25.2.3降次——解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

 

25.2.3降次——解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系  

分层训练

第一部分（必做）

一、选择题（共 6 题）

1．一元二次方程 3x²−5x−2=0 的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂，x₁x₂ 的值分别为（    ）

A．，− B．−，− C．， D．−，

2．若两个实数 α，β 满足 α+β=−4，αβ=−5，则以 α，β 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是（    ）

A．x²−4x−5=0 B．x²+4x−5=0 C．x²−5x−4=0 D．x²+5x−4=0

3．若 x₁，x₂ 是方程 x²−6x+5=0 的两个根，则 x₁²+x₂² 的值为（    ）

A．16 B．21 C．26 D．31

4．方程 x²−7x+10=0 的两个实数根为 x₁，x₂，则下列结论正确的是（    ）

A．x₁，x₂ 都是正数 B．x₁，x₂ 都是负数 C．x₁，x₂ 异号 D．无法判断

5．方程 x²−5x+k=0 的两个实数根之差的绝对值为 1，则 k 的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．关于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根 x₁，x₂，下列关系正确的是（    ）

A．x₁+x₂=−b B．x₁x₂=c C．x₁+x₂=− D．x₁x₂=

二、填空题（共 4 题）

7．若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。

8．方程 4x²+3x−2=0 的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。

9．已知 −2 是方程 2x²+（m−1）x−6=0 的一个根，则 m=________，另一个根为________。

10．以 1+√2，1−√2 为两个根，且二次项系数为 1 的一元二次方程为____________________。

三、解答题（共 4 题）

11．已知 x₁，x₂ 是方程 2x²−5x+1=0 的两个根，不解方程，求：

（1）x₁²+x₂²；

（2）+。

 

 

 

 

 

12．在解方程 2x²+px+q=0 时，小红看错了常数项 q，得到的两个根是 −1 和 4；小明看错了一次项系数 p，得到的两个根是 2 和 −3。求原方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

13．关于 x 的一元二次方程 x²−（m+2）x+2m=0 的两个根为 x₁，x₂。

（1）若 x₁²+x₂²=13，求 m 的值；

（2）当 m=3 时，求 |x₁−x₂|。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长恰好是一元二次方程 x²−10x+16=0 的两个根。不解方程，求：

（1）菱形 ABCD 的面积；

（2）两条对角线长度之差。

 

 

 

第二部分（必做）

四、选择题（共 4 题）

15．方程 x²−mx+6=0 的两个正根中，一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为（    ）

A．3√3 B．−3√3 C．√6 D．6

16．关于 x 的方程 x²−mx−n=0 的两个实数根都是正数，则点（m，n）一定在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

17．若 x₁，x₂ 是方程 2x²−3x−1=0 的两个根，则以 ， 为根且二次项系数为 1 的方程是（    ）

A．x²+3x−2=0 B．x²−3x−2=0 C．x²+3x+2=0 D．x²−3x+2=0

18．若 m，n 是方程 x²−4x+1=0 的两个根，则（m−1）（n−1）的值为（    ）

A．−4 B．−3 C．−2 D．2

五、填空题（共 4 题）

19．若 x₁，x₂ 是方程 x²−3x+1=0 的两个根，则 +=________。

20．若 α，β 是方程 3x²−7x+2=0 的两个根，则以 α+1，β+1 为根，且二次项系数为 3 的一元二次方程为____________________。

21．方程 x²−（k+1）x+k−2=0 的两个非零实数根互为倒数，则 k=________。

22．关于 x 的方程 2x²−（m+1）x+m−1=0 的两个实数根异号，则 m 的取值范围是________。

六、解答题（共 4 题）

23．小华求方程 3x²−4x−2=0 的两根之和与两根之积时，写出“x₁+x₂=4，x₁x₂=−2”。指出错误，并写出正确结果。

 

 

 

 

 

 

24．已知 x₁，x₂ 是方程 x²−5x+3=0 的两个根，设 y₁=2x₁−1，y₂=2x₂−1。

（1）求 y₁+y₂ 与 y₁y₂；

（2）写出以 y₁，y₂ 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程。