25.2.4一元二次方程根与系数的关系培优压轴题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

一元二次方程根与系数的关系

拆分突破9 根系关系(一)对称式求值

 

 

必刷考点一 直接求

1.若α，β是一元二次方程 的两根，则 的值是         .

 

 

必刷考点二  降次求

2.(2025 宿迁中考)方程 的两个根分别是m，n，则 的值是         .

 

 

3.已知a，b是方程 的两根，则代数式 的值为         .

 

 

必刷考点三 平方求

4.(2025华一光谷)已知a,b 是方程 的两根，则 的结果是(     )

A.               B.  C.  D.

 

 

必刷考点四 变式求

5.(1)阅读材料：设一元三次方程 有三个根.x₁,x₂,x₃,则原方程可化为 展开整理得， 比较系数，可以得到：

(2)解决问题：若方程 的三个根为α，β，γ，则 的值是          .

 

 

 

 

拆分突破10 根系关系(二)非对称式求值

若x₁,x₁是方程 的两个根，利用根的定义降次：

 

必刷考点一  代换单根整体求

1.若a，b是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，则 b+1的值为         .

 

 

2.若α,β是方程 的两个实数根，则代数式 的值为(     )

A.-2011        B.-2 013 C.2 011          D.2 023

 

 

 

必刷考点二  代换双根降次求

3.(2026光谷实验质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两根，则 2 025 的值是         .

 

 

4.(2025武汉三初)已知a,b是方程 的两根，则 的值为(    )

A.14                     B.15              C.19        D.20

 

 

 

必刷考点三 倒数代换整体求

5.(2026武昌)已知a,b是方程 的两个实数根，则 的值为        .

 

6.(2026七一华源质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两个根，则 的值为         .

 

必刷考点四  转化对称整体求

7.(2025 武钢实验)若α,β是方程 的两根(α>β),则 的值为         .

 

 

 

拆分突破11 根系关系(三)求参数的值

必刷考点一 利用判别式取舍

根系关系的使用前提是：a≠0，且△≥0.
同号根	异号根
同正根   且	异号且正根绝对值大 且
同负根   且	异号且负根绝对值大 且

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.(2026南通)已知关于x的一元二次方程 的两个根互为倒数，则m 的值为         .

 

2.设x₁,x₂是关于x的方程 的两个实数根.

(1)求k 的取值范围；

(2)当k 为何值时, 取得最小值?

 

 

 

 

必刷考点二 利用两根关系求

3.已知关于x的方程 的两根α,β满足3α=2β,则t 的值为         .

 

 

4.(2026武汉外校)关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂.若 x₁x₂,则k 的值是         .

 

必刷考点三 利用两根分布求

5.(2026大连)关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k 的取值范围为(     )

A. k≤5且k≠1            B.1<k<5         C.1≤k≤5        D.1<k≤5

 

 

6.(2026一初替泉)关于x的一元二次方程 其中k 为常数.若原方程的一根大于3，另一根小于3，则k 的最大整数值是         .