25.1～25.2～25.3 一元二次方程的概念 降次——解一元二次方程 实际问题与一元二次方程 周练 错题巩固与压轴训练 人2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级上册数学一元二次方程周练，以A、B分层设计，A层夯实基础（13题），B层综合提升（7题），构建从概念到应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A|一元二次方程概念、解法、根的意义及简单应用|基础题型为主，如概念辨析（1题）、直接开平方法（4题），强化符号意识| |B|综合应用、规律探究与纠错|情境化问题（14题利润）、规律探究（15题）、几何结合（17题），发展推理能力与建模意识|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第25章 一元二次方程（25.1～25.2～25.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•赛罕区期末）·【A】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣7＝3y+1 B．2x﹣3＝0 C．x21 D．x2﹣4x+8＝0 2．（2025秋•市南区期末）·【A】如表是随着x的不同取值，代数式ax2+bx+c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx+c﹣8＝0的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 4 5 6 … ax2+bx+c … 8 0 ﹣6 ﹣6 0 8 … A．x1＝﹣1，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝6 D．x1＝﹣4，x2＝7 3．（2026•汝阳县一模）·【A】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 4．（2026秋•同步）·【A】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 5．（2026•厦门校级模拟）·【A】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 6．（2026•禄丰市二模）·【A】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 二．填空题（共6小题） 7．（2026•开福区校级三模）·【A】已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0的一个根为x＝2，则k的值为　 　 ． 8．（2026春•章丘区期末）·【A】一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则m的值为　 　 ． 9．（2026春•龙口市期中）·【A】方程x2＝x的解是 　 　 ． 10．（2026秋•同步）·【A】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　 ． 11．（2026•靖江市校级三模）·【A】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　 　 ． 12．（2026•鼓楼区一模）·【A】某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•海淀区校级月考）·【A】已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根， 求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 14．（2025•赣州期末）·【B】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 15．（2026•开平市模拟）·【B】设a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： a2＝3a+1； a3＝10a+3； a4＝33a+10； a5＝109a+33； … （1）根据以上规律填空：a6＝　 　 ，a7＝　 　 ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若an+1＝sa+t，则an+2＝（3s+t）a+s．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 16．（2025秋•安新县期末）·【B】小颖在解方程2x2﹣8x+4＝0时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2﹣8x+4＝0 解：2x2﹣8x＝﹣4，…① x2﹣4x＝﹣4，…② x2﹣4x+4＝﹣4+4，…③ （x﹣2）2＝0，…④ x﹣2＝±0，…⑤ x1＝x2＝2…⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 17．（2025秋•永顺县期末）·【B】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 18．（2026•肥东县期末）·【B】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 19．（2026•东平县期末）·【B】 20．（2026•利津县一模）·【B】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B D C C 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•赛罕区期末）·【A】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣7＝3y+1 B．2x﹣3＝0 C．x21 D．x2﹣4x+8＝0 【答案】D 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、该方程含有两个未知数；故本选项错误； B、本方程的未知数的次数是1；故本选项错误； C、本方程不是整式方程，是分式方程；故本选项错误； D、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确． 故选：D． 2．（2025秋•市南区期末）·【A】如表是随着x的不同取值，代数式ax2+bx+c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx+c﹣8＝0的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 4 5 6 … ax2+bx+c … 8 0 ﹣6 ﹣6 0 8 … A．x1＝﹣1，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝6 D．x1＝﹣4，x2＝7 【答案】C 【解答】解：由表中数据得当x＝﹣3时，ax2+bx+c＝8； 当x＝6时，ax2+bx+c＝8； ∴方程ax2+bx+c﹣8＝0的解为x1＝﹣3，x2＝6． 故选：C． 3．（2026•汝阳县一模）·【A】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】B 【解答】解：由题意得，x2﹣8x+16＝0+16， ∴（x﹣4）2＝16， ∴a＝﹣4． 故选：B． 4．（2026秋•同步）·【A】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 【答案】D 【解答】解：由题意得，x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：D． 5．（2026•厦门校级模拟）·【A】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【分析】已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的（1+x）倍，故三月份销量为8000（1+x）2，据此列方程即可． 【答案】（见解答） 【解答】解：设每月增长率为x， 则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x）2． ∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， ∴8000（1+x）2＝12000． 故选：B． 【点评】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026•禄丰市二模）·【A】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【答案】（见解答） 【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•开福区校级三模）·【A】已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0的一个根为x＝2，则k的值为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0有一个根为x＝2， ∴2×22﹣2k+4＝0， ∴k＝6． 故答案为：6． 8．（2026春•章丘区期末）·【A】一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则m的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2， ∴（﹣2）2+m×（﹣2）﹣6＝0， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 9．（2026春•龙口市期中）·【A】方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 10．（2026秋•同步）·【A】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　 ． 【答案】3x2+9x+1＝0． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 11．（2026•靖江市校级三模）·【A】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　（60﹣x）x＝864　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【分析】根据矩形田地的长与宽之间的关系，可得出这个矩形的长为（60﹣x）步，利用矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【答案】（见解答） 【解答】解：∵矩形田地的长与宽共60步，且这个矩形的宽为x步， ∴这个矩形的长为（60﹣x）步． 根据题意得：（60﹣x）x＝864． 故答案为：（60﹣x）x＝864． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2026•鼓楼区一模）·【A】某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为　72（1+x）2＝100　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【分析】利用该商品经过两次涨价后的价格＝该商品的原价×（1+这两次涨价的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【答案】（见解答） 【解答】解：根据题意得：72（1+x）2＝100． 故答案为：72（1+x）2＝100． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•海淀区校级月考）·【A】已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 【答案】12． 【解答】解：由题意得，a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， 又∵（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4a2﹣8a+8， ∴（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4（2a+1）﹣8a+8 ＝8a+4﹣8a+8 ＝12， ∴代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值为12． 14．（2025•赣州期末）·【B】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【答案】（见解答） 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 15．（2026•开平市模拟）·【B】设a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： a2＝3a+1； a3＝10a+3； a4＝33a+10； a5＝109a+33； … （1）根据以上规律填空：a6＝　360a+109　 ，a7＝　1189a+360　 ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若an+1＝sa+t，则an+2＝（3s+t）a+s．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】（1）360a+109，1189a+360； （2）这个猜想正确，理由如下： ∵an+2＝a•an+1＝a（sa+t）＝sa2+ta＝s（3a+1）+ta＝3sa+s+ta＝（3s+t）a+s， ∴小华同学的猜想正确． （2）这个猜想正确，在等式an+1＝sa+t的两边同时×a，可得出an+2＝a（sa+t）＝sa2+ta，再代入a2＝3a+1，即可得出an+2＝（3s+t）a+s． 【解答】解：（1）根据题意得：∵a5＝109a+33， ∴a6＝109a2+33a＝109（3a+1）+33a＝360a+109． ∴a7＝a•a6＝a（360a+109）＝360a2+109a＝360（3a+1）+109a＝1189a+360．故答案为：360a+109，1189a+360； （2）这个猜想正确，理由如下： ∵an+2＝a•an+1＝a（sa+t）＝sa2+ta＝s（3a+1）+ta＝3sa+s+ta＝（3s+t）a+s， ∴小华同学的猜想正确． 16．（2025秋•安新县期末）·【B】小颖在解方程2x2﹣8x+4＝0时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2﹣8x+4＝0 解：2x2﹣8x＝﹣4，…① x2﹣4x＝﹣4，…② x2﹣4x+4＝﹣4+4，…③ （x﹣2）2＝0，…④ x﹣2＝±0，…⑤ x1＝x2＝2…⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （2）由题意，∵2x2﹣8x＝﹣4， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝﹣2+4， ∴（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±． ∴x1＝2，x2＝2． （2）利用配方法解决问题． 【解答】解：（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （2）由题意，∵2x2﹣8x＝﹣4， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝﹣2+4， ∴（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±． ∴x1＝2，x2＝2． 17．（2025秋•永顺县期末）·【B】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）当m＝7或m＝5时，△ABC是等腰三角形，周长分别为13、11． （2）依据题意，分①当BC为腰长时②当BC为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵Δ＝（m+1）2﹣12（m﹣2）＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴52﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0． ∴m＝7． ∴方程为：x2﹣8x+15＝0． ∴x＝3或x＝5． ∴等腰三角形的三边为：5，5，3． ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0． ∴m＝5． ∴方程为：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3． ∴等腰三角形的周长为：5+3+3＝11． 综上：周长为11或13． 18．（2026•肥东县期末）·【B】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔5月份及7月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）个/天，根据该厂要保证每天生产头盔3900个，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要节省投入，即可得出应该增加4条生产线． 【答案】（见解答） 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得2250（1+x）2＝3240， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设增加y条生产线，则 （900﹣30y）（y+1）＝3900． 解得y1＝4，y2＝25（不符合题意，舍去） 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（2026•东平县期末）·【B】 【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．版权所有 【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个，根据平均每天能否获利2100元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【答案】（见解答） 【解答】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：6（1+x）2＝8.64， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个， 由题意得：（65﹣m﹣30）（30+3m）＝1500， 整理得：m2﹣25m+150＝0， 解得：m1＝15，m2＝10（不符合题意，舍去）， ∴65﹣m＝50， 答：下调后每个手办的售价为50元； （3）平均每天不能获利2100元，理由如下： 设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个， 由题意得：（65﹣y﹣30）（30+3y）＝2100， 整理得：y2﹣25y+350＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×350＝﹣775＜0， ∴原方程无实数根， ∴平均每天不能获利2100元． 【点评】题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2026•利津县一模）·【B】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【答案】（见解答） 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝﹣2.25（不符合题意，舍去），x2＝0.25＝25%， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵1600×100＝160000＜240000元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 根据题意得：， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝300，m2＝200， 当m＝300时，售价（不符合题意，舍去）； 当m＝200时，售价＝160040＝1200＞1000，符合题意； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 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