专题02整式的乘法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦整式的乘法，涵盖幂的运算性质及单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三类运算，作为整式运算的分水岭，通过分析指数法则混淆、符号失误等典型错题，以转化思想为支架，衔接后续乘法公式与因式分解的学习。 资料特色在于错题归类精准，设三大核心幂运算公式对比及逆向运用，题型按基础到难点分星级，含解题思路与避坑提示，结合图形面积应用和规律探究，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识，提升运算严谨性和问题解决能力。

专题02整式的乘法精讲学案 核心立意 本节是整式运算的分水岭，错题集中在指数法则混淆、符号失误、漏乘三类问题。熟练掌握正整数指数下三条幂的运算性质，逐级掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，体会由繁化简的转化思想，夯实运算严谨性，为后续乘法公式、因式分解做好铺垫。 幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 公式逆向运用 整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式 × 单项式 · 运算步骤： ① 系数相乘；② 同底数幂分别相乘；③ 单独字母直接保留 · 公式示例：3x2y (-2xy3) = -6x3y4 · 口诀：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式 × 多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 重点辨析 1.区分法则：同底数幂是指数相加，幂的乘方是指数相乘，二者不可混淆。 2.积的乘方勿忘系数部分也要乘方。 3.底数互为相反数的幂，先统一底数再运算；留意符号随指数奇偶发生改变；分清-an和(-a)n的意义差别。 4.幂运算中的底数可以是多项式整体，把多项式当成整体处理。 5.三条幂的运算法则仅限正整数指数使用。 6.单项式乘多项式，分配律必须覆盖全部项，常数项不可漏掉。 7.多项式相乘要做到逐项相乘，不漏乘；每一项自带前面的正负符号。 8.整式乘法得到结果之后，需要合并同类项化为最简形式。 1.混淆幂的三条运算法则，指数相加、相乘误用。 2.积的乘方只给字母乘方，漏掉系数乘方。 3.系数相乘时符号判断出错。 4.单项式乘多项式漏乘其中某一项。 5.多项式相乘出现漏项，某两项相乘遗漏。 6.运算结束忘记合并同类项。 7.处理不含某项的题型，不会令对应项系数等于0。 8.负数、分数底数进行乘方运算，漏添括号改变原意。 9.底数互为相反数变形时，奇偶次幂的符号处理失误。 10.忽略底数可以是多项式整体，不会整体代换运算。 11.混淆-an与(-a)n，符号判断出错。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★★ 题型三 用科学记数法表示数的乘法 ★★ 题型四 幂的乘方运算 ★ 题型五 幂的乘方的逆用 ★★★ 题型六 积的乘方运算 ★ 题型七 积的乘方的逆用 ★★★ 题型八 计算单项式乘单项式 ★★ 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★★ 题型十 计算单项式乘多项式及求值 ★★ 题型十一 单项式乘多项式的应用 ★★★ 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★★ 题型十三 计算多项式乘多项式 ★★ 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 ★★ 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★ 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 ★★★★ 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十九 整式乘法混合运算 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：同底数幂相乘 解题思路：①判断底数是否相同，套用公式aman=am+n ；②底数互为相反数时，依据指数奇偶调整符号，统一底数；③多个因式相乘时，将全部指数相加。 1．计算：________． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和合并同类项法则，进行解答，即可． 【详解】解：A选项： ， 选项计算正确； B选项：，选项计算错误； C选项： ，选项计算错误； D选项：，选项计算错误． 3．______． 【答案】 【分析】先分别计算各部分的符号和指数，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 4．若，是正整数，且满足，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用幂的运算法则化简等式左右两边，再根据同底数幂相等时指数相等推导m与n的关系即可． 【详解】解：∵等式左边是8个相加 ∴左边 ∵等式右边是个相乘 ∴右边 ∵左右两边相等，即 ∴ ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 解题思路：①逆用公式am+n=aman；②把待求指数拆成已知指数之和；③改写为已知幂相乘的形式，整体代入求值。 5．已知 则的值是__________． 【答案】 【分析】逆用同底数幂乘法法则，将变形为，代入已知数值计算． 【详解】解：由题意得 ，， ∴． 6．已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 7．化简的结果是______________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 题型三 用科学记数法表示数的乘法 解题思路：①整理成a10m)(b10n)的形式；②系数单独相乘，10的幂按同底数幂乘法运算；③规范结果，保证1|a|10，同步调整10的指数。 避坑：忘记规范化系数；10的指数算错。 9．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵ 火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的倍，地球同步卫星轨道高度为 ∴所求距离为：． 10．某卫星的速度约为 ，它飞行的路程约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂的乘法法则和科学记数法的规范化简计算即可得到结果． 【详解】解：某卫星的速度约为 ，它飞行 的路程约为： ． 11．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 题型四 幂的乘方运算 解题思路：①识别(am)n的形式，套用法则(am)n=amn ；②分清-(am)n和(-a)n的区别，正确处理负号。 12．计算：________． 【答案】 【分析】利用积的乘方法则将分解为，然后结合幂的乘方法则（m，n为正整数）计算即可． 【详解】解：原式． 13．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，∴A错误； B、与不是同类项，不能合并，∴B错误； C、，∴C错误； D、，∴D正确． 14．计算：______． 【答案】 / 【分析】逆用积的乘方法则简化高次幂运算，拆分指数后分组计算即可得结果． 【详解】解： ． 15．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，得到关于和的方程，解方程即可得到结果. 【详解】解：，且， ， 解得， ，且， ， 解得， ∴，. 题型五 幂的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式amn=(am)n=(an)m②将指数拆成两个因数相乘；③凑出题干给出幂的形式，整体代入求值。 避坑：指数因数拆分不当，不会灵活变形。 16．比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】将两个幂变形为同指数幂，通过比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，即． 17．若，则（     ） A．7 B．10 C．16 D．25 【答案】D 【详解】解：，， ． 18．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用底数相同的相等幂的指数相等求解． 【详解】解：， ， 由幂的乘方法则，得， 底数相同的两个幂相等，则指数相等， ， 移项得． 19．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察三个数的指数，、、均为111的倍数，可利用幂的乘方运算法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：； ； ． 又， ， 即． 题型六 积的乘方运算 解题思路：①运用公式(ab)n=anbn ，括号内所有因式分别乘方；②系数连同符号一并参与乘方；③多层括号由内向外依次运算。 20．______． 【答案】 【详解】解：． 21．若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方的逆运算，将等式右侧整理为单项式的三次方形式，即可得到的结果． 【详解】， 对等式右侧变形得：， ， ． 22．已知a，b为任意非零实数，且，则__________． 【答案】36 【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方计算得到，推出，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a，b为非零实数， ∴，，解得，， 故． 故答案为：36． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 23．通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算____________ 【答案】 【分析】所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 题型七 积的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式anbn=(ab)n；②筛选指数相同的幂，底数相乘合并；③底数相乘可以凑1、-1时优先合并简化运算。 避坑：指数不等的时候强行逆用积的乘方公式。 24．计算：_____． 【答案】1 【详解】解：． 25．计算 _______ 【答案】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则，可得：原式，再逆用积的乘方的法则进行计算． 【详解】解： ． 26．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 分别将和的两边次方、次方，得和，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得，从而得到，计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 题型八 计算单项式乘单项式 解题思路：①运算拆分为系数、相同字母、独有字母三部分；②系数先定符号，再计算绝对值乘积；③相同字母使用同底数幂乘法，独有字母连同指数原样保留。 避坑：遗漏独有字母；系数符号出错。 27．计算：__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 28．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，，故A错误； 选项B，与不是同类项，无法合并，故B错误； 选项C，，运算正确； 选项D，，故D错误． 29．若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 【答案】 【分析】按照题意列式，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 30．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为，根据图2得出和，再利用得到，再表示出代入计算即可． 【详解】解：设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为， 根据图2是正方形，得， 即， 由图2两个的位置，可得，即， 图2正方形边长为， ， ， ， ， ． 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题思路：①先化简等式左侧单项式乘法；②根据恒等条件，等式两边对应项的系数、指数分别相等，列出方程；③解出参数后代入目标代数式求值。 避坑：混淆比对指数和比对系数的场景。 31．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 32．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 33．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型十 计算单项式乘多项式及求值 解题思路：①利用分配律，单项式乘以多项式的每一项；②拆解成单项式乘单项式逐项运算；③合并同类项化简后，再代入数值计算。 避坑：漏乘常数项；忽略项前面的负号。 34．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可得到结果. 【详解】解： . 35．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 36．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键． 由，则，即，然后两式相减得出，最后讨论即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴当时，， 故答案为：． 37．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 题型十一 单项式乘多项式的应用 解题思路：①读懂题意，列出对应的代数式；②展开单项式乘多项式并化简；③把已知数值代入化简后的式子算出最终结果。 38．一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ． 39．如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为_______（用或表示）． 【答案】 【分析】观察图形，可以得到：，用含有a，b的式子将各个部分表示出来，化简即可求解． 【详解】解：正方形ABCD的边长为，正方形EFGB的边长为， ，， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用用整式表示面积，整式的运算，正确表示出各部分的面积是解题的关键． 40．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 解题思路：①展开去括号，整理等式两边；②移项合并同类项；③利用恒等条件，对应项系数相等建立方程求解参数。 41．要使的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】2 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则即可求出答案. 此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 的展开式中不含项， , 解得：． 故答案为：2． 42．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解： ∵结果中不含x的五次项， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键． 43．若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】先根据整式乘法法则可得，，再求出字母a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴，， 解得，. ∴． 题型十三 计算多项式乘多项式 解题思路：①第一个多项式每一项乘第二个多项式每一项；②每项带上原有正负号，写出全部乘积；③合并同类项化为最简形式。 避坑：出现漏乘；相乘时符号搞错；忘记合并同类项。 44．计算：____________． 【答案】 【详解】解： ． 45．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 46．若，则____________． 【答案】 【分析】将等式左边展开后，利用多项式相等则同类项系数相等，先求出和的值，再计算． 【详解】解：， ，，， ，， 则． 47．设，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∴，即. 故选：C. 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 解题思路：①按照多项式乘法展开(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；②记住一次项系数是常数之和，常数项是常数之积；③常数为负数时，把负号归入p、q再代入公式。 避坑：一次项、常数项记忆颠倒；负数代入时符号出错。 48．已知，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算，然后对比对应项系数，即可获得答案． 【详解】解：， ∵， ∴对比对应项系数，得，． 49．若则的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 50．已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题思路：①展开多项式乘积，合并同类项；②定位题目指定不含的项；③令该项系数等于0，列方程求解参数。 避坑：未合并同类项就提取系数；看错目标项。 51．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． ∵计算结果不含的一次项， ∴， 解得． 52．一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 53．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 解题思路：①先展开乘法运算，合并同类项化为最简多项式；②将已知数值代入最简式；③负数、分数代入的时候必须添加括号。 避坑：不化简直接代入；代值漏括号引发符号错误。 54．已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 55．若已知，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 56．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 57．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 解题思路：①分别从整体、分割两个角度写出面积代数式；②两个表达式建立等量关系；③化简式子或者求解参数。 避坑：看错边长；分割图形时重复或者遗漏区域。 58．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A类卡片（     ） A．4张 B．5张 C．6张 D．7张 【答案】C 【分析】先计算拼成图形的面积和长方形A的面积，根据计算结果确定需要A的张数． 【详解】解： ， 长方形A的面积是， 需要A类6张． 59．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 【答案】 【分析】根据所给的图形可知，四个小图形的面积和与拼成大图形的面积相等； 分别按整体和各部分表示出大图形的面积，可使问题得解． 【详解】解：图形整体面积为， 四部分面积之和可表示为， ∴ ． 60．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 【答案】C 【分析】先根据长方形面积公式，计算长为、宽为的大长方形的总面积，使用多项式乘多项式法则展开．结合卡片的形状，确定A类、B类、C类卡片对应的面积分别为、、，因为拼成的大长方形面积等于所有卡片面积之和，所以展开后的总式中项的系数就是所需C类卡片的数量．将所需C类卡片数量和已准备的20张对比，判断是否够用并计算差值． 【详解】解：∵ A类正方形面积为，B类正方形面积为，C类长方形面积为． 大长方形长为，宽为， 面积为：． ∴展开式中的系数就是需要C类卡片的数量，即需要17张C类卡片． 小明准备了20张C类卡片，（张）， ∴够用，剩余3张． 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 解题思路：①演算前2～3组样例，写出运算结果；②对比原式和结果，归纳通用代数式；③选取一组序号代入通项进行检验。 避坑：只观察结果忽略原式结构；归纳出来的通项有误。 61．观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 62．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 63．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】由题意知，对于，当令时，的结果即为展开式中所有项的系数和，所以取代入计算即可． 【详解】解：当时， ∴展开式中所有项的系数和是． 题型十九 整式乘法混合运算 解题思路：①严格按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序运算；②每一步乘法及时核对符号；③全部乘完之后统一合并同类项；④求值类先化简后代入。 避坑：运算顺序颠倒；多层运算符号累积出错；同类项合并不彻底。 64．若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据所求式子可知令，可以求出，即可解题． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握赋值法是解题的关键． 65．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 66．将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用．根据题意列式得到一面染色的正方体个数为，再根据题意得到多项式的最大值和最小值即可． 【详解】解：由题意可知，一面染色的正方体个数为，最少为0， 最大时a，b，c分别为2，8，10， 此时， ， 故选：B 解答题 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)4 【分析】（1）根据幂的乘方，同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （5）逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据多项式乘以多项式，多项式乘以单项式进行化简，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 4．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的去处法则，把代数式化简，再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 5．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【答案】(1)，，； (2)， 【分析】（1）根据等面积问题即可得出答案； （2）设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，仿照（1）作答即可． 【详解】（1）解：当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是即，从而可得； （2）解：设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为， 拼图略， ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，，满足的等量关系是即，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时，解得，即该长方形变成边长为9的正方形，即时，； 综上分析，长、宽分别为、的长方形的最大面积是， 即代数式的最大值为． 6．阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【详解】（1）解：观察给出的特殊式子： ①， ②， ③， 以此类推，； （2）解：①由（1）知， ， ， ②， 即， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式的乘法精讲学案 核心立意 本节是整式运算的分水岭，错题集中在指数法则混淆、符号失误、漏乘三类问题。熟练掌握正整数指数下三条幂的运算性质，逐级掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，体会由繁化简的转化思想，夯实运算严谨性，为后续乘法公式、因式分解做好铺垫。 幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 公式逆向运用 整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式 × 单项式 · 运算步骤： ① 系数相乘；② 同底数幂分别相乘；③ 单独字母直接保留 · 公式示例：3x2y (-2xy3) = -6x3y4 · 口诀：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式 × 多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 重点辨析 1.区分法则：同底数幂是指数相加，幂的乘方是指数相乘，二者不可混淆。 2.积的乘方勿忘系数部分也要乘方。 3.底数互为相反数的幂，先统一底数再运算；留意符号随指数奇偶发生改变；分清-an和(-a)n的意义差别。 4.幂运算中的底数可以是多项式整体，把多项式当成整体处理。 5.三条幂的运算法则仅限正整数指数使用。 6.单项式乘多项式，分配律必须覆盖全部项，常数项不可漏掉。 7.多项式相乘要做到逐项相乘，不漏乘；每一项自带前面的正负符号。 8.整式乘法得到结果之后，需要合并同类项化为最简形式。 1.混淆幂的三条运算法则，指数相加、相乘误用。 2.积的乘方只给字母乘方，漏掉系数乘方。 3.系数相乘时符号判断出错。 4.单项式乘多项式漏乘其中某一项。 5.多项式相乘出现漏项，某两项相乘遗漏。 6.运算结束忘记合并同类项。 7.处理不含某项的题型，不会令对应项系数等于0。 8.负数、分数底数进行乘方运算，漏添括号改变原意。 9.底数互为相反数变形时，奇偶次幂的符号处理失误。 10.忽略底数可以是多项式整体，不会整体代换运算。 11.混淆-an与(-a)n，符号判断出错。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★★ 题型三 用科学记数法表示数的乘法 ★★ 题型四 幂的乘方运算 ★ 题型五 幂的乘方的逆用 ★★★ 题型六 积的乘方运算 ★ 题型七 积的乘方的逆用 ★★★ 题型八 计算单项式乘单项式 ★★ 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★★ 题型十 计算单项式乘多项式及求值 ★★ 题型十一 单项式乘多项式的应用 ★★★ 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★★ 题型十三 计算多项式乘多项式 ★★ 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 ★★ 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★ 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 ★★★★ 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十九 整式乘法混合运算 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：同底数幂相乘 解题思路：①判断底数是否相同，套用公式aman=am+n ；②底数互为相反数时，依据指数奇偶调整符号，统一底数；③多个因式相乘时，将全部指数相加。 1．计算：________． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．______． 4．若，是正整数，且满足，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 题型二 同底数幂乘法的逆用 解题思路：①逆用公式am+n=aman；②把待求指数拆成已知指数之和；③改写为已知幂相乘的形式，整体代入求值。 5．已知 则的值是__________． 6．已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 7．化简的结果是______________． 8．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 题型三 用科学记数法表示数的乘法 解题思路：①整理成a10m)(b10n)的形式；②系数单独相乘，10的幂按同底数幂乘法运算；③规范结果，保证1|a|10，同步调整10的指数。 避坑：忘记规范化系数；10的指数算错。 9．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 10．某卫星的速度约为 ，它飞行的路程约为（     ） A． B． C． D． 11．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 题型四 幂的乘方运算 解题思路：①识别(am)n的形式，套用法则(am)n=amn ；②分清-(am)n和(-a)n的区别，正确处理负号。 12．计算：________． 13．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 14．计算：______． 15．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 题型五 幂的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式amn=(am)n=(an)m②将指数拆成两个因数相乘；③凑出题干给出幂的形式，整体代入求值。 避坑：指数因数拆分不当，不会灵活变形。 16．比较大小：______．（填“＞”或“＜”或“＝”） 17．若，则（     ） A．7 B．10 C．16 D．25 18．已知，则的值为_________． 19．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型六 积的乘方运算 解题思路：①运用公式(ab)n=anbn ，括号内所有因式分别乘方；②系数连同符号一并参与乘方；③多层括号由内向外依次运算。 20．______． 21．若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 22．已知a，b为任意非零实数，且，则__________． 23．通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算____________ 题型七 积的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式anbn=(ab)n；②筛选指数相同的幂，底数相乘合并；③底数相乘可以凑1、-1时优先合并简化运算。 避坑：指数不等的时候强行逆用积的乘方公式。 24．计算：_____． 25．计算 _______ 26．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 题型八 计算单项式乘单项式 解题思路：①运算拆分为系数、相同字母、独有字母三部分；②系数先定符号，再计算绝对值乘积；③相同字母使用同底数幂乘法，独有字母连同指数原样保留。 避坑：遗漏独有字母；系数符号出错。 27．计算：__________． 28．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 29．若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 30．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题思路：①先化简等式左侧单项式乘法；②根据恒等条件，等式两边对应项的系数、指数分别相等，列出方程；③解出参数后代入目标代数式求值。 避坑：混淆比对指数和比对系数的场景。 31．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 32．，求的值_______． 33．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十 计算单项式乘多项式及求值 解题思路：①利用分配律，单项式乘以多项式的每一项；②拆解成单项式乘单项式逐项运算；③合并同类项化简后，再代入数值计算。 避坑：漏乘常数项；忽略项前面的负号。 34．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 35．计算：______． 36．若，则的值为______． 37．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 单项式乘多项式的应用 解题思路：①读懂题意，列出对应的代数式；②展开单项式乘多项式并化简；③把已知数值代入化简后的式子算出最终结果。 38．一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 39．如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为_______（用或表示）． 40．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 解题思路：①展开去括号，整理等式两边；②移项合并同类项；③利用恒等条件，对应项系数相等建立方程求解参数。 41．要使的展开式中不含项，则的值是______． 42．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ） A．1 B．0 C．-1 D． 43．若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 题型十三 计算多项式乘多项式 解题思路：①第一个多项式每一项乘第二个多项式每一项；②每项带上原有正负号，写出全部乘积；③合并同类项化为最简形式。 避坑：出现漏乘；相乘时符号搞错；忘记合并同类项。 44．计算：____________． 45．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 46．若，则____________． 47．设，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 解题思路：①按照多项式乘法展开(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；②记住一次项系数是常数之和，常数项是常数之积；③常数为负数时，把负号归入p、q再代入公式。 避坑：一次项、常数项记忆颠倒；负数代入时符号出错。 48．已知，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 49．若则的值为________ 50．已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题思路：①展开多项式乘积，合并同类项；②定位题目指定不含的项；③令该项系数等于0，列方程求解参数。 避坑：未合并同类项就提取系数；看错目标项。 51．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 52．一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 53．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 解题思路：①先展开乘法运算，合并同类项化为最简多项式；②将已知数值代入最简式；③负数、分数代入的时候必须添加括号。 避坑：不化简直接代入；代值漏括号引发符号错误。 54．已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 55．若已知，则的值为_______． 56．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 57．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 解题思路：①分别从整体、分割两个角度写出面积代数式；②两个表达式建立等量关系；③化简式子或者求解参数。 避坑：看错边长；分割图形时重复或者遗漏区域。 58．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A类卡片（     ） A．4张 B．5张 C．6张 D．7张 59．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 60．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（     ）    A．够用，剩余2张 B．不够用，还缺2张 C．够用，剩余3张 D．不够用，还缺3张 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 解题思路：①演算前2～3组样例，写出运算结果；②对比原式和结果，归纳通用代数式；③选取一组序号代入通项进行检验。 避坑：只观察结果忽略原式结构；归纳出来的通项有误。 61．观察下列各式 计算：__________． 62．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 63．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 题型十九 整式乘法混合运算 解题思路：①严格按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序运算；②每一步乘法及时核对符号；③全部乘完之后统一合并同类项；④求值类先化简后代入。 避坑：运算顺序颠倒；多层运算符号累积出错；同类项合并不彻底。 64．若，则代数式的值为______． 65．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 66．将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 解答题 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 2．计算： (1)． (2)． 3．先化简，再求值：，其中． 4．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 5．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 6．阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $