专题1.6 有理数的乘方 导学案 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“有理数的乘方”，核心内容包括乘方的定义、运算及符号法则，非负数的偶次方性质。通过“20个2相乘如何简洁表示”的问题导入，关联乘法旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解乘方概念及底数、指数的意义。 资料设置基础随测、分层题型（概念梳理、运算、比较大小等）及实际情境题（细胞分裂、二进制转换），培养学生抽象能力、运算能力和应用意识。习题兼顾基础与拓展，助力学生用数学思维分析问题，提升核心素养，适合自主学习与课堂教学使用。

&1.6 有理数的乘方 目 标 1. 理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 重难点 1.重点 （1）知道有理数乘方的有关概念； （2）掌握有理数的乘方运算，知道乘方运算后结果的符号； 2.难点 （1）有理数乘方的综合应用； （2）有理数乘方有关的新定义题、材料阅读题等。 知识要点1 有理数的乘方 20个2相乘，能用较简洁的式子表示吗? 上面2×2,也就是2个2相乘可以写成22.类似地，2×2×2,也就是3个2相乘可以写成2³,2×2×2×2×2可以写成2⁵,2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可以写成210.一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识要点2 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【基础随测】 1．（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 2．（2026六年级下·上海·专题练习）计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 3.n为正整数，则______，______，______． 4．（25-26六年级上·上海·期中）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 【题型01 乘方的基础概念梳理】 的底数是______，指数是______；的底数是______，指数是______； 的底数是______，指数是______． 下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【变式1-1】．计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 【变式1-2】．计算（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-4】．下列各式结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型02 有理数的乘方运算】 计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 【变式1】．计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） (7)． 【题型03 已知有理数乘方运算的结果，求原数】 平方等于的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 【变式3-1】．已知，，且，则的值等于 ． 【变式3-2】．某数的平方是4，则这个数的立方是（    ） A．8 B．-8 C． D． 【变式3-3】．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型04 有理数乘方的应用—比较大小】 （25-26六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【变式4-1】．将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【变式4-2】．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型05 有理数乘方的非负性】 已知m、n满足，那么的值为 ． 【变式5-1】．（25-26六年级下·上海杨浦·期末）若，则 ， ． 【变式5-2】．（25-26六年级下·上海徐汇·期中）若 ，那么= ； 【变式5-3】．若，则 ． 【变式5-4】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【题型06 有理数乘方的概念灵活运用】 在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 【变式6-1】．下列各数中：；；，负数为 ．（填序号） （24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【变式6-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算 . 【变式6-3】．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【变式6-4】．计算的结果是 ． 【变式6-5】．若n为正整数，则计算的结果是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式6-6】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【题型07 有理数乘方的实际应用】 某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-2】．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型08 有理数乘方的其他代数应用】 （25-26六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【变式8-1】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 对于有理数，，定义新运算：，如，则的值为 ． 【变式8-2】学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 【变式8-3】．求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 【变式8-4】请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）下列各对算式中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 4．（25-26六年级上·上海虹口·期中）已知下列各数：、、、0、、，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 6．已知，则的值为（    ）． A．15 B． C． D．125 7．计算(－2)99＋(－2)100的结果是（    ） A．299 B．－2 C．2 D．－299 8．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 9．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．0 10．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 二、填空题 11．-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 12．（25-6六年级下·上海宝山·期中）底数是，指数是的幂可写成 ． 13．比较大小： |－10|．（填“>”“<”或“=”） 14．计算： ． 15．定义，则 ． 16．（24-25六年级上·上海·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，那么 ． 17．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 18．（25-26六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 三、解答题 19．计算：． 20．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 21．（2025秋•金山区校级期末）计算：． 22．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 23．下列各式一定成立吗？ （1）；   （2）；    （3）；      （4）． 24．请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 25．已知且，试求的值 26．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 27．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方” (1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________. (2)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数  B．对于任何正整数n，1ⓝ=1 C．    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 =________；=_________；=_______ (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________ (5)算一算： . 学科网（北京）股份有限公司 $ &1.6 有理数的乘方 目 标 1. 理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 重难点 1.重点 （1）知道有理数乘方的有关概念； （2）掌握有理数的乘方运算，知道乘方运算后结果的符号； 2.难点 （1）有理数乘方的综合应用； （2）有理数乘方有关的新定义题、材料阅读题等。 知识要点1 有理数的乘方 20个2相乘，能用较简洁的式子表示吗? 上面2×2,也就是2个2相乘可以写成22.类似地，2×2×2,也就是3个2相乘可以写成2³,2×2×2×2×2可以写成2⁵,2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可以写成210.一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识要点2 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【基础随测】 1．（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4 3 6 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． （1）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （2）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （3）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4； 故答案为：4；4； （2）的底数是，指数是3； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2． 故答案为：6；2． 2.（2026六年级下·上海·专题练习）计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27． 【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 3.n为正整数，则______，______，______． 【答案】1；-1；-1（n为奇数）或1（n为偶数） 【解析】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是它本身． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意分类讨论． 4．（25-26六年级上·上海·期中）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 由，可得，于是得解． 【详解】解：，， ， ， 故选：． 【题型01 乘方的基础概念梳理】 的底数是______，指数是______；的底数是______，指数是______； 的底数是______，指数是______． 【答案】3，2；，4；5，3． 【解析】乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【总结】本题主要考察乘方的定义． 下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的性质：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．根据有理数的乘方的性质即可作出判断． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，，选项B错误； C、，，故选项C错误； D、，，故选项D错误． 故选：A． 【变式1-1】．计算：（1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______；（6）______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 【变式1-2】．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的含义，可得：2m，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可． 【详解】解：2m+． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义． 【变式1-3】．下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则．根据有理数的乘方先进行运算，再进行排除选项． 【详解】解：A. 与，不相等，故本选项不符合题意； B. 与，不相等，故本选项不符合题意； C. 与，不相等，故本选项不符合题意；     D. 与相等，故本选项符合题意；     故选：D． 【变式1-4】．下列各式结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．各选项中两式利用乘方的意义、绝对值的代数意义，以及相反数定义计算得到结果，判断即可． 【详解】解：A. ，，故此选项符合题意； B. ，，故此选项不符合题意； C. ，，故此选项不符合题意； D. ，，故此选项不符合题意； 故选A． 【题型02 有理数的乘方运算】 计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）；（2）16；（3）2.89；（4）；（5）8；（6）36． 【分析】根据乘方的运算法则，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【点睛】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 【变式2-1】．计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） (7)． 【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） （7）解： 【题型03 已知有理数乘方运算的结果，求原数】 平方等于的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 【答案】 ±； ﹣3． 【分析】根据有理数的乘方的概念进行解答即可． 【详解】解：∵（±）2=， ∴平方等于的数是±； ∵（﹣3）3=﹣27， ∴立方等于﹣27的数是﹣3． 故答案为：±4；﹣3． 【点睛】本题考查有理数的乘方． 【变式3-1】．已知，，且，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，有理数的乘方得定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：∵，， ∴，， 由， 则，， ∴； ，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 【变式3-2】．某数的平方是4，则这个数的立方是（    ） A．8 B．-8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平方和立方的定义去计算． 【详解】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2， 2的立方是8，-2的立方是-8． 故选：C ． 【点睛】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是． 【变式3-3】．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 【题型04 有理数乘方的应用—比较大小】 （25-26六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，有理数比较大小，先根据有理数的乘方计算，进而比较得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】．将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【答案】 【分析】本题比较有理数比较大小，根据有理数的乘方法则，以及正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 【变式4-2】．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值以及有理数大小比较，解题的关键是先分别化简各数，再根据有理数大小比较规则进行排序． 先计算出的值，再与比较大小． 【详解】解：，， 是负数，9和27是正数， 最小． 又， ， 故选：A． 【变式4-3】．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求一个数的相反数，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关概念是解题的关键． 由题意可得，，，然后比较其大小即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 【题型05 有理数乘方的非负性】 已知m、n满足，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、及有理数的乘方等，理解并运用绝对值与偶次幂的非负性、及有理数的乘方是解题的关键． 由题意易得，则可求m、n的值，进而代入求解即可． 【详解】解：∵m、n满足， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式5-1】．（25-26六年级下·上海杨浦·期末）若，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，3a-b-1=0， 解得a=1，b=2， 故答案为：1，2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 【变式5-2】．（25-26六年级下·上海徐汇·期中）若 ，那么= ； 【答案】1 【分析】根据平方的非负性，绝对值的非负性，求出a，b的值即可； 【详解】解：由题意得：a-2=0，a=2；b+=0，b=； ∴a+3b=2+（-1）=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负代数式的和：如果几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零． 【变式5-3】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方的法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式5-4】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【题型06 有理数乘方的概念灵活运用】 在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了正数，以及绝对值，乘方，首先把式子化简，然后再根据正数的定义：比0大的数是正数，可以选出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正数有，，共2个． 故答案为：2． 【变式6-1】．下列各数中：；；，负数为 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、正数和负数的定义，掌握乘方、正数和负数的定义是解答本题的关键． 先根据乘方化简，再根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解： ，，， 负数为：， 故答案为：． （24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算 . 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的乘方．根据“的偶数次方为，奇数次方为”求解即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 【变式6-3】．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： =1+1=2； 当n为偶数时： =1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式6-4】．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据有理数乘方运算的意义可得，再提取公因数计算即可． 本题考查了有理数乘方运算． 【详解】解： 故答案为． 【变式6-5】．若n为正整数，则计算的结果是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据为偶数，为奇数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是注意符号． 【变式6-6】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【详解】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 【题型07 有理数乘方的实际应用】 某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义．熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义即得结论． 【详解】∵3分钟分裂了3次，再过分钟共分裂了次， 由题意可知，每分钟分裂成3个，3分钟分裂成个， ∴再过分钟后共分裂成了．故选C． 【变式7-1】．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 【变式7-2】．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积， 故选：A． 【题型08 有理数乘方的其他代数应用】 （25-26六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【变式8-1】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 对于有理数，，定义新运算：，如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，掌握新定义的法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式8-2】．学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据新定义进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【变式8-3】．求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， ， ， 故答案为：． 【变式8-4】请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 【答案】（1）；（2）9 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【详解】解：（1）指数式62=36对应的对数式是： 对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27； （2）∵，， ∴log232=5，log5625=4， log232+log5625 ＝5+4 ＝9． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）下列各对算式中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方计算，逐项判断即可． 【详解】解：A， ， 故该选项不符合题意； B，， ， 故该选项不符合题意； C，， ， 故该选项符合题意； D，， ， 故该选项不符合题意得； 故选： C． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先根据乘方的意义整理原式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解、倒数、相反数的定义、有理数的定义 【分析】本题考查倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方，掌握倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方的意义是正确判断的前提．根据倒数、相反数、偶次幂的意义进行判断即可． 【详解】解：A．没有倒数，但0的相反数是0，因此选项A不正确； B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数，因此选项B正确； C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数可能是正数，有可能是负数，因此选项C不正确； D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或，因此选项D不正确； 故选：B． 4．（25-26六年级上·上海虹口·期中）已知下列各数：、、、0、、，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数的乘方运算、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的意义，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，化简多重符号，解题的关键是熟练掌握运算法则，先根据有理数乘方运算法则，绝对值意义，相反数定义进行化简，然后再进行判断即可． 【详解】解：，，，， 所以非负数有：、、0，共3个， 故选：B． 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴ ， 故选：A． 6．已知，则的值为（    ）． A．15 B． C． D．125 【答案】C 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可求x，y，代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根． 7．计算(－2)99＋(－2)100的结果是（    ） A．299 B．－2 C．2 D．－299 【答案】A 【分析】先把化为，再利用乘法的分配律进行计算即可得到答案. 【详解】解：(－2)99＋(－2)100 故选A 【点睛】本题考查的是有理数的乘方的含义，乘法分配律的应用，掌握“有理数的乘方的含义”是解本题的关键. 8．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m， 第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， …, 第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 9．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．0 【答案】D 【分析】根据是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，可以得到，，，然后所求式子计算即可． 【详解】解：是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数， ，，， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出，，的值． 10．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2021除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知31=3，末位数字为3，             32=9，末位数字为9，             33=27，末位数字为7，             34=81，末位数字为1，             35=243，末位数字为3，             36=729，末位数字为9，             37=2187，末位数字为7，             38=6561，末位数字为1，             …             由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，             又2021÷4=505…1， 所以32021的末位数字与33的末位数字相同是3．             故选:A． 【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 二、填空题 11．-5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 【答案】 5.2 负号 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数幂的概念理解 【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果． 【详解】解：-5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号， 故答案为：5.2，负号． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 12．（25-26六年级下·上海宝山·期中）底数是，指数是的幂可写成 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据幂的书写规则即可求解． 【详解】解：底数为，指数为2， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号． 13．比较大小： |－10|．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＜ 【分析】先整理数据，=9，|－10|=10，进而得出大小关系． 【详解】解：∵=9，|－10|=10， 又9<10， ∴<|－10|． 故答案为：<． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，本题需要先整理数据，再进行比较即可，题目较简单． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方、绝对值及有理数的乘法．先算乘方、去绝对值，进而得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15．定义，则 ． 【答案】-2 【分析】根据新定义运算即可求解． 【详解】=23-32=-1 ∴-1-1=-2 故答案为-2． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知新定义运算法则． 16．（24-25六年级上·上海·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，那么 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、倒数、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数的混合运算的运用，相反数、绝对值倒数运用．先根据条件由a、b互为相反数可以得出，c、d互为倒数可以得出，m的绝对值为1可以得出，从而求出m的值，然后代入就可以求出其值． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴，则， ∴． 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则计算即可求值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（25-26六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 【答案】6 【知识点】有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故答案为：6． 三、解答题 19．计算：． 【答案】-2 【分析】先算乘方，再算乘法和化简绝对值，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键． 20．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】15 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．先算乘方，再算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ． 21．（2025秋•金山区校级期末）计算：． 【分析】先进行乘方运算，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【解答】解： ． 22．（2026六年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的混合运算法则（先算乘方再算乘法，最后运算加减）进行计算即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 23．下列各式一定成立吗？ （1）；   （2）；    （3）；      （4）． 【答案】（1）一定；    （2）不一定；     （3）不一定；    （4）不一定． 【分析】根据乘方的运算和绝对值的意义计算． 【详解】解：（1），所以原等式一定成立； （2），所以原等式不一定成立； （3），所以不原等式一定成立； （4）当，，成立， 当时，，所以原等式不一定成立． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，注意乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，注意任何数的绝对值为非负数． 24．请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 【详解】解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 25．已知且，试求的值 【答案】1或343 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴x=±3，， 当x=3，时，， 当x=－3，时，. 26．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方以及有理数的混合运算，数式规律问题的有关知识，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得， 将下式减去上式得：，即， ； （2）解：设， 两边乘以3得：， 下式减去上式得：， 即， ． 27．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方” (1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________. (2)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数  B．对于任何正整数n，1ⓝ=1 C．    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 =________；=_________；=_______ (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________ (5)算一算： . 【答案】(1)，4 (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：aⓝ， 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $