． ∵直线AC过点A（﹣4，0），C（0，4）， 设直线AC：y＝kx+b1， 又∵y＝kx+b1过A（﹣4，0），C（0，4）， ∴， ∴b1＝4，k＝1， ∴直线AC：y＝x+4． 设直线AD：y＝k′x+m， ∵直线AD过点A（﹣4，0）和点D， ∴﹣4k′+m＝0， ∴， ∴直线AD：， 设， ∵AD⊥AC， ∴在△ACD中，CD2﹣AD2＝AC2， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝OC＝4， ∴AC2＝32， ∴ ＝﹣2m（x+4）﹣8x＝32， ∴， 这说明D点的纵坐标为yD＝﹣x﹣4， 即直线AD：y＝﹣x﹣4． 联立方程组， ∴x2+6x+8＝0，解得x＝﹣4（即A点）或x＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣2）． 设直线CD：y＝k1x+m1，将C（0，4），D（﹣2，﹣2）代入y＝k1x+m1得k1＝3，m1＝4， ∴直线CD：y＝3x+4． ∵∠DEA＝∠DCA+∠CAE＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠CAE． ∴CE＝AE． 由题意，设直线OH：y＝kx+b， ∵y＝kx+b过点O（0，0）， ∵∠AOH＝∠COH＝45°， ∵平分线OH上的点，横、纵坐标相等， ∴直线OH：y＝﹣x（因为在第二象限）． 联立方程组， ∴x＝﹣1． ∴E（﹣1，1）． ②E在CD的延长线上，即E'与E关于AH对称， ∴AE＝AE'，则∠DE'A＝∠DEA＝2∠DCA，符合题意． 作AH⊥CD于H， ∵直线CD：y＝3x+4， ∴可设AH为yx+n． 又∵A（﹣4，0）， ∴n＝0． ∴n． ∴AH为yx． 联立方程组， ∴． ∴H（，）， ∵H是E（﹣1，1）与E'的中点， ∴E'（，）． 综上，E为（﹣1，1）或（，）． 故答案为：（﹣1，1）或（，）． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•大姚县二模）·【B】在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a为常数，a≠0）与y轴交于点（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线（x≤0）记为L1，将抛物线y＝﹣x2+4x+4（x≥0）记为L2，L1与L2合起来的图象记为L．对于L上的两点M（x1，y1）和N（x2，y2），当x1≥4，t≤x2≤t+2时，总有y1＜y2，求t的取值范围． 【答案】（1）y＝（x+2）2﹣8； （2）0＜t＜2或t． （2）先根据题意画出图象，然后再根据图形分两种情况解答即可． 【解答】解：（1）由题意，将（0，﹣4）代入ya（x+2）2﹣4a中， ∴﹣4a（0+2）2﹣4a． ∴a＝2． ∴抛物线为y＝（x+2）2﹣8． （2）由题意，可在平面直角坐标系中作抛物线 L1 和 L2，如图所示： 易知，L2 与y轴交于点（0，4），L1 与y轴交于点 （0，﹣4）， ∴x1＝4 时，， ①当点N在y轴右侧和点（4，4）之间时，总有 y1＜y2， ∴0＜x2＜4， ∵t≤x2≤t+2， ∴t＞0，t+2＜4， 解得0＜t＜2； ②y＝4时，代入 L1 得 4＝（x+2）2﹣8， 解得 或 ， 结合图象知， 应舍去， 当点N在点 的左侧时，总有 y1＜y2， ∴， ∵t≤x2≤t+2， ∴， ∴， 综上，的取值范围为0＜t＜2或t． 14．（2026•颍东区模拟）·【B】已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+3k﹣1（k为常数）． （1）当k＝0时，求该抛物线与x轴两个交点之间的距离； （2）设该抛物线的顶点为点P，且k＞1． （i）当顶点P的纵坐标最大时，求此时顶点P的坐标； （ii）已知点M（0，2），N（4，6），若该抛物线与线段MN只有一个公共点，求顶点P的横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2）（i）P（3，5）； （ii）或xP＞3． （2）（i）用k表示顶点纵坐标，求出最大值，即可； （ii）线段MN函数表达式为：y＝x+2（0≤x≤4），联立方程整理得到方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝k﹣1，根据交点个数分别讨论即可． 【解答】解：（1）由题意，将k＝0代入抛物线的表达式， ∴y＝x2﹣x﹣1， 令y＝0，则x2﹣x﹣1＝0， ∴， ∴抛物线与x轴的交点之间的距离为； （2）（i）由题意，∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+3k﹣1， ∴顶点的横纵坐标分别为：， ∵， ∴此时该二次函数的图象开口向下， ∴当k＝5时，yP有最大值5． ∴此时顶点横坐标：， ∴顶点P为（3，5）； （ii）设线段MN函数表达式为：y＝mx+n（m≠0）， 把点M（0，2），N（4，6）代入，得 ， ∴， ∴y＝x+2（0≤x≤4）． 联立方程，x+2＝x2﹣（k+1）x+3k﹣1 ∴x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝k﹣1， 当k﹣1＝3，即k＝4时，方程有唯一实根x＝3， 对应抛物线与线段仅有1个公共点； 两根不相等时，需x2＝k﹣1落在0≤x≤4之外， ∵k＞1， ∴k﹣1＞0， 又∵x2＝k﹣1落在0≤x≤4之外， ∴k﹣1＞4，则k＞5， 当k＝4时，； 当k＞5时，； 综上，顶点P横坐标的取值范围为：或xP＞3． 15．（2026春•金华期末）·【B】在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2kx+k2﹣1（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当k＝3时，将该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当△ABC的面积为3时，求k的值． 【答案】（1）k＝1或﹣1； （2）h＝6； （3）k＝2或﹣2． （2）依据题意，当k＝3时，y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝（x﹣k）2﹣1＝（x﹣3）2﹣1，从而该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线为y＝（x﹣3+h）2﹣1，故当x＝0时，y＝（0﹣3+h）2﹣1；当x＝0时，y＝02﹣2×3×0+k2﹣1＝32﹣1＝8，结合两抛物线交于y轴上的点M，可得（0﹣3+h）2﹣1＝8，从而计算可以得解； （3）依据题意，令y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝0，则x＝k+1或x＝k﹣1进而可得AB＝2，结合抛物线与y轴交点为C（0，k2﹣1），故S△ABCAB•OC2×|k2﹣1|＝3，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，当该函数图象经过原点时， ∴k2﹣1＝0． ∴k＝1或﹣1； （2）由题意，当k＝3时，y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝（x﹣k）2﹣1＝（x﹣3）2﹣1， ∴该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线为y＝（x﹣3+h）2﹣1， ∴当x＝0时，y＝（0﹣3+h）2﹣1；当x＝0时，y＝02﹣2×3×0+k2﹣1＝32﹣1＝8， 又∵两抛物线交于y轴上的点M， ∴（0﹣3+h）2﹣1＝8， ∴h＝0（不合题意，舍去）或h＝6； （3）由题意，令y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝0， ∴[x﹣（k+1）][x﹣（k﹣1）]＝0． ∴x＝k+1或x＝k﹣1． ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴A（k﹣1，0），B（k+1，0），则AB＝2． 又∵抛物线与y轴交点为C（0，k2﹣1）， ∴S△ABCAB•OC2×|k2﹣1|＝3． ∴k＝2或﹣2． 16．（2026春•台江区校级期末）·【B】已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为点A（5，0），与y轴的交点为点B（0，5）．求抛物线的解析式． 【答案】yx2﹣2x+5． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为点A（5，0），与y轴的交点为点B（0，5）， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为yx2﹣2x+5． 17．（2026•萨尔图区校级二模）·【B】“五一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； （2）当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求出解析式，然后根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1， 将（220，180），（380，20）代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+400（220≤x≤380）， ∴日销售利润＝（﹣x+400）（x﹣200） ＝﹣x2+600x﹣80000 ＝﹣（x﹣300）2+10000（220≤x≤380）， ∴当x＝300时，日销售利润最取得最大值10000， ∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 18．（2026秋•同步）·【B】某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160； （2）当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元． （2）先表示出日销售利润与售价x之间的函数关系式，再由二次函数的最值求解即可． 【解答】解：（1）设所求函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴y＝﹣2x+160； （2）由题意，设该枇杷的售价为a元/千克时，日销售利润为w元， ∴w＝（﹣2a+160）（a﹣20）＝﹣2a2+200a﹣3200＝﹣2（a﹣50）2+1800， ∵﹣2＜0，函数图象开口向下， ∴当a＝50时，w有最大值，最大值为1800元， 答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元． 19．（2026•固镇县一模）·【C】如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 【答案】（1）3； （2）； （3）． （2）由二次函数解析式可得C（0，﹣3），进而得到，即得S△PAC＝6，再利用待定系数法可得直线AC的解析式为，设，则，可得，即得到，求出m的值即可求解； （3）设直线AM交y轴于D，可证△AOD≌△AOC（ASA），得到OD＝OC＝3，得到D（0，3），即得直线AD解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）， ∴， 解得， ∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 把x＝0代入，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∴， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣4，0）和C（0，﹣3）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴； （3）如图，设直线AM交y轴于D， ∵， ∴△AOD≌△AOC（ASA）， ∴OD＝OC＝3， ∴D（0，3）， 同理可得直线AD的解析式为， 由， 解得或， ∵点M是直线AC上方的抛物线上一动点， ∴． 20．（2026•深圳校级模拟）·【C】体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离x/m与竖直高度y/m的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 （1）在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是　2　 m，实心球在空中的最大高度是　3.6　 m； （2）求图中抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k； （3）根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （4）已知图中抛物线经过M（m，y1），N（m+2，y2）两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则m的值为　或　 ． 【答案】（1）2，3.6； （2）y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6； （3）邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6， 得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， 解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∵10＞9.4， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； （4）m的值为或． （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令y＝0得到一元二次方程，解方程与9.4米比较即可； （4）根据M，N分别位于对称轴两侧求出m的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时m的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为x＝0时y的值， 通过图表可得：当x＝0时，y＝2， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当x＝2时，y＝3.2；当x＝6时，y＝3.2可得： 对称轴为直线， 则当x＝4时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当x＝4时，y＝3.6， 则实心球在空中的最大高度是3.6米； 故答案为：2，3.6； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为（4，3.6）， 则h＝4，k＝3.6 ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 将（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6得： a（0﹣4）2+3.6＝2， 解得：a＝﹣0.1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6； （3）邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6， 得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， 解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∵10＞9.4， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； （4）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝4， ∵M，N分别位于对称轴两侧， ∴， 解得：2＜m＜4， 如图，当3≤m＜4时，， 即， 解得：或， ∵与3≤m＜4相矛盾，故舍去， ∴， 如图，当2＜m＜3时，， 即， 解得：或； ∵与2＜m＜3相矛盾，故舍去， ∴； 综上所述，m的值为或． 故答案为：或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $