周末小测卷 考察范围：26.2.3-26.3 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层合理梯度清晰，从二次函数概念辨析到综合应用，培养抽象能力与推理意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数图像与性质（顶点、对称轴等）|选择1-5直接考查概念，填空11-12强化基础运算| |中档|性质综合应用（根的范围、图像交点等）|选择6-10结合图表辨析，填空13-14渗透分类讨论| |提升|几何与函数综合（平移、存在性问题）|填空15-16涉及动态变化，解答17-20融合模型构建|

第六周·考察范围：26.2.3-26.3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程的一个解x的范围是 x 0.5 1 1.1 -8.75 -2 -0.59 x 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 2.关于抛物线，下列说法正确的是( ) A.开口向上 B.对称轴是直线 C.与y轴的交点坐标是 D.顶点坐标是 3.如图是二次函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 0 2 3 4 5 0 0 下列结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4； ⑤若，是抛物线上两点，则. 其中正确的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知点，，都在二次函数的图象上，若，，，则下列关于三者的大小关系判断一定正确的是( ) A.可能最大，不可能最小 B.可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D.不可能最大，可能最小 8.如图，抛物线经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O，，，则a的值为( ) A. B. C. D. 9.已知抛物线过点，，，若点A在对称轴右侧，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 10.已知二次函数的图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上） 11.如图，抛物线与直线的两个交点分别为点，，则关于x的方程的解为___________. 12.抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是_______________. 13.已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是_____________.（写出一个即可） 14.已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为______. 15.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是___________. 16.如图，抛物线与y轴交于点C，点，点P是抛物线上的动点.若是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_____________. 三、解答题（本大题共4小题，共40分） 17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标. 18.（10分）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且点A，B关于y轴对称，求此抛物线的解析式. 19.（10分）小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题. （1）完成函数图象的作图，并完成填空. ①列出y与x的几组对应值如下表： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 y … -8 -3 0 1 0 -3 x 1 2 3 4 5 … y 0 1 0 a -8 … 表格中，______； ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当时函数M的图象； ③观察图象，当______时，y取最大值，为______. （2）若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______. （3）已知，两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围. 20.（12分）如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线. （1）求该抛物线的表达式. （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限. ①当的面积为15时，求点B的坐标； ②在（1）的条件下，P是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点P的坐标. 答案及解析 1.答案：B 解析：∵当时，，当时，，关于x的方程的一个解x在1.1和1.2之间.故选B. 2.答案：D 解析：， ，抛物线开口向下，故A错误； 由解析式得对称轴为直线，故B错误； 令得，则抛物线与y轴的交点坐标为，故C错误； 由解析式得顶点坐标为，故D正确.故选D. 3.答案：B 解析：令方程的正数解为，由题中图象可知.抛物线关于直线对称，∴点，关于直线的对称点的坐标为，，. 4.答案：C 解析：∵二次函数的图象开口向上，.一次函数经过第一、第二、第三象限，，，函数的图象开口向上.，，函数的图象与y轴交于负半轴.，，，即函数的图象的对称轴在x轴左侧，∴符合上述条件的是C选项. 5.答案：A 解析：通解：要判断方程的根的情况，只需判断抛物线与直线的交点情况.因为抛物线开口向下，顶点坐标为，所以画出抛物线与直线，如图所示.由图可知，抛物线与直线有两个交点，故方程有两个不相等的实数根. 另解：由题意，知二次函数的解析式为， ，即，解得或，故该方程有两个不相等的实数根. 6.答案：C 解析：当时和当时的函数值相同， 对称轴为直线，故②正确； ， 顶点的纵坐标小于时的函数值， 函数开口向上，故①正确； 函数开口向上，且与x轴交于和， 当时，，故③错误； 函数与x轴交于和， 抛物线与轴的两个交点间的距离是4，故④正确； 函数开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ，是抛物线上两点，且， ，故⑤正确； 故选：C. 7.答案：B 解析：，图象对称轴为直线. ，，，， 点离对称轴最远，点离对称轴最近. 当时，抛物线开口向上，； 当时，抛物线开口向下，.综上，和均可能最大，也可能最小，不可能最大，也不可能最小.故选B. 8.答案：B 解析：如图，作轴于点H，. ∵菱形OABC的边长为2，，. ， ，， ，. 将和代入，得解得的值为. 故选B. 9.答案：D 解析：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴点在对称轴上，为顶点，即最低点，故最小. ∵点在对称轴右侧，，即， ，点在对称轴左侧. 点B离对称轴的距离为，点A离对称轴的距离为. ，点B离对称轴更远，故.综上，. 10.答案：C 解析：根据抛物线的开口方向和对称轴位置可知，，； 根据抛物线与y轴交于负半轴可知，，，故A中结论错误. 设抛物线与x轴负半轴的交点的坐标为，则对称轴为直线. ，，即，由此可得， ①，，故B中结论错误. 根据题中函数图象可知当时，，，故D中结论错误， ②.①+②得，，故C中结论正确.故选C. 11.答案：， 解析：关于x的方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，故关于x的方程的解为，. 12.答案：且 解析：抛物线与x轴有交点， ， ， 又， ， k的取值范围是且； 故答案为：且. 13.答案：（答案不唯一） 解析：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）. 14.答案：4 解析：，是抛物线上不同的两点，和是该抛物线上一组对称点，，，点，即在抛物线上，. 15.答案：或 解析：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或. 16.答案：或 解析：是以CD为底的等腰三角形， 点P在线段CD的垂直平分线上， 如图，过P作轴于点E，则E为线段CD的中点， 抛物线与y轴交于点C， ，且， E点坐标为， P点纵坐标为2，在中，令，可得， 解得，P点坐标为.或， 故答案为：.或.. 17.答案：（1）， （2）存在， 解析：（1）将点，的坐标分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为. ， ∴点. （2）对于， 令，则， 解得，，点. 设点，其中，则点. ，， 解得（舍去），， ∴点. 18.答案： 解析：因为点A与点B关于y轴对称， 所以抛物线的对称轴为y轴，即直线， 解得或. 当时，抛物线的解析式为. 此时一元二次方程的根的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，所以抛物线与x轴有两个交点，符合题意. 当时，抛物线的解析式为. 此时一元二次方程的根的判别式，所以方程没有实数根， 所以抛物线与x轴无交点，不符合题意，舍去.所以此抛物线的解析式为. 19.答案：（1）①-3 ②见解析 ③2或-21 （2） （3）或 解析：（1）①-3 根据题中表格数据可知y与x的几组对应值关于直线对称， 与对应的函数值相等，. ②当时函数M的图象如图所示. ③2或-21 （2） ∵关于x的方程有4个实数根，∴函数的图象与的图象有4个交点，根据图象可得. （3）根据函数图象，可得m的取值范围为或. 20.答案：（1） （2）① ② 解析：（1）∵抛物线过点，，且它的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为. 设抛物线表达式为. 把代入，得，解得，此抛物线的表达式为. （2）①如图（1），点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设，直线OA的表达式为，则，解得，，直线OA的表达式为. 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则，. ，解得或（舍去）， ∴点B的坐标为. ②设直线AB的表达式为.把，， 代入得解得 ∴直线AB的表达式为. 如图（2），当的值最大时，点A，B，P在同一条直线上. ∵P是抛物线上的动点，∴联立得解得（舍去），. 学科网（北京）股份有限公司 $