第31讲　数列的概念与简单表示法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列概念与表示法，以题型为载体系统提炼通项归纳、周期判断、单调性分析等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与通项|2（第1、6题）|观察归纳通项公式|从具体数列抽象通项，建立数与项的对应| |递推与周期|2（第3、11题）|递推关系找周期|通过递推式推导周期性，揭示循环规律| |单调性与最值|5（第4、5、8、9、13题）|作差/函数法分析单调性、二次函数求最值|结合函数性质研究数列增减，关联二次函数最值| |综合应用|1（第14题）|数列与函数、不等式综合|整合数列性质解决实际问题，体现模型意识|

第31讲　数列的概念与简单表示法 (时间:45分钟) 1.[2026·福建福州期中] 已知数列,,2,,…,则是它的 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　 A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 2.已知数列{an}满足an=若a4∈[2,3],则a1的取值范围是 (　 ) A.[2,4] B.[1,3] C.[3,5] D.[5,9] 3.已知数列{an}满足anan+4=-,a4=,则a200= (　 ) A. B.- C.0 D.- 4.[2026·浙江绍兴期末] 已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值是 (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.已知函数f(x)=x2-bx+1(b∈R),若an=f(n),则“b≤2”是“{an}是递增数列”的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2025·陕西安康模拟] 在数列{an}中,an>0,a1=1,a2=,若对任意的n∈N*,++=10恒成立,则a2026= (　 ) A. B.1 C. D. 7.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则 (　 ) A.{an}既有最小项,也有最大项 B.使an∈Z的n共有5个 C.满足anan+1an+2≤0的n共有4个 D.使Sn取得最小值的n的值为4 8.[2026·山东菏泽期末] 已知递增数列{an}的通项公式为an=3n2+mn,则m的取值范围为　　　　.  9.[2025·安徽黄山期末] 已知数列{an}的通项公式为an=2n2-11n+9,则{an}中最小项的值为　　　　 .  10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=若bn=a2n,则b2=　　　　 .  11.[2026·福建宁德期中] 在数列{an}中,若a1=2,an+1=1-(n∈N+).Sn是数列{an}的前n项和,则S2026= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A. B.1015 C.2029 D.2030 12.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是 (　 ) A.a2027>a2026 B.为递增数列 C.4-1=4an+1an D.<1014 13.数列{an}中,an=n2+λn(n∈N*),且满足a1<a2<a3<…<an,则实数λ的取值范围是　　　　.  14.已知等差数列{an}满足a2=7,a9+10=2a6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=,试判断并说明bn+1-bn的符号. (3)请问是否存在正整数k,使得为数列{an}中的项?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由. 1.C　[解析] 数列,,2,,…,即数列,,,,…,其通项公式为an=,n∈N*.令an==,解得n=13,所以是它的第13项.故选C. 2.B　[解析] 设a4=m∈[2,3],由题得a3=a4-1=m-1,a2=2a3=2(m-1)=2m-2,所以a1=a2-1=2m-3,所以a1∈[1,3].故选B. 3.B　[解析] 由anan+4=-,得an≠0且an+4an+8=-,所以an+8=an,所以{an}是以8为周期的周期数列.又a4=,a4a8=-,所以a8=-,所以a200=a25×8=a8=-.故选B. 4.B　[解析] 令an>0,则>0,解得n<2或n>.因为n∈N*,所以当n=1或n≥8时,an>0,当2≤n≤7时,an≤0,所以当n=7时,Sn取得最小值.故选B. 5.B　[解析] {an}为递增数列⇔∀n∈N*,an+1>an⇔∀n∈N*,f(n+1)>f(n)⇔∀n∈N*,(n+1)2-b(n+1)+1>n2-bn+1⇔∀n∈N*,b<2n+1⇔b<(2n+1)min=3.又“b≤2”是“b<3”的充分不必要条件,所以“b≤2”是“{an}是递增数列”的充分不必要条件.故选B. 6.B　[解析] 由++=10,得++=10,两式相减得-=0,即(an+3-an)(an+3+an)=0.又an>0,所以an+3=an,所以a2026=a675×3+1=…=a1=1.故选B. 7.AD　[解析] 令y==(x>0),易知y=在,上单调递减,所以当1≤n≤3时,an+1<an,当n≥5时,an+1<an.又an=,所以a1=->a2=->a3=-2>a4=-8,a5=4>a6=>a7=1>a8=>…>0.对于A,由上述分析知数列{an}有最小项a4=-8,有最大项a5=4,故A正确;对于B,由an∈Z,知∈Z,又n∈N*,所以n=3或n=4或n=5或n=7,所以使an∈Z的n共有4个,故B错误;对于C,易知an≠0,若anan+1an+2≤0,则an,an+1,an+2中有1个负数或3个负数,所以n=1或n=2或n=4,故满足anan+1an+2≤0的n共有3个,故C错误;对于D,因为当n≤4时,an<0,当n≥5时,an>0,所以当n=4时,Sn取得最小值,故D正确.故选AD. 8.(-9,+∞)　[解析] 由数列{an}是递增数列,可得an+1-an=3(n+1)2+m(n+1)-3n2-mn>0, 即6n+3+m>0,则m>-6n-3对任意n∈N*恒成立,故m>-9,故m的取值范围为(-9,+∞). 9.-6　[解析] an=2n2-11n+9=2+9=2-,n∈N*,而2<<3,当n=2时,a2=8-22+9=-5,当n=3时,a3=18-33+9=-6,所以{an}中最小项的值为-6. 10.5　[解析] 由题可得,a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,则b2=a4=5. 11.A　[解析] 因为a1=2,an+1=1-(n∈N*),所以a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1-(-1)=2=a1,所以数列{an}是以3为周期的周期数列.因为2026=3×675+1,所以S2026=×675+2=.故选A. 12.ACD　[解析] 因为an+1-an=-an=>0,所以an+1>an,所以数列{an}为递增数列,故a2027>a2026,选项A正确;因为数列{an}为递增数列,所以an≥a1>0,所以为递减数列,选项B错误;因为an+1=,所以2an+1-an=,两边平方整理得4-1=4an+1an,选项C正确;由4-1=4an+1an,整理得an=an+1-,两边平方得=+->-,则-<,所以-<,-<,…,-<,累加可得-<×(2026-1)=1012.5,即-1<1012.5,所以<1013.5<1014,故D正确.故选ACD. 13.(-3,+∞)　[解析] 由an=n2+λn得an+1=(n+1)2+λ(n+1),所以an+1-an=2n+1+λ. 由题知数列{an}是递增数列,所以an+1-an>0,即2n+1+λ>0对任意n∈N*恒成立,所以λ>-(2n+1),即λ>[-(2n+1)]max.当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,所以λ>-3,故实数λ的取值范围是(-3,+∞). 14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意可得 解得 则an=4+3(n-1)=3n+1, 故数列{an}的通项公式为an=3n+1. (2)由(1)知,bn==,故bn+1==, 因此bn+1-bn=-==>0, 所以bn+1-bn的符号为正. (3)由题知====3k+4-. 若为数列{an}中的项,则必定有为3的整数倍,即3k+4=1或3或-1或-3, 又k为正整数,所以3k+4≥3+4=7,故不存在正整数k,使得为数列{an}中的项. 学科网（北京）股份有限公司 $