25.2.4一元二次方程根与系数的关系培优压轴题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程根与系数的关系同步练，以分层递进的考点突破为特色，通过从基础求值到综合应用的路径，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|对称式/非对称式求值|直接求、降次求等基础题型，强化根系关系直接应用| |方法提升层|参数计算、绝对值处理|结合判别式取舍、分类讨论去绝对值，培养逻辑推理| |综合拓展层|构方程、几何应用、多结论判断|通过几何模型构建、多结论辨析，发展模型意识与创新思维|

一元二次方程根与系数的关系 拆分突破9 根系关系(一)对称式求值 必刷考点一 直接求 1.若α，β是一元二次方程 的两根，则 的值是 . 必刷考点二 降次求 2.(2025 宿迁中考)方程 的两个根分别是m，n，则 的值是 . 3.已知a，b是方程 的两根，则代数式 的值为 . 必刷考点三 平方求 4.(2025华一光谷)已知a,b 是方程 的两根，则 的结果是( ) A. B. C. D. 必刷考点四 变式求 5.(1)阅读材料：设一元三次方程 有三个根.x₁,x₂,x₃,则原方程可化为 展开整理得， 比较系数，可以得到： (2)解决问题：若方程 的三个根为α，β，γ，则 的值是 . 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破10 根系关系(二)非对称式求值 若x₁,x₁是方程 的两个根，利用根的定义降次： 必刷考点一 代换单根整体求 1.若a，b是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，则 b+1的值为 . 2.若α,β是方程 的两个实数根，则代数式 的值为( ) A.-2011 B.-2 013 C.2 011 D.2 023 必刷考点二 代换双根降次求 3.(2026光谷实验质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两根，则 2 025 的值是 . 4.(2025武汉三初)已知a,b是方程 的两根，则 的值为( ) A.14 B.15 C.19 D.20 必刷考点三 倒数代换整体求 5.(2026武昌)已知a,b是方程 的两个实数根，则 的值为 . 6.(2026七一华源质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两个根，则 的值为 . 必刷考点四 转化对称整体求 7.(2025 武钢实验)若α,β是方程 的两根(α>β),则 的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破11 根系关系(三)求参数的值 必刷考点一 利用判别式取舍 根系关系的使用前提是：a≠0，且△≥0. 同号根 异号根 同正根 且 异号且正根绝对值大 且 同负根 且 异号且负根绝对值大 且 1.(2026南通)已知关于x的一元二次方程 的两个根互为倒数，则m 的值为 . 2.设x₁,x₂是关于x的方程 的两个实数根. (1)求k 的取值范围； (2)当k 为何值时, 取得最小值? 必刷考点二 利用两根关系求 3.已知关于x的方程 的两根α,β满足3α=2β,则t 的值为 . 4.(2026武汉外校)关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂.若 x₁x₂,则k 的值是 . 必刷考点三 利用两根分布求 5.(2026大连)关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k 的取值范围为( ) A. k≤5且k≠1 B.1<k<5 C.1≤k≤5 D.1<k≤5 6.(2026一初替泉)关于x的一元二次方程 其中k 为常数.若原方程的一根大于3，另一根小于3，则k 的最大整数值是 . 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破12 根系关系(四)去绝对值 必刷考点一 分类讨论去绝对值 1、如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一根的绝对值比另一根大3，那么称这样的方程为“邻根方程”.已知关于x 的方程. (1)求证：无论 m 为何实数，方程总有实数根； (2)若该方程是“邻根方程”，求m 的值. 必刷考点二 隐含条件去绝对值 2.已知关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂. (1)求实数k 的取值范围； (2)若x₁,x₂满足 求k 的值. 必刷考点三 平方法去绝对值 3.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为 且 求m 的值. 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破13 根系关系(五)构一元二次方程 必刷考点一 定义逆用构方程 1.已知两个不等的实数m，n满足等式 求 的值. 2.(2025襄阳)已知四个不等的实数a，b，m，n分别满足等式((a+m)(a+n)=7,(b+m)(b+n)=7,求(a+n)(b+n)的值. 必刷考点二 转化等式构方程 3.已知实数a，b满足 且a≠3b,求 ab 的值. 4.(2025 武汉外校)已知a,b(ab≠1)满足等式 求 的值. 必刷考点三 根系关系构方程 5.已知实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=54.若c>0,求c的最小值. 6.已知实数m，n满足 求实数a 的最大整数值. 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破14 根系关系(六)几何中的运用 1.如图,在矩形ABCD中,AB=a,AD=b(a>b). (1)若a,b 是关于x的方程 的两根，且满足 求k的值； (2)在(1)的条件下,P 为CD上一点(异于C,D 两点),当点 P 在什么位置时,△APB 为直角三角形? (3)P 为CD上一点(异于C，D 两点)，当a，b满足什么条件时，使△APB 为直角三角形的点P 有且只有一个? 2.(2025光谷实验)如图,在等边△ABC中,P 是BC 下方一动点,且∠BPC=120°,PB,PC的长是关于x 的方程( 的两个实数根. (1)求证:PA 平分∠BPC; (2)当a 的值发生变化时，小丁认为：△ABC 的面积是定值；小吴认为：四边形ABPC 的面积为定值.请判断谁的结论是正确的?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 拆分突破15 一元二次方程多结论 必刷考点一 根的定义与根的判别式 1.下列说法：①若一元二次方程 有一个根是a(a≠0)，则代数式a+b的值是-1;②若 则关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根；③若b=a+2c，则关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根；④已知两实数m，n满足 且m≠n,则 的值为-3.其中正确的有 (填序号). 必刷考点二 根的判别式与根系关系 2.对于一元二次方程 下列结论：①若b>a+c，则一元二次方程 bx+c=0有两个不相等的实数根；②若a+b+c>0,a-b+c<0,则方程 定有两个不相等的实数根；③若 则方程 定有两个不相等的实数根；④若 ac<0，且b=0，则方程两个实数根一定互为相反数.以上结论正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 必刷考点三 新定义 3.(2026武昌)定义:方程 是方程 的“倒方程”.下列结论:①若x=-2是 的倒方程的一个解，则 ②一元二次方程 +c=0与它的倒方程有公共解；③若一元二次方程 无解，则它的倒方程也无解;④若 ac<0,则 与它的倒方程都有两个不相等的实数根.上述结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识板块三 一元二次方程根与系数的关系 拆分突破9 根系关系(一) 对称式求值 解： 2.-4048 解:∵m+n=2024,mn=-2025, ∴原式=(m-1)(n-1) = mn-(m+n)+1 =-2025-2024+1 =-4048. 3.1解：∵a，b是一元二次方程 3x+1=0的根, 且a+b=3, ab=1, 即 =1. 4. B 解:∵a+b=-5<0, ab=3>0,∴a<0,b<0. 法·一： 12,且 法二：原式 故选 B. 5.解:(1)-b/ a c/a - d/a (2)利用上题结论可知:α+β+γ= 拆分突破10 根系关系(二) 非对称式求值 1.4 043 解： 2 022, (a+b)+1=2×2022+(-2)+1=4043. 2. C 解: 2017-2×3=2011.故选 C. 3.2029 解: =0. m+n=1, m=m+1+m=Im+1, +1+n+2 025=2(m+n)+2027=2×1+2027=2029. 4. B 解: ∴原式=2a(a+1)+3b(b+1)+5a 2(a+1)+3(b+1)+7a+6b+1=9(a+b)+6=9×1+6=15.故选 B. 解： 5. 6.27解： Bame=-2,m+n=S, 3m)+2+3n+18(n-3)+n+1= 2)+22n-51=22m+22π-39=22(m+n)-39=66-39=27. 解:由题意知a+β=7,ap=-1.设 则 由①÷②,得 拆分突破11 根系关系(三) 求参数的值 1.-3 解: 解得 当m=2时, -4×1×1=-3<0,无实数根;当m=-3时,△=16-4=12>0,方程有两个不相等的实数根. ∴m的值为-3. 2.解：(1)∵方程有两个实数根.x₁,x₂, 2)≥0,即-24k+16≥0, ∴当 时， 取得最小值. 3.-3 解: 3a=2β, 4.-3解： 8k≥0,解得 解得 5. D 解: 80-16k≥0,解得k≤5,且k≠1. x₁ >0,即k>1,综上所述,1<k≤5. 6.2解：设方程的两个根分别是x₁，x₂,得 即x₁x₂ 又 代人,得1-k-3(5-k)+9<0,解得 当k=2时，△>0，则k的最大整数值为2.拆分突破12 根系关系(四) 去绝对值 1.解:( ∴无论m为何实数，方程总有实数根； (2)设该方程的两根为x₁,x₂,且|x₁| 由根系关系，得 ①当 时， =3, 解得 ②当 时， ∴m=-2. 综上，m的值为0或-2. 2.解:(1)根据题意,得 解得 (2)根据题意，得 整理，得 解得 ∴k=2. 3.解:(1)由题意,得 ∴△>0, ∴方程总有两个不相等的实数根； (2)由题意，得 ∴m的值为4或-2. 拆分突破13 根系关系(五) 构一元二次方程 1.解:∵m≠n, ∴m,n 是方程 的两个根， ∴m+n=2. ∴原式=2m+2 025+2n=2(m+n)+2025=2029. 2.解:∵a≠b, ∴由题意知a，b是关于x的方程(x+m)(x+n)=7的两个根, 即 的两根为a,b, ∴a+b=-(m+n), ab= mn-7, ∴原式 3.解: ∵a≠3b, ∴a，3b 可看作一元二次方程 2x-3=0的两根, ∴a·3b=-3; ∴ab=-1, 4.解: ∴b≠0, ∵ab≠1, ∴a, 可看作一元二次方程 2021x+9=0的两根, 5.解：由题意，得a+b=-c, 当a≠b时，a，b可看作关于x的方程 的两根， ∵c>0, ∴c≥6.当a=b|时， ∴c³=216, ∴c=6. 综上所述，c的最小值为6. 6.解: ∴m+n=a-3, ∴m，n可看作关于x 的一元二次方程 的两根， 0，解得 ∴实数a 的最大整数值为10. 拆分突破14 根系关系(六) 几何中的运用 1.解:(1)∵a+b=k, ab=k+4, 40, ∵k=a+b>0, ∴k=8; (2)当k=8时, 又∵a>b, ∴a=6,b=2. ∵∠APB=90°, 设 解得 ∴当 时,△APB 为直角三角形； (3)同(2)可列方程, 当 时，点 P 有且只有一个,此时a²=4b².又∵a>b>0,∴a=2b. 2.解:(1)过点 A 分别作AD⊥PB,AE⊥PC,垂足为D,E. 在 四 边 形 ABPC 中,∠BAC +∠BPC+∠ABP+∠ACP=360°. ∵∠BAC=60°,∠BPC=120°, ∴∠ABP+∠ACP=180°. 又∵∠ACE+∠ACP=180°, ∴∠ABP=∠ACE. ∵∠ADB=∠AEC=90°,AB=AC, ∴△ABD≌△ACE(AAS), ∴AD=AE. 又∵AD⊥BP,AE⊥PC, ∴PA 平分∠BPC; (2)小吴的结论正确.理由如下： ∵△ABD≌△ACE, ∴S△ABD=S△ACE, ∵AD=AE,AP=AP, ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL), ∵∠APE=60°,∠E=90°, ∴∠PAE=30°.在 PA 上截取 PF=PC,连接CF. ∴△PCF 为等边三角形,CF=CP, ∵AC=BC,∠ACF=∠BCP, ∴△ACF≌△BCP(SAS), ∴AF=BP, ∴AP=AF+PF=BP+PC. ∵PB,PC 是方程 1)x+a-3=0的两个实数根, ∴PA=4,PE=2,AE=2 拆分突破15 一元二次方程多结论 1.①②③④解:①将x=a代入,得a(a+b+1)=0. ∵a≠0, ∴a+b+1=0,故①正确; ②∵b²>6ac, 当ac≥0时,△>0; 当 ac<0时,△>0,故②正确; ③∵b=a+2c, ∵a≠0,∴△>0,故③正确; ④依题意，得m，n可看作方程x²+3x-9=0的两个实数根, ∴m+n=-3, mn=-9, (m+n)²-2mn (一3)²-2×(一9) =9+1⁸=9, 故④正确.故答案为①②③④. 2. B 解:由b>a+c 可以得到|b|>|a+c|或|b|=|a+c|或|b|<|a+cl,即存在△>0或△=0或△<0的三种情况.∴方程 可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根.(也可取特值判断),①错误.②若a+b+c>0,a-b+c<0,则(a+b+c)(a-b+ ∴方程有两个不相等的实数根.②正确；③若 ∴方程有两个不相等的实数根.③正确;④若 ac<0,则 4ac>0，方程有两个不相等的实数根.∵b=0,∴x₁+x₂=0,两根一定互为相反数.④正确.故选 B.. 3. C 解:把x=-2代入,得4c-4+1=0,解得 故①错误；两式相减得到 故方程 总有实数解,故②正确;若ax²-2x+c=0无解，则 而2x+a=0, 故它的倒方程也无解，故③正确；当ac<0时, 中△=b² 中,△= 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意. $