26.3 二次函数与一元二次方程&26.4 实际问题与二次函数 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

参考答案 a b 第二十五章一元二次方程 2.(4z=-b±店=4ac(B-4ac≥0) 2a 25.1一元二次方程的概念 直接开平方法→因式分解法→公式法 1.一整2 3.(1)有两个不相等的实数根 2.ax2+bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数) (2)有两个相等的实数根(3)没有实数根 3.左右两边未知数 46 25.2降次一解一元二次方程 a a 25.2.1配方法 第二十六章二次函数 第1课时直接开平方法 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 26.1二次函数的概念 2.(1)Wa-√a(2)-a+b-a-√b 自变量二次项系数一次项系数常数项 (3)n-6=n-五 26.2二次函数的图象和性质 a 3.降次 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第2课时配方法 1.(1)抛物线y(0,0)a>0上方a<0下方 1.配方法 (2)大小 2.方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k 常数项右移 的图象和性质 方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 为(x十m)2=n的形式 1.(1)k|k>0k<0 开平方求解 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 25.2.2 公式法 1.(1)|hlh>0h<0 1.62-4ac b2-4ac 章末复习 2.(1)两个不相等的实数根 知识梳理 (2)两个相等的实数根两个实数根(3)无实数根 1.a.x2+bx+ca≠0 3.x=-b±yB-4ac 求根公式公式法 Za 2.(1)抛物线 4.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (2)①向上向下越窄②y轴左右 (3)计算b2一4ac的值 ③原点正半轴负半轴④两个一个没有 (4)当b一4ac≥0时，用公式求出原方程的根 3.y轴(0,0)y轴(0，k)x=h(h,k) 25.2.3因式分解法 1.一次式02.降次至少一个数为0 第二十七章 反比例函数 3.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 27.1反比例函数的概念 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.y=飞 不等于零的一切实数 1.-b a a ，≥ 27.2反比例函数的图象和性质 2.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥0 第1课时反比例函数的图象和性质 25.3实际问题与一元二次方程 1.双曲线 第1课时变化率问题 第2课时反比例函数中的系数 变化前的数变化后的数降低（或增长）的百分率 章未复习 1.(1)(2)21 知识梳理 「y=k.x+b 1.只含有一个未知数未知数的最高次数是2 2. 二次项系数不为0整式方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 2- ·56·y=2x2+4x =2(x2+2x+1)-2 =2(x+1)2-2. .开口向上，对称轴x=一1，顶点坐标(-1，一2). 【规律与方法】已知抛物线上三点坐标通 常选用一般式，将三点坐标代入一般式便可得到 一个关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c 的值即可. ★考点2：用顶点式y=a(x-h)2十k求二次 函数的解析式 【例2】抛物线顶点为M(-1,-2),且经 过点N(1,10),求抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)2-2, 把N(1,10)代入抛物线解析式，得10=a(1+ 1)2-2,解得a=3, 故y=3(x+1)2-2=3x2+6x+1. 【规律与方法】已知抛物线的顶点坐标或 对称轴与最值，一般选用顶点式，结果化为一 般式。 26.3二次函数 【基础导学】 1.对抛物线y=ax2+bx十c(a≠0) (1)它与x轴交点的横坐标是方程ax2+ bx十c=0的实根. (2)它与y轴的交点的纵坐标是c,即由x= 0,得y=c. (3)在x轴上方的图象上，所有点的横坐标 的集合为不等式ax2十bx十c>0的解集；在x轴 下方的图象上所有点的横坐标的集合是不等式 ax2十bx十c<0的解集 2.求抛物线y=ax2十bx十c与直线y=kx+ [y=ax2+bx+ m的交点坐标就是方程组 的解。 y=kx十m 3.抛物线与一元二次方程两根的关系 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 ★考点3：用交点式y=a(x一x1)(x-x2)求 二次函数的解析式 【例3】抛物线经过点A(一1,0)、B(3,0)、 C(0,6). (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标. 解：设抛物线的解析式为y=a(x一x1)(x一 x2)得， (1)由题可设y=a(x+1)(x-3), 把C(0,6)代入解析式， 即6=a(0+1)(0-3), 解得a=-2, ∴.y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6. (2).y=-2x2+4x+6, .y=-2(x2-2x+1)+2+6 =-2(x-1)2十8 .抛物线的顶点坐标为(1,8). 【规律与方法】已知抛物线与x轴的交点 坐标一般选用交点式，这样解题较容易 与一元二次方程 A(,0),B(x2,0),则x1、x2为一元二次方程 a.x2十bx十c=0两实根，于是： ①x1十x2=- @=后@AB=合 a 4.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的 个数 (1)两个交点台△>0. (2)只有一个交点台△=0. (3)无交点台△<0. 8 【典例探究】 (2)图略，与x轴交于(-3,0)和(1,0). ★考点1：抛物线与x轴的交点 x=-3或1时，y=0;x>1或x<-3时， 【例1】已知抛物线y=mx2+x+3m-5n y>0; 的图象与x轴有唯一的公共点(3,0)，求m、n 当-3<x<1时，y<0. 的值 【规律与方法】正确画图，读图是求解的关 解：抛物线与x轴只有一个交点， 键，而求解的根据是二次函数与二次方程、不等 说明一元二次方程有两个相等的实数根， 式的关系 即△=0，由对称轴x=3, ★考点3：求抛物线与直线的交点坐标 得2-3m= 【例3】已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和 6, 直线y2=mx十1相交于点P(3,4m), 由-日×9+3+3×（名 ）-5n=0,得 (1)求这两个函数的关系式； (2)求抛物线与直线相交时的交点坐标. n-5 解：(1)把P(3,4m)代入y2=mx+1,求得 【规律与方法】抛物线与x轴只有一个交 m=1,∴.y2=x+1, 点，说明一元二次方程有等根，即△=0，由此可 把P(3,4)代入y1=2x2-8x+k+8,求得 建立关于b、c的一个方程.注意二次函数与一元 k=2, 二次方程的联系，并用它解决实际问题。 .y1=2x2-8x+10; ★考点2：利用二次函数的图象解方程和不 y=2x2-8.x+10 (2)解方程组 等式 (y=x+1 【例2】已知二次函数的图象的顶点坐标为 得1.5∫-3 (-1,-8),且图象过点(-2，-6). y=2.5'1y2=4 (1)求此二次函数的解析式； ∴.两图象相交于(1.5,2.5)、(3,4)两点 (2)作此二次函数的图象，并求当x为何值 【规律与方法】将代数问题转化成图形的 时y=0;y>0;y<0? 问题解决，反之亦然，这是数形结合的实质.本题 解：(1).函数图象的顶点坐标为（一1，一8）， 在求出两函数关系式后，解方程组即可求得抛物 .设此二次函数的解析式为y=a(x十1)2一8. 线与直线的交点坐标 又.图象过点(-2，-6)，a=2. .此二次函数的解析式为y=2(x+1)2-8; 26.4实际问题与二次函数 第1课时实际问题与二次函数（一） 关知识和经验， 【基础导学】 (2)通过列表、画图，找出等量关系。 用二次函数的最值解决实际问题中的“最 (3)设取“最值或最优值”的量为y,另一个 大”或“最小”或“最优”等问题 影响该量的变量为x. (1)审题和分析出实际问题的类型、联想相 (4)以(2)中等量关系为y是x的二次函数. ·19· (5)确定自变量x的取值范围， (6)在x的取值范围内求二次函数的最值. (7)对实际问题作答 【典例探究】 ★考点1：实际问题中的图形面积问题 【例1】在美化校园的活动中，某兴趣小组 想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只 围AB,BC两边)，设AB=xm. P。 (1)若花园的面积为192m,求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离 分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含 边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最 大值. 解：(1).AB=x,则BC=(28-x), ∴.x(28-x)=192, 解得：x=12,x2=16, 答：x的值为12或16； (2).AB=xm, ∴.BC=28-x, .S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+ 196, .在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分 别是15m和6m, .28-15=13, .6≤x≤13， ∴.当x=13时，S取到最大值为：S=-(13 14)2+196=195, 答：花园面积S的最大值为195平方米. ★考点2：实际问题中的最大利润问题 【例2】某超市销售一款“免洗洗手液”，成 本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每 2 天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销 售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每 天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）. (1)求这款“免洗洗手液”每天的销量y(瓶) 与销售单价x(元)之间的函数关系式 (2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗 洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多 少元？ 解：(1)y=80+20×20-x, 0.5, .y=-40x+880. (2)每天的销售利润=(-40x+880)(x一 16)=-40(x-19)2+360. 当x=19时，0最大，w最大=360元. 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗 洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为 360元. ★考点3：几何问题中的最值问题 【例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx十c (a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与 y轴交于点C,且OC=OB. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连 接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求 出此时点E的坐标 答图 解：(1)，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x 轴交于点A(1,0)和点B(-3,0), ∴.OB=3, .'OC=OB, ∴.OC=3,∴.c=3, :a+6+3=0 a=-1 ,解得： 9a-3b+3= b=-21 .所求抛物线解析式为：y=一x2-2x十3； (2)如答图，过点E作EF⊥x轴于点F, 设E(a,-a2-2a+3)(-3<a<0), .EF=-a2-2a+3,BF=a+3,OF=-a, ∴Sa进wmE=2BF·EF+20C+E的OR, -2(a+3)(-a2-2a+3)+ 7(-a2-2a+6)…(-a -a+， 、3z29】 、3 89 小当a=一号时， Sg选#oCE最大，且最大值为3. 8 此时点E坐标为（一号，只。 【规律与方法】1.求解析式的关键是确定 图象上点的坐标，点坐标的确定关键要看题中所 给的条件适合哪种方法， 2.几何类型题的最大值求法，先根据图形中 的关系建立函数关系，再求最大值. 第2课时实际问题与二次函数（二） 【基础导学】 用二次函数知识解决实际问题的步骤 (1)根据实际情况建立适当的平面直角坐 标系 (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联 系起来 (3)用待定系数法求出抛物线的解析式. (4)用二次函数的性质去分析、解决问题. (5)根据题的要求作答， 2 【典例探究】 ★考点：利用二次函数解决实际问题 【例】某跳水运动员进行10m跳台跳水训 练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图 所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标 出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时，正 常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10号m,人水处距池边的距离为4m,同时，运动 员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻 腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误 (1)求这条抛物线的函数关系式； (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运 动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整 好人水姿势时，距池边的水平距离为3号m,问 此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. 3m- 10m 水面B 逝晶 解：(1)设抛物线的解析式为 y=a.x2+bx+c,过点O(0,0),点B(2,-10),最 大位号，得y=-252+10, 6 3x; (2)当x=33-2时，10+y<5,因此，此次 5 会出现失误， 【规律与方法】这类题只要把图中信息变 成点的坐标，再据抛物线的位置选择恰当解析 式，问题就可解决.(1)根据条件建立适当的直角 坐标系，可以简便解决问题；(2)将题目中的条件 转化为函数关系中的值进行计算来看是否符合 要求.