14.3 角的平分线 周练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册数学全等三角形周练，以【A】【B】【C】三级分层设计，覆盖角平分线性质、尺规作图等核心知识点，梯度从基础应用到综合探究，适配周测巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A|角平分线性质直接应用、基础计算|如选择1-4题，直接考查角平分线性质求面积，巩固核心概念| |B|性质综合应用、尺规作图|如填空10题结合中线/角平分线/高的概念辨析，提升知识关联能力| |C|多知识点融合、动点探究|如解答19题平行线与角平分线综合探究，培养推理与创新意识|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第14章 全等三角形（14.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•思明区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　） A．24 B．12 C．15 D．10 2．（2026春•碑林区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，交BC于点F，E为AB上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点D，若∠DEA＝20°，∠B：∠C＝2：5，则∠AFC的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 3．（2026春•余江区期末）·【A】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•红花岗区期末）·【A】如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　） A．56 B．28 C．14 D．12 5．（2026•仪陇县模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 6．（2025秋•横山区期末）·【B】如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•市北区期末）·【A】如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H．若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为　 　 ． 8．（2025秋•南昌期末）·【A】如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　 　 cm． 9．（2026春•渭滨区期末）·【A】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　 　 ． 10．（2026春•同步）·【B】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE＝ 　 　 　 　 ； （2）∠BAD＝ 　 　 　 　 ； （3）∠AFB＝ 　 　 ＝90°； （4）若BC＝8，AF＝5， 则S△ABC＝ 　 　 ， S△ABE＝ 　 　 ． 11．（2026春•回民区期末）·【B】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ． 12．（2026春•城关区校级期末）·【C】如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若△ABC的面积是36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•普宁市一模）·【A】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2． 14．（2026•福州模拟）·【A】如图，射线AM在△ABC外，∠MAC＝∠BAC． （1）在射线AM上截取AD＝AB，连接CD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ADC≌△ABC； 15．（2026秋•崇川区月考）·【A】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝32，CE＝11，求AE的长． 16． （2026秋•同步）·【A】尺规作图：如图所示，将线段AB四等分． 17． （2026秋•同步）·【B】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 18．（2026春•同步）·【B】如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 19．（2026春•西湖区校级期中）·【C】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 20．（2026春•东城区校级期中）·【C】已知直线AB∥CD，直线EF交AB，CD于点E，F，点M，N分别为射线EB，射线FD上的点，点P在直线EF上． （1）如图1，点P在线段EF上，∠EMP＝30°，∠MPN＝70°，则∠FNP的度数为　 　 ； （2）作∠EMP的角平分线MG，射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线NH交于点H． ①点P在线段EF上时，在图2中补全图形，写出∠MHN与∠MPN的数量关系，并说明理由； ②点P在直线EF上时，直接写出∠MHN与∠MPN的数量关系． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C B B A 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•思明区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　） A．24 B．12 C．15 D．10 【答案】B 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3， ∴S△ABDAB•DE8×3＝12． 故选：B． 2．（2026春•碑林区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，交BC于点F，E为AB上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点D，若∠DEA＝20°，∠B：∠C＝2：5，则∠AFC的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵DE⊥AC，且∠DEA＝20°， ∴∠DAE＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∠BAC＝110°， 又∵∠B+∠C＝70°，且∠B：∠C＝2：5， ∴∠B＝20°，∠C＝50°， ∴∠BAF＝∠CAF∠BAC＝55°， ∵∠AFC＝∠B+∠BAF，∠B＝20°，∠BAF＝55°， ∴∠AFC＝20°+55°＝75°， 故选：A． 3．（2026春•余江区期末）·【A】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADBAB×DE5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4， 故选：C． 4．（2025秋•红花岗区期末）·【A】如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　） A．56 B．28 C．14 D．12 【答案】B 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝4， ∴△ABD的面积AB•DE14×4＝28． 故选：B． 5．（2026•仪陇县模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【答案】B 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 6．（2025秋•横山区期末）·【B】如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵△ABD的面积为9，AB＝6， ∴DE， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DF＝DE＝3， ∴DP≥3， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•市北区期末）·【A】如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H．若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：作PE⊥OB于点E， ∵OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F， ∴PE＝PF＝3.5， ∵DH⊥OP于点H， ∴∠OHD＝∠OEP＝90°， ∵∠DOH＝∠POE， ∴△DOH∽△POE， ∴， ∵OD＝4，OP＝8， ∴DH， 故答案为：． 8．（2025秋•南昌期末）·【A】如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　2　 cm． 【答案】2 【解答】解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF ∵△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm， ∴S△ABC•DE•AB•DF•BC，即18×DE12×DE＝30， ∴DE＝2（cm）． 故填2． 9．（2026春•渭滨区期末）·【A】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　5　 ． 【答案】5 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC， ∴PA＝PE＝PD， ∵AD＝10， ∴PE＝5，即点P到BC的距离是5， 故答案为：5． 10．（2026春•同步）·【B】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE＝ CE BC ； （2）∠BAD＝ 　∠CAD 　∠BAC ； （3）∠AFB＝ 　∠AFC ＝90°； （4）若BC＝8，AF＝5， 则S△ABC＝ 　20　 ， S△ABE＝ 　10　 ． 【答案】（1）CE，BC； （2）∠CAD，∠BAC； （3）∠AFC； （4）20，10． （2）根据三角形角平分线的性质求解； （3）根据三角形高的定义与性质求解； （4）根据三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）∵AE是△ABC的中线， ∴， 故答案为：CE，BC； （2）∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线， ∴， 故答案为：∠CAD，∠BAC； （3）∵AF是△ABC中边BC的高， ∴AF⊥BC， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， 故答案为：∠AFC； （4）∵BC＝8，AF＝5， ∴S△ABC8×5＝20， S△ABES△ABC＝10． 故答案为：20，10． 11．（2026春•回民区期末）·【B】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　4　 ． 【答案】4 【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4，即点P到BC的距离是4． 故答案为：4． 12．（2026春•城关区校级期末）·【C】如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若△ABC的面积是36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为 　cm ． 【答案】cm． 【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝36cm2，S△BCDBC•DF， 又∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，AB＝18cm，BC＝12cm， ∴18•DE12•DF＝36， ∴9DE+6DF＝36． 又∵DE＝DF， ∴9DE+6DE＝36， ∴DEcm． 故答案为：cm． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•普宁市一模）·【A】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E ∴∠BDO＝∠CEO＝90° 在△BDO和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（AAS）， ∴OD＝OE， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OA平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． 14．（2026•福州模拟）·【A】如图，射线AM在△ABC外，∠MAC＝∠BAC． （1）在射线AM上截取AD＝AB，连接CD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ADC≌△ABC； 【答案】见试题解答内容 （2）利用全等三角形的判定方法结合SAS得出答案． 【解答】（1）解：根据题意在射线AM上截取AD＝AB，连接CD，作图如图， ； （2）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 15．（2026秋•崇川区月考）·【A】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝32，CE＝11，求AE的长． 【答案】10． 【解答】解：过D点作DF⊥AB于F点，如图， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DC⊥AC， ∴DF＝DC， 在△BDF和△EDC中， ， ∴△BDF≌△EDC（AAS）， ∴BF＝CE＝11， ∵AB＝32， ∴AF＝32﹣11＝21， 在Rt△ADC和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL）， ∴AC＝AF＝21， ∴AE＝AC﹣CE＝21﹣11＝10． 16．（2026秋•同步）·【A】如图所示，将线段AB四等分． 【答案】见解答． 【解答】解：如图所示． 17．（2026秋•同步）·【B】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 【答案】图形如图所示： 【解答】解：图形如图所示： 18．（2026春•同步）·【B】如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，则CD为△ABC的高线；作∠ACB的平分线，交AB于点E，则CE为△ABC的角平分线，找出AB的中点F，连接CF，则CF为△ABC的中线． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD为△ABC的高线；作∠ACB的平分线，交AB于点E，则CE为△ABC的角平分线，找出AB的中点F，连接CF，则CF为△ABC的中线． 19．（2026春•西湖区校级期中）·【C】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【答案】（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH 得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，先证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，再根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，又根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数，进而得解． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 20．（2026春•东城区校级期中）·【C】已知直线AB∥CD，直线EF交AB，CD于点E，F，点M，N分别为射线EB，射线FD上的点，点P在直线EF上． （1）如图1，点P在线段EF上，∠EMP＝30°，∠MPN＝70°，则∠FNP的度数为　40°　 ； （2）作∠EMP的角平分线MG，射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线NH交于点H． ①点P在线段EF上时，在图2中补全图形，写出∠MHN与∠MPN的数量关系，并说明理由； ②点P在直线EF上时，直接写出∠MHN与∠MPN的数量关系． 【答案】（1）40°； （2）①补全图形如下： 数量关系是2∠MHN+∠MPN＝180°， 由（1）得∠MPN＝∠EMP+∠FNP， 作KH∥AB交HN于点H， ∴KH∥AB∥CD， 又∵MG平分∠EMP，NH平分∠DNP， ∴， ， 即∠EMP＝2∠EMG＝2∠KHM，∠FNP＝180°﹣2∠HND＝180°﹣2∠KHN， ∴∠MPN＝∠EMP+∠FNP， ＝2∠EMG+180°﹣2∠HND ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHN ＝2∠KHM+180°﹣2（∠KHM+∠MHN） ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHM﹣2∠MHN ＝180°﹣2∠MHN， 即2∠MHN+∠MPN＝180°； ②2∠MHN+∠MPN＝180°． （2）①结合角平分线的尺规作图方法先补全图形，作KH∥AB交HN于点H，综合角平分线定义、平行线性质推出∠EMP＝2∠EMG＝2∠KHM，∠FNP＝180°﹣2∠HND＝180°﹣2∠KHN，代入∠MPN＝∠EMP+∠FNP 即可证∠MHN+∠MPN＝180°； ②分情况讨论，考虑当点P在点E上方时或在点F下方两种情况，同样综合角平分线定义、平行线性质及图形中角的关系进行推理即可得解． 【解答】解：（1）作PQ∥AB交EF于点P， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， 又∵∠EMP＝30°，∠MPN＝70°， ∴∠MPQ＝∠EMP＝30°∠FNP＝∠NPQ＝∠MPN﹣∠MPQ＝70°﹣30°＝40°， 故答案为：40°； （2）①补全图形如下： 数量关系是2∠MHN+∠MPN＝180°， 由（1）得∠MPN＝∠EMP+∠FNP， 作KH∥AB交HN于点H， ∴KH∥AB∥CD， 又∵MG平分∠EMP，NH平分∠DNP， ∴， ， 即∠EMP＝2∠EMG＝2∠KHM，∠FNP＝180°﹣2∠HND＝180°﹣2∠KHN， ∴∠MPN＝∠EMP+∠FNP， ＝2∠EMG+180°﹣2∠HND ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHN ＝2∠KHM+180°﹣2（∠KHM+∠MHN） ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHM﹣2∠MHN ＝180°﹣2∠MHN， 即2∠MHN+∠MPN＝180°； ②当点P在点E上方时，作PQ∥AB交EF于点P，JH∥AB交NH于点H，如下图： ∴PQ∥JH∥AB∥CD， 又∵MG平分∠EMP，NH平分∠DNP， ∴∠QPM＝∠EMP＝2∠AMG＝2∠BMH，∠QPN＝∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2∠HNP，∠BMH＝∠MHJ，∠JHN＝∠HND＝∠HNP， ∴∠MHN＝∠MHJ+∠JHN＝∠BMH+∠HNP， ∴∠MPN＝∠QPN﹣∠QPM ＝180°﹣2∠HNP﹣2∠BMH ＝180°﹣2（∠BMH+∠HNP） ＝180°﹣2∠MHN， 即2∠MHN+∠MPN＝180°； 当点P在点F下方时， 射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线无交点； 综上，点P在直线EF上时，2∠MHN+∠MPN＝180°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $