25.1 一元二次方程的概念&25.2 降次-解一元二次方程 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

第二十五章 25.1一元 【基础导学】 1.如果方程中只含有 个未知数，且 含有未知数的式子都是 式，未知数的最 高次数是 ,这样的方程叫作一元二次 方程。 2.一元二次方程的一般形式为 ,其中a.x2是二次 项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系 数；c是常数项， 3.一元二次方程的解：使一元二次方程 相等的 的值，叫作一元二次 方程的解或根。 【典例探究】 ★考点1：一元二次方程的概念 【例1】当k取何值时，方程(k+1)x2+1+ (k-3)x-1=0是一元二次方程. 解析：要使方程为一元二次方程，则需满足 k2+1=2且k+1≠0. 解：已知方程为一元二次方程，则 k2+1=2, k=1. k+1≠0. 25.2降次 25.2.1 第1课时直接开平方法 【基础导学】 1.直接开平方法：如果x2=a(a≥0)，那么 一元二次方程 次方程的概念 故k=1时，该方程(k十1)x+1+(k-3)x- 1=0为一元二次方程. 【规律与方法】若某方程为一元二次方程， 则其未知数的最高次数为2，且二次项的系数不 能为0. ★考点2：已知一元二次方程的根，求方程中 字母的值或与此字母有关的代数式的值 【例2】关于m的一元二次方程√7m2一 nm-2=0的一个根为2，则n2+n2= 解：把m=2代入√7nm2-n2m-2=0, 得4V7n-2n2-2=0, n+1=2W7, m+n9-(a+}广-2=2a 【规律与方法】方程的根一定满足原方程， 将根代入到原方程即可得到关于待定字母的等 式，从而求出待定字母或与此字母有关的代数式 的值，这种方法叫根的定义法. 解一元二次方程 配方法 x=士√a,这种方法叫作直接开平方法，其实质为 2.直接开平方法解一元二次方程的类型有： (1)x2=a(a≥0)，可得x1= 2= (2)(x+a)2=b(b≥0)，可得x1= ,x2= (3)(ax十b)2=n(a≠0，n≥0)，可得x1= C2= 3.降次思想：一元二次方程一般通过 转化为两个一元一次方程来解.直接开平方法是 降次的一种方法。 【典例探究】 ★考点1：直接开平方的条件 【例1】下列方程中，不能用直接开平方法 求解的是 () A.x2-3=0 B.(x-1)2-4=0 C.x2+2x=0 D.(x-1)2=(2x+1)2 解析：利用平方根的定义能对A、B、D中方 程直接开平方求得其根，但C中方程结构不符合 直接开平方法的要求. 【规律与方法】直接开平方法的实质是求 非负数的平方根. ★考点2：用直接开平方法解一元二次方程 【例2】用直接开平方法解下列方程 (1)x2-16=0;(2)3x2-27=0; (3)(x-2)2=9;(4)(2y-3)2=16; (5)4(x-2)2-64=0; (6)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0. 解：(1)移项，得x2=16,根据平方根的定义， 得x=士4，即x1=4,x2=-4. (2)移项，得3x2=27,两边同除以3，得x2= 9,根据平方根的定义，得x=士3，即x1=3, x2=-3. (3)根据平方根的定义，得x一2=士3， 即x1=5,x2=-1. (4)根据平方根的定义，得2y-3=士4， 即我=名必=一名 (5)移项，得4(x-2)2=64, .(x-2)2=16,.x-2=±4， .x1=6,x2=-2. (6)移项，得4(3x-1)2=9(3x+1)2, 即[2(3x-1)]2=[3(3x+1)]2, .2(3x-1)=土3(3x+1). .3x+5=0或15x+1=0, =号= 【规律与方法】如果一元二次方程的一边 是未知数的平方，另一边是一个非负数的常数， 那么可以用直接开平方法求解；如果一元二次方 程的一边是含未知数的代数式的平方，另一边也 是一个含同一未知数的代数式的平方，同样可以 用直接开平方法求解， 第2课时配方法 【基础导学】 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方 程的方法，叫作 2.用配方法解一元二次方程a.x2+bx十c=0 (a≠0)的步骤： 一化： 二移： 三配： 四解： 【典例探究】 ★考点1：配方使二次三项式成为完全平 方式 【例1】在以下空格中填上适当式子使等式 成立： (1)x2+10x+(25)=(x+5)2; 2)x2-2x+6=(e-月， (3)x+mx+四=(x+g月： 【规律与方法】通过配方使一个式子成为 完全平方式的关键是当二次项系数为1，在方程 两边都加上一次项系数一半的平方. ★考点2：用配方法解一元二次方程 【例2】用配方法解方程： (1)x2+6x-16=0;(2)2x2-3x+1=0. 解：(1)移项，得x2+6x=16. 配方，得2+6x+(受)-16+()月 即(x+3)2=25, .x十3=±5， 即x+3=5或x+3=-5, .x1=2,x2=-8. (2)移项，得2x2-3x=-1, 两边同时除以2，得2一号x=一之 配方，得2是x+()°=+()°， 即(x-)°= 25.2.2 【基础导学】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b, c都为常数)的根的判别式：把式子 叫作方程ax2十bx十c=0(a≠0)根的判别式，通 常用希腊字母“△”表示，即△= 2.一元二次方程的根与根的判别式的关系： (1)△>0台方程有 (2)△=0台方程有 △≥0台方程有 (3)△<0台方程 注意：(1)准确找出a,b,c,方程必须化为一 元二次方程的一般形式；(2)此判别式只适用于 一元二次方程，若无法确定是否为一元二次方 3 即x-}或x-是=-， 441 x1=1,x2=2 1 【规律与方法】(1)“配方”即配一次项系数 一半的平方，对一次项系数为偶数的情况尤其适 合；(2)完全平方式中常数项的符号与原一次项 系数的符号是一致的，知2十工十寻= (红+2厂x-多x+8-()月 ★考点3：用配方法判断代数式值的符号 【例3】试说明无论m为何值时，关于x的 方程(m2-8m+17)x2+2m.x+1=0都是一元二 次方程. 解析：根据题意，需证明m2一8m十17≠0.利 用配方法可解决此问题. 解：因为m2-8m十17=m2-8m十16-16+ 17=(m-4)2+1≥1≠0，所以无论m为何值，该 方程都是一元二次方程. 【规律与方法】对二次项系数为1的二次 三项式配方时，在加上一次项系数一半的平方 时，还必须减去一次项系数一半的平方. 公式法 程，则应分类讨论 3.当△>0时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)的 实数根可写为 ,这个式子叫 作一元二次方程a.x2+bx十c=0的 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求 根公式，可以直接得出方程的根，这种方法叫 作 4.用公式法解一元二次方程的步骤是： (1) (2) (3) (4) 【典例探究】 ★考点1：利用根的判别式判断一元二次方 程根的情况 【例1】不解方程，判断下列一元二次方程 根的情况. (1)x2-2x+1=0; (2)3x2+4x+5=0; (3)-x2+7x+6=0; (4)3x2+5x=0. 解析：不需解方程，只要能把各方程中对应 的代数式b一4ac的值求出来，然后根据其值就 能对方程根的情况作出判断. 解：(1)b2-4ac=(-2)2-4×1×1=4 4=0, ∴.此方程有两个相等的实数根， (2)b-4ac=42-4×3×5=16-60= -44<0, .此方程没有实数根， (3)b2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24= 73>0, .此方程有两个不相等的实数根. (4)b2-4ac=52-4×3×0=25>0, 此方程有两个不相等的实数根。 【规律与方法】(1)确定a,b,c的值，计算 出△，原方程根的情况得以确定；(2)对于一元二 次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，当a、c异号或 c=0时，此方程一定有两个实数根. ★考点2：用公式法解一元二次方程 【例2】用公式法解下列方程. (1)x2-2W3x+3=0; (2)2x2-7x+8=0: (3)3x=√2(x+1)(x-1). 解析：方程(1)是一般形式，确定a,b,c后代 入求根公式即可求根；方程(2)的系数含有分数， 通常化为整数；方程(3)不是一般形式应先化为 一般形式后再求根. 解：(1).a=1,b=-2√3，c=3, ∴.△=b2-4ac=(-2W3)2-4×1X3=0, x=-b±B-4ac-2y3-3, 2a 2 x1=2=3. (2)原方程化为4x2-4x+1=0, .a=4,b=-4,c=1, .△=b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0, x=-b±VB-4ac=4=1 2a 2×42’ 西g是 (3)原方程化为√2x2-√3x-√2=0， .a=√2，b=-√5，c=-√2， ∴.△=-4ac=(-√3)2-4×√2×(-√2)= 11, x=-b±B-4ac=3±匝 2a 2X√2 √6±√22 4 x-6+√2厘，=6-√2厘 4 4 【规律与方法】注意运用求根公式解方程 时，首先要将原方程化成一般形式，以便确定a, b,c的值，其次需要满足b-4ac≥0，再把a,b,c 的值代入x=b士yB4ac求解，当方程有两 2a 个相等的解，要写成x1=x2=的形式. 4· 25.2.3 【基础导学】 1.当一元二次方程先因式分解，使方程化为 两个 的乘积等于 的形式，再使 这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种方 法叫作因式分解法， 2.因式分解法的基本思想：通过因式分解达 到 的目的；其数学原理是：两数之积为 0,则 ,反之也成立 3.因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)整理方程使其右边化为0； (2)将方程左边 (3)由(2)中的每个因式分别等于0，得 (4)解(3)中两个方程得 【典例探究】 ★考点1：用因式分解法解形如x2一a2=0 或x2十bx=0的一元二次方程 【例1】解方程： (1)x2-16=0;(2)x2-5x=0;(3)(x-2)2= 2-x. 解析：(1)利用平方差公式分解；(2)可用提 公因式法进行因式分解；(3)将(x一2)看作一个 整体，右边的2一x移到方程的左边也可用提取 公因式法因式分解。 解：(1)x2-16=0,(x+4)(x-4)=0, ∴.x+4=0或x-4=0,∴.x1=-4,x2=4. (2)x2-5x=0,x(x-5)=0, .x=0或x-5=0,.2x1=0,x2=5. (3)移项，得(x-2)2+(x-2)=0, ∴.(x-2)[(x-2)+1]=0, .(x-2)(x-1)=0, ∴.x-2=0或x-1=0, .x1=2,x2=1. 【规律与方法】解一元二次方程时，如果能 提公因式，首先提公因式，特别要注意整体思想 因式分解法 的运用，如本例中的(x一2). ★考点2：用因式分解法解形如x2一(a十 b)x十ab=0(a、b为常数)的一元二次方程 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)x2+2023x-2024=0; (2)x2-(W2+√3)x+√6=0； (3)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0. 解析：设法找到两个数a,b,使它们的和等于 一次项系数，积ab等于常数项. 解：(1)x2+2023x-2024=0,(x-1)(x+ 2024)=0, ∴.x-1=0或x+2024=0, ∴.x1=1,x2=-2024. (2)x2-(V2+√3)x+√6=0，(x-√2)(x- √5)=0， x-√2=0或x-√3=0， ∴.x1=√2，x2=√3. (3)[(2x+1)+1][(2x+1)+2]=0, .2x十2=0或2x十3=0， n-1=是 【规律与方法】用十字相乘法因式分解时， 常数项分解成的两因数必须保证其和为一次项 系数，两根的符号与常数项分解的两因数的符号 正好相反. ★考点3：用适当的方法解一元二次方程 【例3】用适当的方法解下列方程： (1)x2-3x+1=0;(2)(x-1)2=3; (3)9(x+2)2=2x(x+2);(4)x2-2x=168. 解析：(1)用公式法；(2)用直接开平方法； (3)用因式分解法；(4)用配方法最好，因二次项 系数为1，一次项系数为偶数，常数项绝对值大. 解：0a-3a-325, (2)x1=1十√3，x2=1-√3； (3)=-2,x2=-18 7； (4)x1=14,x2=-12. 【规律与方法】解一元二次方程的关键是 方法的选择，当一个方程左边是完全平方式，右 边是非负数，则运用直接开平方法；当一个方程 的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合 用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左 25.2.4一元二次方 【基础导学】 1.如果x1,x2为一元二次方程ax2十bx+ c=0(a≠0)的两实根，那么x1十x2= x1x2= ,△=b2-4ac0. 2.若ac<0,则关于x的一元二次方程 a.x2+bx十c=0一定 实根，这是 因为 注意：使用一元二次方程ax2十bx十c=0的 根与系数的关系的前提为 【典例探究】 ★考点1：已知方程一根，不解方程求另一根 及待定系数 【例1】已知关于x的一元二次方程x2+ mx一8=0的一个实数根为2，则求另一实数根 及m的值， 解：由根与系数的关系式，设另一根为x2, 则2x2=-8,x2=-4, 又.2+x2=-m,∴.m=2, 此题也可以把x=2代入原方程求出m,再 求出另一根 【规律与方法】此类题解法有：一是让根 “回原”，即将已知根代入原方程即可；二是由根 与系数的关系建立另一根和待定系数的方程组， 解之即得.注意待定系数的值不能让二次项系数 边是两个因式的积，右边是0的形式时，就可利 用因式分解法来解；在上述三种方法都很难求解 的情况下可考虑利用公式法求解.注意用公式法 求解时，应先将方程式化成一般形式ax2+bx十 c=0,再确定a,b,c的值，同时还应明确其使用的 前提是b2-4ac≥0.解法的选择是： 直接开平方法→因式分解法→配方法→ 公式法 程的根与系数的关系 为0或判别式△<0. ★考点2：已知方程，求含有两根的代数式 的值 【例2】已知方程2x2+3x-1=0的两根为 ,x求：云十 111 解：由一元二次方程的根与系数的关系知 3 +2=-2西·=- 2 1+1=x+x =（x1十x2)2-21x2 x(c1x2) （x1x2)2 （》-2×() =13. 【规律与方法】利用根与系数的关系求含 有两根的代数式的值，关键是把代数式转化为含 有x1十x2和x1x2的形式. ★考点3：已知与方程两实根有关代数式的 值，求方程中待定系数的值 【例3】已知关于x的方程x2-6x+k=0 的两根分别是，2，且满足二+1=3，则k的 1 2 值是多少？ 解：关于x的方程x2-6x十k=0的两根为 x1,x2,可得x1十x2=6,x1x2=k, 再由方程上+1=3， X1 T2 可得2=3，即号=3， 解得k=2. 经检验k=2使方程有实根， 【规律与方法】已知方程两根满足某个条 25.3 实际问题 第1课时变化率问题 【基础导学】 变化率问题：如果商品经过两次降价（或涨 价)，每次降价（或涨价）的百分率相同，那么降价 (或涨价)前后的关系可用a(1一x)2=b或a(1+ x)2=b表示，其中a表示 ,b表 示 ,x表示 【典例探究】 ★考点1：传播与裂变问题 【例1】某种电脑病毒传播速度非常快，如 果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感 染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得 不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不 会超过700台？ 解：设平均每台电脑要感染x台电脑，由题 意，得1十x+x(x+1)=81, 解得：x1=-10(舍去)，x2=8. 三轮感染后的数量为：81十81×8=729. .729>700,∴.三轮感染后，被感染的电脑 会超过700台， ★考点2：变化率问题 【例2】某养殖户每年的养殖成本包括固定 成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万 元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长 ◆ 件，求方程中字母系数的值，求出值后必须 代入b2-4ac中检验，看k的取值是否使方程有 实根 与一元二次方程 的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本 为 万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为 7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分 率x. 解：(1)2.6(1+x)2 (2)由题意，得4+2.6(1+x)2=7.146, 解得：0=0.1，x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%. 【规律与方法】解此类问题需牢记公式 a(1十x)2=b或a(1-x)2=b.解答此类问题所 列的方程，一般用直接开平方法求解.注意增长 率不能为负数，降低率不能大于1. 第2课时图形问题 【基础导学】 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问 题的关键是将不规则图形分割成或组合成规则 图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面 积、体积公式找等量关系列出方程。 【典例探究】 ★考点：图形的面积问题 【例】如图，在宽为20m,长为32m的矩 形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余 下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m,参考答案 a b 第二十五章一元二次方程 2.(4z=-b±店=4ac(B-4ac≥0) 2a 25.1一元二次方程的概念 直接开平方法→因式分解法→公式法 1.一整2 3.(1)有两个不相等的实数根 2.ax2+bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数) (2)有两个相等的实数根(3)没有实数根 3.左右两边未知数 46 25.2降次一解一元二次方程 a a 25.2.1配方法 第二十六章二次函数 第1课时直接开平方法 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 26.1二次函数的概念 2.(1)Wa-√a(2)-a+b-a-√b 自变量二次项系数一次项系数常数项 (3)n-6=n-五 26.2二次函数的图象和性质 a 3.降次 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第2课时配方法 1.(1)抛物线y(0,0)a>0上方a<0下方 1.配方法 (2)大小 2.方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k 常数项右移 的图象和性质 方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 为(x十m)2=n的形式 1.(1)k|k>0k<0 开平方求解 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 25.2.2 公式法 1.(1)|hlh>0h<0 1.62-4ac b2-4ac 章末复习 2.(1)两个不相等的实数根 知识梳理 (2)两个相等的实数根两个实数根(3)无实数根 1.a.x2+bx+ca≠0 3.x=-b±yB-4ac 求根公式公式法 Za 2.(1)抛物线 4.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (2)①向上向下越窄②y轴左右 (3)计算b2一4ac的值 ③原点正半轴负半轴④两个一个没有 (4)当b一4ac≥0时，用公式求出原方程的根 3.y轴(0,0)y轴(0，k)x=h(h,k) 25.2.3因式分解法 1.一次式02.降次至少一个数为0 第二十七章 反比例函数 3.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 27.1反比例函数的概念 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.y=飞 不等于零的一切实数 1.-b a a ，≥ 27.2反比例函数的图象和性质 2.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥0 第1课时反比例函数的图象和性质 25.3实际问题与一元二次方程 1.双曲线 第1课时变化率问题 第2课时反比例函数中的系数 变化前的数变化后的数降低（或增长）的百分率 章未复习 1.(1)(2)21 知识梳理 「y=k.x+b 1.只含有一个未知数未知数的最高次数是2 2. 二次项系数不为0整式方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 2- ·56·