专题06分式的运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦分式的运算，涵盖乘除、乘方、加减运算法则及混合运算顺序，通过复习整式运算与因式分解引入，搭建从已有知识到分式运算的学习支架，明确约分、通分等核心操作与分式方程的前置联系。 资料分17类题型（含难度分级）并总结常见错误，解题思路清晰，强调规范步骤与运算严谨性，助力学生提升运算能力和推理意识，培养数学思维，适合自主学习与教师教学评估。

专题06分式的运算精讲学案 核心立意 熟练掌握分式乘、除、乘方、加减的标准运算法则，严格遵守分式混合运算顺序；掌握因式分解、约分、通分核心操作，规避固定运算陷阱；规范分式化简求值步骤与取值限制，夯实分式方程前置运算基础，提升代数运算严谨性。 分式的乘法 1. 运算法则 文字：两个分式相乘，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母。 公式：（b、d 均不为 0） 2. 计算标准步骤 (1)若分子、分母是多项式，先因式分解； (2)分子分母交叉约分，消去全部公因式； (3)剩余因式分别相乘，结果化为最简分式。 3. 补充说明 整式与分式相乘，把整式看成分母为 1 的分式再计算。 ： 分式的除法 1. 运算法则 文字：分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 公式：：​（b、c、d 均不为 0） 2. 关键要点 (1)除法第一步必须先变乘法，同时颠倒除式分子分母； (2)不可直接分子分母分别相除； (3)含多项式依旧先分解、再约分。 分式的乘方 1. 运算法则 文字：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2. 符号规律 分式负数次幂：(-)n，n奇数结果为负，n偶数结果为正。 3. 混合运算顺序 先乘方，再乘除；同级运算从左往右依次计算。 同分母分式加减法 1. 运算法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 2. 重要注意 分子是多项式时，加减必须给分子整体加括号，避免符号出错。 异分母分式加减法 1. 运算法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 步骤：找最简公分母→通分→分子相加减→约分至最简 公式：（b、d 均不为 0） 2. 整式加分式处理方法 把整式写成分母为 1 的分式，再通分计算。 分式混合运算通用完整顺序 1.有括号，先算括号内的加减； 2.无括号先算分式乘方； 3.再从左到右完成乘除运算； 4.最后算分式加减； 5.每一步计算后及时约分，最终结果必须是最简分式或整式。 重点辨析 1.约分与通分：约分针对单个分式化简；通分针对多个异分母分式统一分母；二者均依据分式基本性质，不改变分式大小。 2.整式与分式运算：整式默认分母为1，不可与分式分子、分母直接合并，必须遵循分式统一运算法则。 3.乘除与加减本质区别：分式乘除可提前交叉约分简化；分式加减严禁约分计算，必须通分运算。 4.运算结果标准：最终结果无公因式、无繁分式、无括号冗余，必须是最简形式。 1.多项式分母未彻底因式分解，导致约分不彻底、计算繁琐出错。 2.分式除法未转化倒数，直接颠倒分子分母，法则误用。 3.异分母分式加减跳过通分，盲目分子、分母分别相加减，根本性公式错误。 4.多项式分母未因式分解就找公分母，最简公分母判定错误。 5.混合运算顺序混乱，优先计算加减、跳过乘方乘除，运算逻辑颠倒。 6.加减运算中，多项式分子未整体加括号，去括号符号出错。 7.化简求值忽略分母不为0的隐含条件，代入无意义数值。 8.运算结束不化简，保留可约分分式、繁分式，答题不规范失分。 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 ★★ 题型二 分式除法 ★★ 题型三 分式乘除混合运算 ★★★ 题型四 含乘方的分式乘除混合运算 ★★★ 题型五 分式乘方 ★★ 题型六 同分母分式加减法 ★★ 题型七 异分母分式加减法 ★★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 ★★★★ 题型十 分式加减混合运算 ★★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★★ 题型十四 负整数指数幂 ★★ 题型十五 整数指数幂的运算 ★★★ 题型十六 最简公分母 ★★ 题型十七 通分 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：分式乘法 解题思路：①把分子、分母中的多项式因式分解；②找出分子和分母的公因式进行约分；③约分后分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母；④结果化为最简分式。 1．计算：________________． 【答案】 【分析】根据分式的乘法与约分进行化简即可． 【详解】解：． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】根据分式乘法法则约分计算即可． 【详解】解：． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 4．已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 由题意知，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 题型二 分式除法 解题思路：①将除式的分子分母颠倒，除法变成乘法；②把全部多项式因式分解；③找出公因式约分；④分子、分母分别相乘；⑤整理成最简分式。 5．计算：______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 6．化简的结果正确的是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简，先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．计算：________． 【答案】 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 题型三 分式乘除混合运算 解题思路：①把所有除法转化成乘法；②对全部多项式因式分解；③整体统一约分，不要先单独计算局部；④剩余因式分别相乘；⑤写成最简分式。 9．化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，先把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 10．下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．分式乘除运算时，除法需转化为乘法并注意约分，根据分式的乘除运算依次计算判断即可． 【详解】解：对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确； 故选：D． 11．已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 【答案】 【分析】利用分式的除法计算法则求解即可，考虑到． 【详解】解：由题意可知，，，故且 ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式除法的运算，熟练掌握是解决本题的关键． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 题型四 含乘方的分式乘除混合运算 解题思路：①先计算分式乘方，分子、分母各自乘方，确定符号；②除法统一改成乘法；③因式分解多项式；④集中约分；⑤相乘后化为最简分式。 13．计算∶=____． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 15．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 题型五 分式乘方 解题思路：①分子整体乘方、分母整体乘方；②根据指数奇偶性判断结果符号；③利用幂的运算规则化简；④分母不为零。 16．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 17．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 18．计算______． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键． 19．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 题型六 同分母分式加减法 解题思路：①分母保持不变，分子相加减；②把分子合并化简，可以因式分解；③检查分子分母有没有公因式；④约分得到最简分式。 20．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为两个分式分母相同，所以直接根据同分母分式减法法则，将分子相减、分母保持不变．对合并后的分子进行因式分解，用完全平方公式处理分子的多项式．因为分子分母存在公因式，所以约分化为最简分式． 【详解】解：． 21．计算：________． 【答案】2 【分析】先将异分母分式通过变形转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减运算法则进行计算，最后对结果约分得到最简形式． 【详解】解： ． 22．已知代数式则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，通过计算的结果，根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 即． 题型七 异分母分式加减法 解题思路：①先求出最简公分母；②各个分式通分，统一成同分母分式；③分子进行加减运算；④合并、化简分子；⑤约分得到最简分式。 23．计算的结果等于（   ） A．x B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 24．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 25．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 题型八 整式与分式相加减 解题思路：①把整式改写成分母为1的分式；②确定最简公分母，统一通分；③分子合并加减；④化简分子；⑤约分，化为最简分式。 26．计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可 【详解】解： ． 故选：D． 27．对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 28．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 解题思路：②将等式一侧通分，化为同分母；②左右两边分母一致时，分子的多项式对应相等；③比较同类项的系数，列出方程；④求出待定字母；⑤检验取值不能让原分式分母等于0。 29．若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 30．已知（其中、均为常数），则_________． 【答案】 【分析】将等式右侧通分后，根据分子相等对应系数相等，即可直接得到的值． 【详解】解：， ， 整理得：， 两个多项式相等，则对应项系数相等， 的一次项系数相等， 可得：． 31．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 题型十 分式加减混合运算 解题思路：①确定最简公分母；②给每一个分式通分；③分子加减运算，注意添括号，防范符号出错；④合并同类项，对分子因式分解；⑤约分得到最简分式。 32．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 33．计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 34．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 题型十一 分式加减的实际应用 解题思路：①审题，用分式把题目中的数量表示出来；②根据题意列出分式加减算式；③进行通分、化简；④结合实际意义取舍结果。 35．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ）        A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键 36．用漫灌方式给绿地浇水，a天用水12吨，改用滴灌方式后，同样的水量可以比原来多用6天，那么滴灌比漫灌平均每天节约用水_________吨（用含a的代数式表示）.    【答案】 【分析】漫灌时平均每天的用水量为吨，滴灌平均每天用水量为吨，然后求它们的差即可． 【详解】解：滴灌比漫灌平均每天节约用水量为（吨）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 37．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 根据平均单价总钱数两次购买的斤数和求出甲、乙所购饲料的平均单价，然后作差法比较两单价的大小即可． 【详解】∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且）， ∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）； 甲、乙两种饲料的平均单价的差是： ∵m、n是正数， ∴时，也是正数， ∴ ∴乙的购货方式更合算． 故选：B． 题型十二 分式加减乘除混合运算 解题思路：①优先计算括号里面的部分；②把除法改为乘法；③先处理加减：通分合并；④因式分解后整体约分；⑤整理成最简分式。 38．化简：后结果是_________． 【答案】 【详解】解： ． 39．计算：的值是______． 【答案】/ 【详解】解： ． 40．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式混合运算法则，逐项进行验证即可． 【详解】解：若处为“”，则 ，故A不符合题意； 若处为“”，则 ，故B不符合题意； 若处为“”，则 ，故C不符合题意； 若处为“”，则 ，故D符合题意． 题型十三 分式化简求值 解题思路：①先化简原式，不要直接代入数值；②因式分解、约分、通分，化为最简；③检验字母取值，保证原式分母不为零；④把数值代入最简式算出答案。 41．若，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 42．已知，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 43．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 【答案】D 【分析】利用变形得到所求分式的分子，拆分后结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵，∴，，，， ∴ ， ∵， ∴原式． 题型十四 负整数指数幂 解题思路：①依据a-p=转换成正指数形式；②底数不等于0；③整理结果。 44．计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 45．计算：___________________． 【答案】 【分析】分别计算零指数幂和负整数指数幂，再将结果相加即可． 【详解】解： ． 46．下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，提取公因式计算幂的加法，逐一验证每个式子即可得到正确的个数． 【详解】解：根据零指数幂运算法则，任何非零数的次幂等于，判断： ∵ ，∴错误； 根据负整数指数幂运算法则，，判断： ∵，∴错误； 判断：∵ ， ∴错误； 提取公因式判断：∵， ∴正确； 综上所述，只有个计算正确． 题型十五 整数指数幂的运算 解题思路：①运用幂的乘、除法则计算；②含有负指数的项改写为分式；③合并；④最终结果不带负指数。 47．若，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，理解指数为负数时同底数幂的乘法法则是本题的关键． 48．计算：把结果化为只含有正整数指数幂的形式：___________． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键． 49．计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方，正整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 50．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 题型十六 最简公分母 解题思路：①把各个分母因式分解；②取出出现过的所有因式；③每个因式选用最高次幂；④系数取最小公倍数，相乘得到最简公分母。 51．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定，按照最简公分母的求解规则：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有出现的不同字母都写入乘积，即可得到结果． 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为和， ∵的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为． 52．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 53．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 54．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 题型十七 通分 解题思路：①算出最简公分母；②确定每个分母需要乘的因式；③分子和分母同步乘该因式；④改写各个分式，分母统一为最简公分母。 55．对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 56．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 57．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 解答题 1．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. （3）根据分式和整式的加减法法则计算，通分后相减即可． （4）根据分式的混合运算法则，先计算括号内的分式的减法，再颠倒除式的分子分母，除法化为乘法，约分后分子相乘分母相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（1）已知，且，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的混合运算，熟知分式的相关运算法则是解题的关键． （1）设，则，据此代入求解即可； （2）先计算分式乘方，再把除法变成乘法后约分化简，最后通分化简即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则， ∵， ∴ ； （2） ． 4．化简求值：，其中． 【答案】化简结果：，值为： 【分析】首先把括号里的进行通分，再变除法为乘法，因式分解，约分化简，最后，代入求值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当， 原式． 5．定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”， 理由如下： ， 与互为“平衡分式”． (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 6．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 【答案】(1)， (2) 解：淇淇说的有道理，理由如下： 是大于5的正整数， ， ， ， 所以淇淇说的有道理． 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及分数的加减法，乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据是大于5的正整数，可以判断嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小，从而得出答案； （2）利用作差法，计算，可得结果为，然后分析分母的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：是大于5的正整数， 嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小， 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是； 故答案为：，； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式的运算精讲学案 核心立意 熟练掌握分式乘、除、乘方、加减的标准运算法则，严格遵守分式混合运算顺序；掌握因式分解、约分、通分核心操作，规避固定运算陷阱；规范分式化简求值步骤与取值限制，夯实分式方程前置运算基础，提升代数运算严谨性。 分式的乘法 1. 运算法则 文字：两个分式相乘，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母。 公式：（b、d 均不为 0） 2. 计算标准步骤 (1)若分子、分母是多项式，先因式分解； (2)分子分母交叉约分，消去全部公因式； (3)剩余因式分别相乘，结果化为最简分式。 3. 补充说明 整式与分式相乘，把整式看成分母为 1 的分式再计算。 ： 分式的除法 1. 运算法则 文字：分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 公式：：​（b、c、d 均不为 0） 2. 关键要点 (1)除法第一步必须先变乘法，同时颠倒除式分子分母； (2)不可直接分子分母分别相除； (3)含多项式依旧先分解、再约分。 分式的乘方 1. 运算法则 文字：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2. 符号规律 分式负数次幂：(-)n，n奇数结果为负，n偶数结果为正。 3. 混合运算顺序 先乘方，再乘除；同级运算从左往右依次计算。 同分母分式加减法 1. 运算法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 2. 重要注意 分子是多项式时，加减必须给分子整体加括号，避免符号出错。 异分母分式加减法 1. 运算法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 步骤：找最简公分母→通分→分子相加减→约分至最简 公式：（b、d 均不为 0） 2. 整式加分式处理方法 把整式写成分母为 1 的分式，再通分计算。 分式混合运算通用完整顺序 1.有括号，先算括号内的加减； 2.无括号先算分式乘方； 3.再从左到右完成乘除运算； 4.最后算分式加减； 5.每一步计算后及时约分，最终结果必须是最简分式或整式。 重点辨析 1.约分与通分：约分针对单个分式化简；通分针对多个异分母分式统一分母；二者均依据分式基本性质，不改变分式大小。 2.整式与分式运算：整式默认分母为1，不可与分式分子、分母直接合并，必须遵循分式统一运算法则。 3.乘除与加减本质区别：分式乘除可提前交叉约分简化；分式加减严禁约分计算，必须通分运算。 4.运算结果标准：最终结果无公因式、无繁分式、无括号冗余，必须是最简形式。 1.多项式分母未彻底因式分解，导致约分不彻底、计算繁琐出错。 2.分式除法未转化倒数，直接颠倒分子分母，法则误用。 3.异分母分式加减跳过通分，盲目分子、分母分别相加减，根本性公式错误。 4.多项式分母未因式分解就找公分母，最简公分母判定错误。 5.混合运算顺序混乱，优先计算加减、跳过乘方乘除，运算逻辑颠倒。 6.加减运算中，多项式分子未整体加括号，去括号符号出错。 7.化简求值忽略分母不为0的隐含条件，代入无意义数值。 8.运算结束不化简，保留可约分分式、繁分式，答题不规范失分。 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 ★★ 题型二 分式除法 ★★ 题型三 分式乘除混合运算 ★★★ 题型四 含乘方的分式乘除混合运算 ★★★ 题型五 分式乘方 ★★ 题型六 同分母分式加减法 ★★ 题型七 异分母分式加减法 ★★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 ★★★★ 题型十 分式加减混合运算 ★★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★★ 题型十四 负整数指数幂 ★★ 题型十五 整数指数幂的运算 ★★★ 题型十六 最简公分母 ★★ 题型十七 通分 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：分式乘法 解题思路：①把分子、分母中的多项式因式分解；②找出分子和分母的公因式进行约分；③约分后分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母；④结果化为最简分式。 1．计算：________________． 2．计算：_____． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 题型二 分式除法 解题思路：①将除式的分子分母颠倒，除法变成乘法；②把全部多项式因式分解；③找出公因式约分；④分子、分母分别相乘；⑤整理成最简分式。 5．计算：______． 6．化简的结果正确的是（  ） A． B． C．1 D． 7．计算：________． 8．若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 题型三 分式乘除混合运算 解题思路：①把所有除法转化成乘法；②对全部多项式因式分解；③整体统一约分，不要先单独计算局部；④剩余因式分别相乘；⑤写成最简分式。 9．化简：_______． 10．下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 11．已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 含乘方的分式乘除混合运算 解题思路：①先计算分式乘方，分子、分母各自乘方，确定符号；②除法统一改成乘法；③因式分解多项式；④集中约分；⑤相乘后化为最简分式。 13．计算∶=____． 14．的结果是（    ） A． B． C． D．1 15．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 题型五 分式乘方 解题思路：①分子整体乘方、分母整体乘方；②根据指数奇偶性判断结果符号；③利用幂的运算规则化简；④分母不为零。 16．计算：______． 17．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 18．计算______． 19．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 题型六 同分母分式加减法 解题思路：①分母保持不变，分子相加减；②把分子合并化简，可以因式分解；③检查分子分母有没有公因式；④约分得到最简分式。 20．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 21．计算：________． 22．已知代数式则（     ） A． B． C． D． 题型七 异分母分式加减法 解题思路：①先求出最简公分母；②各个分式通分，统一成同分母分式；③分子进行加减运算；④合并、化简分子；⑤约分得到最简分式。 23．计算的结果等于（   ） A．x B． C． D． 24．计算的结果是_____． 25．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 题型八 整式与分式相加减 解题思路：①把整式改写成分母为1的分式；②确定最简公分母，统一通分；③分子合并加减；④化简分子；⑤约分，化为最简分式。 26．计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 27．对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 28．若，则的值为______． 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 解题思路：②将等式一侧通分，化为同分母；②左右两边分母一致时，分子的多项式对应相等；③比较同类项的系数，列出方程；④求出待定字母；⑤检验取值不能让原分式分母等于0。 29．若常数M，N满足，则_______． 30．已知（其中、均为常数），则_________． 31．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 题型十 分式加减混合运算 解题思路：①确定最简公分母；②给每一个分式通分；③分子加减运算，注意添括号，防范符号出错；④合并同类项，对分子因式分解；⑤约分得到最简分式。 32．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 33．计算：_____． 34．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 题型十一 分式加减的实际应用 解题思路：①审题，用分式把题目中的数量表示出来；②根据题意列出分式加减算式；③进行通分、化简；④结合实际意义取舍结果。 35．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ）        A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 36．用漫灌方式给绿地浇水，a天用水12吨，改用滴灌方式后，同样的水量可以比原来多用6天，那么滴灌比漫灌平均每天节约用水_________吨（用含a的代数式表示）.    37．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定 题型十二 分式加减乘除混合运算 解题思路：①优先计算括号里面的部分；②把除法改为乘法；③先处理加减：通分合并；④因式分解后整体约分；⑤整理成最简分式。 38．化简：后结果是_________． 39．计算：的值是______． 40．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 题型十三 分式化简求值 解题思路：①先化简原式，不要直接代入数值；②因式分解、约分、通分，化为最简；③检验字母取值，保证原式分母不为零；④把数值代入最简式算出答案。 41．若，则 （     ） A． B． C． D． 42．已知，则代数式的值为____． 43．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 题型十四 负整数指数幂 解题思路：①依据a-p=转换成正指数形式；②底数不等于0；③整理结果。 44．计算的值为（     ） A． B． C． D． 45．计算：___________________． 46．下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型十五 整数指数幂的运算 解题思路：①运用幂的乘、除法则计算；②含有负指数的项改写为分式；③合并；④最终结果不带负指数。 47．若，则的值为______． 48．计算：把结果化为只含有正整数指数幂的形式：___________． 49．计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 50．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十六 最简公分母 解题思路：①把各个分母因式分解；②取出出现过的所有因式；③每个因式选用最高次幂；④系数取最小公倍数，相乘得到最简公分母。 51．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 52．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 53．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 54．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 题型十七 通分 解题思路：①算出最简公分母；②确定每个分母需要乘的因式；③分子和分母同步乘该因式；④改写各个分式，分母统一为最简公分母。 55．对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 56．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 57．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．化简： (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（1）已知，且，求的值． （2）计算：． 4．化简求值：，其中． 5．定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 6．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $