精品解析：天津市西青区为明学校2026—2027学年第一学期入学学情调研九年级数学试卷

2026—2027学年第一学期入学学情调研 九年级数学试卷 （满分120分，时长100分钟） 一、单选题（共36分，每题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 为庆祝神舟二十号载人飞船成功发射，某学校“探索者”天文社团开展天文知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A. 南偏西 B. 北偏东 C. 南偏东 D. 南偏西 5. 点与点两点之间的距离为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 6. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 的值随值的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、四象限 D. 它的图像与轴交点 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为( ) A. 5 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分，每题3分） 13. 计算的结果为_________． 14. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 15. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 16. 若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，在网格线上． （1）线段的长为______________； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解一元二次方程 （1）； （2）． 21. 如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． （1）请计算这个四边形对角线的长度： （2）请用学过的知识求出这块空地的面积； 22. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 如图，在矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交，于点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，求的长． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期入学学情调研 九年级数学试卷 （满分120分，时长100分钟） 一、单选题（共36分，每题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故选：A． 2. 为庆祝神舟二十号载人飞船成功发射，某学校“探索者”天文社团开展天文知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据平均数与方差做决策，根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：丙、丁两名同学的平均数高于甲、乙两名同学的平均数， 丙的方差小于丁的方差， ∴丙同学的成绩好且状态稳定， 故选：C． 3. 已知在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握方程思想的应用． 4. 甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A. 南偏西 B. 北偏东 C. 南偏东 D. 南偏西 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定义即可求出的方向角即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， ， ， ， 即的方向为南偏西， 同理可得，的方向也可为北偏东， 故选：A． 5. 点与点两点之间的距离为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中两点间距离计算，掌握坐标系中理由勾股定理求解两点之间的距离是解题的关键． 根据题意理由勾股定理求解即可． 【详解】解：点与点， 所以A、B两点的之间的距离为： 故选：D． 6. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 的值随值的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、四象限 D. 它的图像与轴交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，不符合题意； B、，的值随值的增大而减小，选项错误，不符合题意； C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； D、当时，，解得，选项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的真假性，先写出各选项的逆命题，再判断其真假，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“若，则”的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，反例：两个相似但大小不同的三角形对应角相等，但未必全等，故逆命题不成立，不符合题意； 、“如果两个数相等，则它们的绝对值相等”的逆命题为“若两个数的绝对值相等，则它们相等”，反例：和的绝对值相等，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，根据垂直平分线性质定理的逆定理，该命题成立，符合题意； 故选：． 8. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点的坐标，然后根据图象即可得到不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点， 根据图象可知的解集为， 故选：． 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 10. 如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 11. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 12. 如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为( ) A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分，每题3分） 13. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 14. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 15. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】解：根据题意得 且， 解得：， 故答案为：． 16. 若a，b是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，在网格线上． （1）线段的长为______________； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点． 【答案】（1）5 （2）如图，点P即为所求 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）连接，交于点O，在的延长线上取格点T，使得，连接并延长，交延长线于点P，连接即可． 【小问1详解】 解：线段的长为； 【小问2详解】 解：作图略； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点P为所求点的位置． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，利用完全平方公式去掉括号，再合并即可求解； （2）先计算乘除，化简二次根式再计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）先判定，再运用求根公式计算即可； （2）运用提取公因式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴． 21. 如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． （1）请计算这个四边形对角线的长度： （2）请用学过的知识求出这块空地的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）首先利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 22. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； 【小问2详解】 解：该组数据的平均数为， ∴这组数据的平均数是； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 24. 如图，在矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交，于点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴ ， 又∵， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，求出，根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）先设，则，在中由勾股定理建立方程，解得，根据面积法得到，求出，再由求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， 设，则， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $