25.2.3降次——解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以根与系数关系为核心，分层设计基础应用、综合变形及拓展探究，构建从概念到创新的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必做基础|14题|直接应用公式求根和、积，已知根构造方程|从概念（根与系数关系公式）到直接应用，强化符号意识| |必做综合|12题|公式变形（x₁²+x₂²、|x₁-x₂|）、参数问题、几何应用|通过变形推导深化逻辑推理，建立代数与几何的模型意识| |选做拓展|2题|新定义“根差平方”、黄金分割文化阅读|拓展数学眼光，提升创新意识与跨学科应用能力|

九年级数学 · 25.2.3 降次——解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 · 分层训练 25.2.3降次——解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．一元二次方程 3x²−5x−2=0 的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂，x₁x₂ 的值分别为（ ） A．，− B．−，− C．， D．−， 2．若两个实数 α，β 满足 α+β=−4，αβ=−5，则以 α，β 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ） A．x²−4x−5=0 B．x²+4x−5=0 C．x²−5x−4=0 D．x²+5x−4=0 3．若 x₁，x₂ 是方程 x²−6x+5=0 的两个根，则 x₁²+x₂² 的值为（ ） A．16 B．21 C．26 D．31 4．方程 x²−7x+10=0 的两个实数根为 x₁，x₂，则下列结论正确的是（ ） A．x₁，x₂ 都是正数 B．x₁，x₂ 都是负数 C．x₁，x₂ 异号 D．无法判断 5．方程 x²−5x+k=0 的两个实数根之差的绝对值为 1，则 k 的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．关于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根 x₁，x₂，下列关系正确的是（ ） A．x₁+x₂=−b B．x₁x₂=c C．x₁+x₂=− D．x₁x₂= 二、填空题（共 4 题） 7．若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。 8．方程 4x²+3x−2=0 的两个根为 x₁，x₂，则 x₁+x₂=________，x₁x₂=________。 9．已知 −2 是方程 2x²+（m−1）x−6=0 的一个根，则 m=________，另一个根为________。 10．以 1+√2，1−√2 为两个根，且二次项系数为 1 的一元二次方程为____________________。 三、解答题（共 4 题） 11．已知 x₁，x₂ 是方程 2x²−5x+1=0 的两个根，不解方程，求： （1）x₁²+x₂²； （2）+。 12． 在解方程 2x²+px+q=0 时，小红看错了常数项 q，得到的两个根是 −1 和 4；小明看错了一次项系数 p，得到的两个根是 2 和 −3。求原方程。 13．关于 x 的一元二次方程 x²−（m+2）x+2m=0 的两个根为 x₁，x₂。 （1）若 x₁²+x₂²=13，求 m 的值； （2）当 m=3 时，求 |x₁−x₂|。 14．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长恰好是一元二次方程 x²−10x+16=0 的两个根。不解方程，求： （1）菱形 ABCD 的面积； （2）两条对角线长度之差。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．方程 x²−mx+6=0 的两个正根中，一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为（ ） A．3√3 B．−3√3 C．√6 D．6 16．关于 x 的方程 x²−mx−n=0 的两个实数根都是正数，则点（m，n）一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若 x₁，x₂ 是方程 2x²−3x−1=0 的两个根，则以 ， 为根且二次项系数为 1 的方程是（ ） A．x²+3x−2=0 B．x²−3x−2=0 C．x²+3x+2=0 D．x²−3x+2=0 18．若 m，n 是方程 x²−4x+1=0 的两个根，则（m−1）（n−1）的值为（ ） A．−4 B．−3 C．−2 D．2 五、填空题（共 4 题） 19．若 x₁，x₂ 是方程 x²−3x+1=0 的两个根，则 +=________。 20．若 α，β 是方程 3x²−7x+2=0 的两个根，则以 α+1，β+1 为根，且二次项系数为 3 的一元二次方程为____________________。 21．方程 x²−（k+1）x+k−2=0 的两个非零实数根互为倒数，则 k=________。 22．关于 x 的方程 2x²−（m+1）x+m−1=0 的两个实数根异号，则 m 的取值范围是________。 六、解答题（共 4 题） 23． 小华求方程 3x²−4x−2=0 的两根之和与两根之积时，写出“x₁+x₂=4，x₁x₂=−2”。指出错误，并写出正确结果。 24．已知 x₁，x₂ 是方程 x²−5x+3=0 的两个根，设 y₁=2x₁−1，y₂=2x₂−1。 （1）求 y₁+y₂ 与 y₁y₂； （2）写出以 y₁，y₂ 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程。 25．某等腰三角形的腰长与底边长分别是一元二次方程 x²−11x+24=0 的较大根和较小根。求这个等腰三角形的周长。 26．关于 x 的一元二次方程 x²−（m+1）x+m=0 的两个非零实数根为 x₁，x₂，且 +=3。 （1）求 m 的值； （2）求方程的两个根。 第三部分（选做·附加） 27．【阅读探究】若一元二次方程的两个实数根为 x₁，x₂，定义“根差平方”T=（x₁−x₂）²。由根与系数的关系可得 T=（x₁+x₂）²−4x₁x₂。 （1）若 x₁，x₂ 是方程 2x²−5x+1=0 的两个根，求 T； （2）若方程 x²−（k+2）x+k=0 的“根差平方”T=13，求 k； （3）已知 p，q 是两个不相等的实数，且都满足 t²−4t+1=0，求 + 的值。 28．【文化阅读】方程 x²+x−1=0 的正根 λ 称为黄金分割数。若一个矩形的宽与长之比等于 λ，则称它为黄金矩形。 （1）求黄金分割数 λ； （2）若黄金矩形的长为 10，求它的宽； （3）设 α，β 是方程 x²+x−1=0 的两个根，不直接求根，求 α²+β² 及（α+1）（β+1）的值。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：A 解析：方程 3x²−5x−2=0 中 a=3，b=−5，c=−2。由根与系数的关系，x₁+x₂=−=−=，x₁x₂==−，故选 A。 2．答案：B 解析：以 α，β 为根且二次项系数为 1 的方程可写成 x²−（α+β）x+αβ=0。代入 α+β=−4，αβ=−5，得 x²+4x−5=0，故选 B。 3．答案：C 解析：由方程得 x₁+x₂=6，x₁x₂=5。原式=（x₁+x₂）²−2x₁x₂=6²−2×5=26，故选 C。 4．答案：A 解析：由根与系数的关系，x₁+x₂=7>0，x₁x₂=10>0。两实根乘积为正，说明两根同号；和为正，说明两根都为正数，故选 A。 5．答案：C 解析：由根与系数的关系，x₁+x₂=5，x₁x₂=k。又 |x₁−x₂|=1，所以（x₁−x₂）²=1。由（x₁−x₂）²=（x₁+x₂）²−4x₁x₂，得 1=25−4k，解得 k=6，故选 C。 6．答案：C 解析：一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根满足 x₁+x₂=−，x₁x₂=。故选 C。 7．答案：−， 解析：这是根与系数的基本关系。使用时要注意二次项系数 a 不能漏掉。 8．答案：−，− 解析：方程 4x²+3x−2=0 中 a=4，b=3，c=−2，所以 x₁+x₂=−，x₁x₂=−=−。 9．答案：2， 解析：把 x=−2 代入原方程，得 2×（−2）²+（m−1）（−2）−6=0，即 4−2m=0，解得 m=2。此时两根之和为 −，已知一根为 −2，所以另一根为 −−（−2）=。 10．答案：x²−2x−1=0 解析：两根之和为（1+√2）+（1−√2）=2，两根之积为（1+√2）（1−√2）=1−2=−1，所以所求方程为 x²−2x−1=0。 11．解： 由方程 2x²−5x+1=0，得 x₁+x₂=，x₁x₂=。 （1）原式=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²−2x₁x₂=（）²−2×=−1=。 （2）原式=+==÷=5。 12．解： 设原方程为 2x²+px+q=0。 小红只看错了 q，所以一次项系数 p 没有看错。由她得到的两根 −1，4 可知，两根之和为 3，因此 −=3，得 p=−6。 小明只看错了 p，所以常数项 q 没有看错。由他得到的两根 2，−3 可知，两根之积为 −6，因此 =−6，得 q=−12。 所以原方程为 2x²−6x−12=0。 13．解： 由根与系数的关系，x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m。 （1）原式=x₁²+x₂²=（m+2）²−4m=m²+4。由 m²+4=13，得 m²=9，所以 m=3 或 m=−3。 （2）当 m=3 时，x₁+x₂=5，x₁x₂=6。于是 |x₁−x₂|=√[（x₁+x₂）²−4x₁x₂]=√（25−24）=1。 14．解： 设 AC=x₁，BD=x₂。由方程 x²−10x+16=0，得 x₁+x₂=10，x₁x₂=16。 （1）菱形面积 S=AC·BD=x₁x₂=×16=8。答：菱形 ABCD 的面积为 8。 （2）原式=|x₁−x₂|=√[（x₁+x₂）²−4x₁x₂]=√（100−64）=6。答：两条对角线长度之差为 6。 第二部分（必做） 15．答案：A 解析：设较小的正根为 t，则另一个根为 2t。由两根之积为 6，得 2t²=6，所以 t=√3（t>0）。两根之和为 3√3，因此 m=3√3，故选 A。 16．答案：D 解析：两根都是正数，所以 x₁+x₂=m>0，x₁x₂=−n>0，从而 m>0，n<0。因此点（m，n）在第四象限，故选 D。 17．答案：A 解析：原方程两根满足 x₁+x₂=，x₁x₂=−。新两根之和为 +==−3，新两根之积为 =−2，所以所求方程为 x²+3x−2=0，故选 A。 18．答案：C 解析：由方程得 m+n=4，mn=1。原式=mn−（m+n）+1=1−4+1=−2，故选 C。 19．答案：7 解析：由方程得 x₁+x₂=3，x₁x₂=1。原式====7。 20．答案：3x²−13x+12=0 解析：原方程两根满足 α+β=，αβ=。新根 α+1，β+1 的和为 +2=，积为 ++1=4。故以新根为根的一元二次方程可写为 x²−x+4=0，两边同乘 3，得 3x²−13x+12=0。 21．答案：3 解析：两个非零实数根互为倒数，所以 x₁x₂=1。由根与系数的关系，x₁x₂=k−2，因此 k−2=1，解得 k=3。 22．答案：m<1 解析：两实数根异号，等价于两根之积小于 0。由 x₁x₂=<0，得 m<1。此时乘积为负，方程必有两个异号实根。 23．解： 小华的错误是直接把一次项系数的相反数和常数项当成了两根之和、两根之积，漏除了二次项系数 a=3。 对于 3x²−4x−2=0，a=3，b=−4，c=−2，所以 x₁+x₂=−=，x₁x₂==−。 24．解： 由原方程 x²−5x+3=0，得 x₁+x₂=5，x₁x₂=3。 （1）y₁+y₂=（2x₁−1）+（2x₂−1）=2（x₁+x₂）−2=8；y₁y₂=（2x₁−1）（2x₂−1）=4x₁x₂−2（x₁+x₂）+1=12−10+1=3。 （2）以 y₁，y₂ 为根且二次项系数为 1 的方程为 x²−（y₁+y₂）x+y₁y₂=0，即 x²−8x+3=0。 25．解： 原方程 x²−11x+24=0 可因式分解为（x−3）（x−8）=0，所以两个根为 3 和 8。 题意规定较大根为腰长、较小根为底边长，因此腰长为 8，底边长为 3。周长=8+8+3=19。答：这个等腰三角形的周长为 19。 26．解： 由根与系数的关系，x₁+x₂=m+1，x₁x₂=m。因为两根非零，所以 m≠0。 （1）原式=+===3。解得 m=。 （2）把 m= 代入原方程，得 x²−x+=0，两边同乘 2，得 2x²−3x+1=0，即（2x−1）（x−1）=0。所以 x₁，x₂ 为 1 和 。 第三部分（选做·附加） 27．解： 根据材料，T=（x₁+x₂）²−4x₁x₂。 （1）方程 2x²−5x+1=0 中，x₁+x₂=，x₁x₂=。原式=T=（）²−4×=−2=。 （2）方程 x²−（k+2）x+k=0 中，x₁+x₂=k+2，x₁x₂=k，所以 T=（k+2）²−4k=k²+4。由 k²+4=13，得 k²=9，因此 k=3 或 k=−3。 （3）因为 p，q 是两个不相等的实数且都满足 t²−4t+1=0，所以 p，q 正是该方程的两个根。于是 p+q=4，pq=1。原式=+====14。 28．解： （1）解方程 x²+x−1=0。由求根公式，x=。其中正根为 λ=。 （2）宽=λ×长=10×=5（√5−1）。答：黄金矩形的宽为 5（√5−1）。 （3）由根与系数的关系，α+β=−1，αβ=−1。原式① α²+β²=（α+β）²−2αβ=（−1）²−2×（−1）=3；原式②（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1=−1−1+1=−1。 学科网（北京）股份有限公司 $