25.2.4～25.3 一元二次方程根与系数关系 实际问题与一元二次方程 周练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷聚焦一元二次方程核心内容，以新能源汽车销量、东方白鹳文创等时代情境为载体，通过A/B/C分层设计（如基础计算、综合应用、动态探究），覆盖根与系数关系、增长率模型、面积问题等知识点，适配九年级周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/30分|根与系数关系、传染问题|结合2026年期末真题，基础概念辨析| |填空题|6题/30分|韦达定理应用、增长率计算|设置双空题（如第7题），融合代数变形| |解答题|8题/40分|面积问题（13题）、利润模型（20题）、动态几何（19题）|分层设计：A层基础应用（13题饲养场）、B层综合推理（15题根的性质）、C层创新探究（20题进价优惠）|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第25章 一元二次方程（25.2.4～25.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•宁国市期末）·【A】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 2．（2026春•台州期中）·【A】设m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则mn的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 3．（2026春•上城区校级期中）·【A】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 4．（2025秋•普陀区期末）·【A】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 5．（2026春•瑶海区校级期中）·【B】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025秋•岳池县校级期末）·【B】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•同步）·【A】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　 　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　 　 ． 8．（2026春•上城区期末）·【A】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　 　 ． 9．（2025秋•长宁区校级期末）·【A】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　 　 米． 10．（2026春•安徽校级期末）·【A】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　 　 ． 11．（2026春•东营区期末）·【A】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　 　 ． 12．（2026春•上城区校级期中）·【B】对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•拱墅区校级开学）·【A】某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为8米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 14． （2025秋•武汉期末）·【B】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 15．（2026春•亳州期末）·【B】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 16．（2026春•海淀区校级期末）·【B】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 17．（2026春•包河区校级期中）·【B】一元二次方程ax2+（b+3）x+9＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2且x1≠x2． （1）若此方程一个根为﹣1，则a﹣b＝　 　 ； （2）当x1＝1，x2＝﹣3时，求a，b的值； （3）若4ak＝b，时，求证：． 18．（2025秋•宝应县期末）·【B】某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 19．（2025秋•永顺县期末）·【C】如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．（2026春•裕安区校级期末）·【C】杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．请回答： ①若该专卖店销售这种核桃希望平均每天获利2240元，且尽可能让利于消费者，则每千克核桃应降价多少元？ ②经与供应商协商，推出批量进货优惠：当每天销售量超过200千克时，每多销售1千克，所有核桃的进货单价均可降低0.2元（最低进价不低于35元/千克）．问：该专卖店能否实现平均每天获利2640元？若能，求出此时的售价；若不能，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A C D D C 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•宁国市期末）·【A】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 【答案】D 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根是m，n， ∴，． 故选：D． 2．（2026春•台州期中）·【A】设m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则mn的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣1． 故选：A． 3．（2026春•上城区校级期中）·【A】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 【答案】C 【解答】解：由题意，∵经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝64， ∴（1+x）2＝64． 故选：C． 4．（2025秋•普陀区期末）·【A】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，∵此理财产品的收益率为x， ∴将两次返还金额折现到当前，现值之和应等于本金 10000元， ∴10000． 故选：D． 5．（2026春•瑶海区校级期中）·【B】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D ②先求ax2+c＝0的根的判别式，再判断方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的正负； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同，再根据根与系数的关系进行判断即可； ④将9n2﹣3n﹣1＝0两边同除以﹣n2，得． 【解答】解：①由题意，当x＝1时，a+b+c＝0， ∴x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，方程有实数根， ∴b2﹣4ac≥0，故①正确； ②若ax2+c＝0有两个不相等的实根，则其判别式Δ＝02﹣4ac＝﹣4ac＞0， 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0，﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实根，故②正确； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同， ∵原方程一个根为m，设另一根为n，原方程整理得， ∴m+n＝﹣2，即n＝﹣2﹣m， ∴t的根为m和﹣2﹣m， ∵x＝t+1， ∴两根为m+1和（﹣2﹣m）+1＝﹣m﹣1，故③正确； ④∵n≠0，9n2﹣3n﹣1＝0， ∴， ∵m2+3m﹣9＝0，且， ∴m和是方程x2+3x﹣9＝0的两根， ∴，即，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 6．（2025秋•岳池县校级期末）·【B】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【答案】C 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•同步）·【A】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　6　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　2　 ． 【答案】（1）6；（2）2． （2）分别求出一元二次方程p，q的解，即可得出p＝2q，代入式子即可得出答案． 【解答】解：（1）由已知可知，m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， 由韦达定理得：m+n＝2a，mn＝2， ∵（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2＝4a2﹣4﹣2×2a+2＝4， ∴在a≥2时，a＝2（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，最小值为43＝6， 故答案为：6； （2）由p2＝3p+2，整理得p2﹣3p﹣2＝0，解得：p， 由2q2＝3q+1，整理得2q2﹣3q﹣1＝0，解得：q， ∴p＝2q， ∴2， 故答案为：2． 8．（2026春•上城区期末）·【A】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　±2　 ． 【答案】±2． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n， ∴m+n＝﹣b，mn＝1，且Δ＝b2﹣4＞0， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝b2﹣2＝6． ∴b＝±2，满足Δ＝b2﹣4＞0， 故答案为：±2． 9．（2025秋•长宁区校级期末）·【A】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　80　 米． 【答案】80． 【解答】解：设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米， 依题意得：x（x+10）＝375， 整理得：x2+10x﹣375＝0， ∴x1＝15，x2＝﹣25（不合题意，舍去）， ∴x+10＝25． ∴这个长方形游泳池的长为25米，宽为15米． ∴该长方形游泳池的周长等于2（25+15）＝80（米）． 故答案为：80． 10．（2026春•安徽校级期末）·【A】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　10%　 ． 【答案】10%． 【解答】解：设该新能源汽车月平均增长率为x， ∴（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（负值不合题意，舍去）， ∴该新能源汽车月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 11．（2026春•东营区期末）·【A】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　10%　 ． 【答案】10%． 【解答】解：由题意，设这款挂件销量的月平均增长率为x， ∴1×（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 12．（2026春•上城区校级期中）·【B】对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则（﹣1）×2＝﹣2， ∴c＝2a， ∴2a﹣c＝0，故①正确； 若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0， ∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0，故②错误； 若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0， 即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1，故③正确； 若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0）， 当时，， ∴若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0．一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•拱墅区校级开学）·【A】某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为8米，则BC＝　24　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）（48﹣3x）； （2）边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． （2）根据矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为25米，即可确定结论； （3）假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米，根据矩形饲养场ABCD的面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣64＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【解答】解：（1）根据题意得：BC＝45+3﹣3×8＝48﹣24＝24（米）， 故答案为：24； （2）由题意，设CD＝xm， ∴x（48﹣3x）＝189， ∴x2﹣16x+63＝0， ∴x1＝7，x2＝9， ∴当x＝7时，48﹣3x＝48﹣3×7＝27＞25，不符合题意，舍去； 当x＝9时，48﹣3x＝48﹣3×9＝21＜25，符合题意． 答：边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 14．（2025秋•武汉期末）·【B】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2． 【解答】解：由题意，设方程的另一个根为a， ∴4a＝﹣8，4+a＝﹣m， ∴a＝﹣2，m＝﹣2． 答：m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2． 15．（2026春•亳州期末）·【B】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 【答案】（1）m≤2且m≠1； （2）①；②． （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【解答】解：（1） ∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，且m﹣1≠0， ∴m≤2且m≠1； （2）当m＝﹣2时，﹣3x2﹣2x+1＝0，整理得3x2+2x﹣1＝0， ∵a，b是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个实数根， ∴， ①； ②． 16．（2026春•海淀区校级期末）·【B】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 【答案】（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0），∴Δ＝（m2+2）2﹣4×m×2m＝m4﹣4m2+4＝（m2﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）m＝1或2． （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值． 【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴Δ＝（m2+2）2﹣4×m×2m＝m4﹣4m2+4＝（m2﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意，∵mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴（mx﹣2）（x﹣m）＝0． ∴x或x＝m． ∵方程的两个根均为正整数，即为正整数，m为正整数， ∴m＝1或2． 17．（2026春•包河区校级期中）·【B】一元二次方程ax2+（b+3）x+9＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2且x1≠x2． （1）若此方程一个根为﹣1，则a﹣b＝　﹣6　 ； （2）当x1＝1，x2＝﹣3时，求a，b的值； （3）若4ak＝b，时，求证：． 【答案】（1）﹣6； （2）﹣3，﹣9； （3）由韦达定理得：， ∴， ∴， 两边同除4得：， ∵4ak＝b， ∴，即． （2）依据题意，由韦达定理得：，则，进而可以得解； （3）依据题意得，，则，从而，两边同除4得：，结合4ak＝b，进而，即． 【解答】（1）解：由题意，设x1＝﹣1， ∵x1+x2，x1x2， ∴﹣1+x2，﹣x2， ∴﹣1， ∴﹣a﹣9＝﹣b﹣3． ∴a﹣b＝﹣6． 故答案为：﹣6； （2）解：由韦达定理得：， ∴． ∴a，b的值分别为﹣3，﹣9； （3）证明：由韦达定理得：， ∴， ∴， 两边同除4得：， ∵4ak＝b， ∴，即． 18．（2025秋•宝应县期末）·【B】某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（601）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 19．（2025秋•永顺县期末）·【C】如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2s； （3）当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． （2）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 20．（2026春•裕安区校级期末）·【C】杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．请回答： ①若该专卖店销售这种核桃希望平均每天获利2240元，且尽可能让利于消费者，则每千克核桃应降价多少元？ ②经与供应商协商，推出批量进货优惠：当每天销售量超过200千克时，每多销售1千克，所有核桃的进货单价均可降低0.2元（最低进价不低于35元/千克）．问：该专卖店能否实现平均每天获利2640元？若能，求出此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）20%； （2）①每千克核桃应降价6元； ②该专卖店能实现平均每天获利2640元，此时的售价为46元/千克或48元/千克． （2）①设每千克核桃降价y元，则每千克的销售利润为（20﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让利于消费者，即可确定结论； ②该专卖店能实现平均每天获利2640元，设每千克核桃降价m元，分0＜m≤10，10＜m≤12.5及m＞12.5三种情况考虑，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再将符合题意的值代入（60﹣m）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为x， 根据题意得：4000（1+x）2＝5760， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为20%； （2）①设每千克核桃降价y元，则每千克的销售利润为60﹣40﹣y＝（20﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克， 根据题意得：（20﹣y）（100+10y）＝2240， 整理得：y2﹣10y+24＝0， 解得：y1＝4，y2＝6， 又∵要尽可能让利于消费者， ∴y＝6． 答：每千克核桃应降价6元； ②该专卖店能实现平均每天获利2640元，设每千克核桃降价m元， 当0＜m≤10时，每千克的销售利润为60﹣40﹣m＝（20﹣m）元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：（20﹣m）（100+10m）＝2640， 整理得：m2﹣10m+64＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×64＝﹣156＜0， ∴原方程没有实数根， ∴当0＜m≤10时，该专卖店不能实现平均每天获利2640元； 当10＜m≤12.5时，每千克的销售利润为60﹣[40﹣0.2（100+10m﹣200）]﹣m＝m元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：m（100+10m）＝2640， 整理得：m2+10m﹣264＝0， 解得：m1＝12，m2＝﹣22（不符合题意，舍去）， ∴60﹣m＝60﹣12＝48（元/千克）； 当m＞12.5时，每千克的销售利润为60﹣35﹣m＝（25﹣m）元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：（25﹣m）（100+10m）＝2640， 整理得：m2﹣15m+14＝0， 解得：m1＝1（不符合题意，舍去），m2＝14， ∴60﹣m＝60﹣14＝46（元/千克）． 答：该专卖店能实现平均每天获利2640元，此时的售价为46元/千克或48元/千克． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $