第5章 第28讲 数列的概念与简单表示法(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 以题载法构建数列概念到性质应用的完整逻辑链，融合多解法与创新情境，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|观察法求通项|从数列项的特征抽象通项公式| |通项公式求法|6题（第4、6、9、12等）|累加法、累乘法、前n项和法|递推关系→通项公式→前n项和的转化| |数列性质应用|4题（第2、3、7、10）|周期识别、作差判断单调性|通过数列项的变化规律分析性质| |创新与交汇|3题（第8、11、14）|新定义转化、实际问题建模|将抽象概念与现实情境结合，发展应用意识|

课时分层测评43　数列的概念与简单表示法 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.在数列，，，，…，，…中，是它的(　　) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 答案：B 解析：由题意可得，数列的通项公式为an＝，令，解得n＝9.故选B. 2.(2026·重庆沙坪坝模拟)已知数列满足a1＝－1，an＋1＝，则a30＝(　　) A.－8 B.－1 C. D. 答案：D 解析：由题意得，a2＝＝－8，a3＝，a4＝＝－1，故数列是以－1，－8，为一个循环的周期数列，故a30＝a3＝.故选D. 【教师备选】　数列{an}满足a1＝，(n∈N*)，则a2 027＝(　　) A. B.3 C.－2 D.－ 答案：C 解析：因为数列{an}满足a1＝，(n∈N*)，所以a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝，则{an}是以4为周期的周期数列，所以＝a3＝－2.故选C. 3.已知数列的通项公式为an＝，若是递增数列，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题可知是递增数列，所以an＋1＞an，即＞，所以k－n－1＞3k－3n，故2k＜2n－1.因为n∈N*，所以k＜.故选C. 4.(2025·山东临沂一模)设数列的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn＞0.99时，n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 答案：D 解析：因为Sn＋nan＝1，所以a1＝，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋an－1＝1，所以an＝an－1，即，此时an＝×××…×××a1＝×××…×××，n＝1也满足该式，故an＝，Sn＝1－nan＝1－.若Sn＝1－＞0.99，解得n＞99，故n的最小值为100.故选D. 5.(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝ ，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1＝ B.数列{an}的通项公式为an＝ C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝ 答案：ABC 解析：对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝ ＝ ，故A正确；对于B，当n≥2时，an＝－＝ － ＝ ，a1＝适合上式，故B正确；对于C，因为－an＝ － ＝ － ＜0，所以数列{an}为递减数列，故C正确；对于D，Tn＝ ×××…× ＝ ，所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误.故选ABC. 6.(多选)已知数列，下列结论正确的有(　　) A.若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211 B.若a1＝1，且nan＋1＝an，则an＝n C.若Sn＝3n＋，则数列的通项公式为an＝2×3n－1 D.若a1＝1，an＋1＝，则an＝ 答案：ABD 解析：对于A，由an＋1＝an＋n＋1得an＋1－an＝n＋1，则a20＝＋＋…＋＋a1＝20＋19＋…＋2＋2＝211，故A正确；对于B，因为nan＋1＝an，所以，则数列是常数列，所以＝1，an＝n，故B正确；对于C，由Sn＝3n＋可得，当n＝1时，a1＝3＋，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，但a1不满足上式，故C错误；对于D，由an＋1＝，可得－，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋，则an＝，故D正确.故选ABD. 7.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值为　　　　. 答案：30 解析：若an最大，则解得5≤n≤6.因为n∈N*，所以当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 8.(新定义)若非零数列满足an(n∈N*)，则称数列为“等积数列”.若等积数列中a1＝4，a2＝5，则a2 027＝　　　　. 答案： 解析：由题意知an，则，结合a1＝4，a2＝5，可得a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝＝4，a8＝＝5，…，故数列是以6为周期的周期数列，所以＝a5＝. 9.(10分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2＋1. (1)求a2的值； (2)(一题多解)求数列{an}的通项公式. 解：(1)因为a1＝1，an＋1＝2＋1，所以a2＝2＋1＝2＋1＝3. (2)法一：由an＋1＝2＋1， 得－Sn＝2＋1，故＝(＋1)2. 因为an＞0，所以Sn＞0，所以＋1，即－＝1， 则－＝1(n≥2)，－＝1，…，－＝1. 由累加法可得＝1＋(n－1)＝n， 所以Sn＝n2(n≥2). 又S1＝a1＝1，满足上式，所以Sn＝n2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1适合上式，所以an＝2n－1. 法二：由an＋1＝2＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn， 当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1， 所以(－1)2－(an－1)2＝4(Sn－)＝4an. 所以－－2an＋1－2an＝0， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. 因为an＞0，所以an＋1－an＝2(n≥2). 又因为a2－a1＝2， 所以{an}为等差数列，且公差为2， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知n∈N*，an＝若数列不是递增数列，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：若不是递增数列，只需令k≤0或故k≤.故选B. 11.围棋起源于我国，至今已有4 000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为(n＋1)的眼有口气，且a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　. 答案：an＝ 解析：根据题意，＝an＋n－1(n≥2)，即－an＝n－1，当n≥3时，可得an＝(an－)＋(－)＋…＋(a3－a2)＋a2，即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋2＝＋2＝.又当n＝1时，a1＝1不满足an＝，当n＝2时，a2＝2满足上式，故an＝ 12.(15分)已知数列中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)(一题多解)求数列的通项公式； (2)记bn＝3n－λ，若数列为递增数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2＝(n＋2)， 两式相减得2＝(n＋2)－(n＋1)an， 即n＝(n＋1)an，所以， 所以＝…＝＝1， 所以an＝n. 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2＝(n＋2)， 两式相减得2＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即n＝(n＋1)an，所以， 所以当n≥2时，an＝a1×××…×＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列的通项公式为an＝n. (2)由(1)知bn＝3n－λn2， 则bn＋1－bn＝－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1). 因为数列为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜. 令cn＝，则＞1， 所以为递增数列，所以λ＜c1＝2， 即实数λ的取值范围是(－∞，2). (每小题5分，共10分) 13.(交汇题)(2026·四川绵阳模拟)已知数列满足a1＋＋＋…＋＝ln，a1＝0，a2＝3ln 2，则下列选项正确的是(　　) A.a3＝5ln B.a2＋a3＞a4 C.an＋1＞2＋ D.是递增数列 答案：B 解析：因为a1＋＋＋…＋＝ln，所以a1＋＋＋…＋＝ln n，两式相减得＝ln－ln n＝ln，则an＋1＝ln，则an＝ln，所以a3＝5ln ，故A错误；a2＋a3＝3ln 2＋5ln 3－5ln 2＝5ln 3－2ln 2＝ln ，a4＝7ln ，而＞，故B正确；设x＞0，记f＝ln－x，则f'－1＝－＜0，故f＜f＝0，即ln(1＋x)＜x在上恒成立，所以an＋1＝(2n＋1)ln＜＝2＋，故C错误；a2－a3＝3ln 2－5ln ＝3ln 2－(5ln 3－5ln 2)＝8ln 2－5ln 3＝ln 28－ln 35＝ln ＝ln ＞0，所以a2＞a3，故不是递增数列，故D错误.故选B. 14.(新情境)在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的透过率Tk＝，其中k＝1，2，3，…，n，为使得，则n的最大值为(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 答案：C 解析：由题意，，…，，所以××…×，所以≤2 026，即n(n＋1)≤4 052，显然f(n)＝n(n＋1)关于n单调递增，其中n∈N*.又f(63)＝4 032＜4 052＜f(64)＝4 160，所以n的最大值为63.故选C. 学生用书⬇第138页 学科网（北京）股份有限公司 $