15.3 等腰三角形 周练 错题巩固与压轴训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册数学轴对称（15.3）周测，分A/B/C三层，以基础巩固为核心，通过梯度设计实现从单一知识点到综合探究的能力进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A|等腰/等边三角形性质、垂直平分线应用|选择1-5直接考查概念，解答13-16验证基础推理，如30°直角三角形性质证明| |B|多知识点综合、分类讨论|填空9涉及等腰三角形边长分类，解答17-18结合垂直平分线与全等，培养逻辑思维| |C|探究型问题、创新构造|解答19-20需构造全等证明等边三角形，体现模型意识与创新意识，适配高阶思维训练|

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第15章 轴对称（15.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•凌海市期末）·【A】如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AD上一点，DE＝BD，则∠ACE的度数为（　　） A．15° B．30° C．20° D．25° 2．（2025秋•拱墅区期末）·【A】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 3．（2025秋•思明区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．若AB＝8，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 4．（2026春•梅县区期末）·【A】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2026•郸城县模拟）·【A】如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2026春•莱西市期末）·【B】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•广信区期末）·【A】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　 ． 8．（2026春•大荔县校级期中）·【A】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ． 9．（2025秋•宣威市期末）·【B】等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 　 　 ． 10．（2025秋•关岭县期末）·【B】如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　 　 cm． 11．（2026春•历城区期中）·【B】如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　 　 ． 12．（2025秋•让胡路区校级期末）·【B】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•同步）·【A】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：． 14．（2026春•化州市期中）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 15．（2025秋•原阳县期末）·【A】如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 16．（2025秋•永兴县期末）·【A】如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 17．（2026春•西安月考）·【B】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 18．（2025秋•临平区期末）·【B】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 19．（2025秋•宁明县校级期末）·【C】已知，如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D在边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD，AD＝CE．求证：△ABC是等边三角形． 20．（2026春•肥城市期末）·【C】【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C C B C 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•凌海市期末）·【A】如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AD上一点，DE＝BD，则∠ACE的度数为（　　） A．15° B．30° C．20° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠ACB＝60°，BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠ECD＝∠EBD， ∵DE＝BD，∠BDE＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠DBE＝45°， ∴∠ECD＝45°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECD＝15°． 故选：A． 2．（2025秋•拱墅区期末）·【A】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 故选：C． 3．（2025秋•思明区校级期末）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．若AB＝8，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8， ∴BCAB＝4， 故选：C． 4．（2026春•梅县区期末）·【A】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴BD＝AD＝12， ∴∠DBE＝∠A＝30°， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣30°＝30°， ∴， 故选：C． 5．（2026•郸城县模拟）·【A】如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1， ∴在直角三角形ADE中，∠A＝60°，∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝2， 又∵D为AB的中点， ∴AB＝2AD＝4， ∴等边三角形ABC的边长为4， 故选：B． 6．（2026春•莱西市期末）·【B】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 【答案】C 【解答】解：∵在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝2∠C， ∴∠ABC＝∠A＝2∠C， ∴180°＝∠ABC+∠A+∠C＝2∠C+2∠C+∠C， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝2∠C＝2×36°＝72°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠A＝72°， ∴∠BED＝∠EDC+∠C＝72°+36°＝108°， ∵BE＝DE， ∴， ∴∠BDC＝∠EDB+∠EDC＝36°+72°＝108°． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•广信区期末）·【A】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　40°、70°或100°　 ． 【答案】40°、70°或100°． 【解答】解：当BC＝CD时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝40°， 当BD＝BC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝70°． 当DB＝DC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝CD， ∴∠BDC＝100°， 故答案为：40°、70°或100°． 8．（2026春•大荔县校级期中）·【A】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中， ∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝30°， ∴， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2， ∴， ∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 9．（2025秋•宣威市期末）·【B】等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 　15　 ． 【答案】15 【解答】解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6， ∵3+3＝6， ∴不能构成三角形； 当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6， ∵3+6＝9＞6， ∴能构成三角形， ∴周长为：3+6+6＝15， 综上所述，三角形的周长为：15， 故答案为：15． 10．（2025秋•关岭县期末）·【B】如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　62　 cm． 【答案】62． 【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝BD＝52cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°， ∴AEAC26（cm），BFBD26（cm）， ∴两机箱之间的最大宽度为 AE+AB+BF＝26+10+26＝62（cm）． 故答案为：62． 11．（2026春•历城区期中）·【B】如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠DBF+∠BDF＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABE+∠DBF＝90°， ∴∠ABE＝∠BDF， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BEBC＝3， ∵AB＝BD， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴BE＝DF＝3， ∴△BCD的面积BC•DF6×3＝9， 故答案为：9． 12．（2025秋•让胡路区校级期末）·【B】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：当8为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣8﹣8＝4， ∴“优美比”为； 当8为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•同步）·【A】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：． 【答案】取AB的中点D，连接CD． ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD， ∴BCAB． 【解答】证明：取AB的中点D，连接CD． ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD， ∴BCAB． 14．（2026春•化州市期中）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°． 15．（2025秋•原阳县期末）·【A】如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 【答案】见试题解答内容 （2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°． 16．（2025秋•永兴县期末）·【A】如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【答案】（1）△DEF是等边三角形，理由见解答过程； （2）证明见解答过程； （3）4． （2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 17．（2026春•西安月考）·【B】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 18．（2025秋•临平区期末）·【B】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 19．（2025秋•宁明县校级期末）·【C】已知，如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D在边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD，AD＝CE．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明过程详见解答过程． 【解答】证明：如图，在AF取一点M并连接DM，使得MF＝CF． ∵∠DFM与∠EFC是对顶角， ∴∠DFM＝∠EFC． 在△DMF和△ECF中， ， ∴△DMF≌△ECF（SAS）． ∴DM＝EC，∠ECF＝∠DMF． 又∵AD＝CE， ∴AD＝DM． ∴∠A＝∠DMA＝60°． ∴∠DMF＝180°﹣∠DMA＝120°． ∴∠ECF＝120°． ∴∠B＝∠ECF﹣∠A＝120°﹣60°＝60°． ∴∠A＝∠B＝60°． ∴AC＝BC． ∴△ABC是等边三角形． 20．（2026春•肥城市期末）·【C】【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 【答案】（1）120°； （2）， 猜想∠CAD＝∠FCE． （2）连接BF，CE，根据三角形内角和定理得到∠FEB+∠AME+∠MAE＝180°，∠FCA+∠FMC+∠EFC＝180°，得到∠EAC＝∠EFC，等量代换证明结论． 【解答】解：（1）连接BF并延长交AC于H， ∵FG是BE的垂直平分线， ∴FE＝FB， ∴∠FEB＝∠FBE， ∴∠HFE＝2∠FBE， ∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴FD是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠HFC＝2∠FBC， ∴∠EFC＝∠HFE+∠HFC＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°； （2）补全图形如图，连接BF，CE， 由（1）可知∠FEB＝∠FCA， ∵∠FEB+∠AME+∠MAE＝180°，∠FCA+∠FMC+∠EFC＝180° ∴∠EAC＝∠EFC ∵∠BAD+∠CAD+∠EAC＝180°，∠FEC+∠FCE+∠EFC＝180°，∠BAD＝∠CAD，∠FEC＝∠FCE ∴∠CAD＝∠FCE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $