13.3分式方程（讲义，6大知识点&10大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第十三章 分式 13.3 分式方程 课标要点 1.理解分式方程的定义，能准确识别分式方程。 2.掌握解分式方程的基本思路（去分母化为一元一次方程）和步骤，会检验增根。 3.能根据分式方程解的情况求参数的值，会处理分式方程无解（含增根）的问题。 4.能列分式方程解决行程、工程、经济、和差倍分等实际问题。 5.能通过阅读材料，理解并掌握把一个分式写成几个分式的和的拆分方法。 学习重难点 重点： 1.解分式方程的基本步骤（去分母、解整式方程、检验）； 2.分列分式方程解应用题。 难点： 1.分式方程的增根与无解问题的辨析与求值； 2.实际问题中寻找等量关系并列出分式方程； 3.分式的拆分技巧。 知识点 分式方程的定义 ◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ◆2、分式方程的定义判断要点： 1.方程中必须含有分母； 2.分母中必须含有未知数。 易错提醒 1.- 的分母是2，不含未知数，它是整式方程，不是分式方程； 2.- 的分母含未知数 ，是分式方程 随学随练 1．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点 解分式方程（化为一元一次） ◆1、基本思路：将分式方程转化为整式方程。 ◆2、一般步骤： 去分母： 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程： 解这个整式方程（通常是一元一次方程）； 检验： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则是原方程的解；若等于0，则是增根，原方程无解。 随学随练易错提醒 1.去分母时，每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 2.必须检验，因为去分母可能产生增根。 1.（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）方程的解为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·上海·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 知识点 根据分式方程解的情况求值 ◆1、运算方法： 将已知的解代入原方程（或去分母后的整式方程），得到关于参数的方程，求解即可。 随学随练易错提醒 1.代入求值时，要注意分母不能为0； 2.若已知解的情况，需先解出含参数的整式方程的解，再根据条件列式。 1.（25-26七年级上·上海·期末）如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·上海虹口·期末）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 3.（24-25七年级上·上海闵行·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 知识点 分式方程无解问题（含增根） ◆1、增根： 使最简公分母为0的整式方程的根，叫做原分式方程的增根。 ◆2、分式方程无解的两种情况： 去分母后的整式方程无解； 整式方程有解，但解是原方程的增根（即最简公分母为0）。 随学随练易错提醒 1.“无解”与“有增根”不完全等同。无解包含“整式方程无解”和“解全为增根”两种情况； 2. 求参数时，需分类讨论，不能遗漏整式方程无解的情况。 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 2.（（25-26七年级上·上海宝山·期末）如果关于的方程无解，那么的值为___． 知识点 列分式方程解应用题 ◆1、一般步骤：审、设、列、解、验、答。 ◆2、常见类型及等量关系： 行程问题： 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度； 工程问题： 工作总量通常设为1，工作效率 = 1 ÷ 工作时间； 经济问题： 总价 = 单价 × 数量； 和差倍分问题： 抓住“多、少、倍、分”等关键词找等量关系。 易错提醒 1.列方程时要注意单位统一； 2.解出方程后，既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是____________________． 2.（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 3.（24-25七年级上·上海虹口·作业）、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是____________． 知识点 阅读材料：把一个分式写成几个分式的和 解题方法：将复杂分式拆分成几个简单分式的和（或差），常用于分式化简和求值。 如： 又如：，通过通分对比系数求出 、 易错提醒 1.拆分时要注意分母的因式分解，根据分母的因式设定待定分子； 2.求出参数后要代入验证。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）已知等式对于任意正整数都成立． (1)请根据该等式，计算：； (2)解下列方程：． 2.（25-26七年级上·上海长宁·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 3.（25-26七年级上·上海普陀·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 拓展 分式方程的增根与无解的区别与联系 易错提醒 1.有增根：整式方程有解，但解使最简公分母为0，原方程无解； 2.无解：可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解全是增根； 3.解题时遇到“无解”，要分两种情况讨论。 活学活用 1．关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．3 C． D．2 2.若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 拓展 整体思想在分式方程中的应用 易错提醒 1.当方程中出现相同的整体（如 、）时，可换元简化计算； 2.换元后要记得回代求原未知数，并检验。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为__________． 2.已知关于x的分式方程无解． (1)求a的值； (2)先化简，后求值：． 拓展 分式方程中的数学建模（方案选择问题） 易错提醒 1.方案选择问题通常需要列出多个分式方程或代数式，比较不同方案的结果； 2.注意题目中“至少”、“不超过”等限制条件。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 题型 分式方程的定义 ▌例1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 解题方法 1. 看方程中是否含有分母； 2. 看分母中是否含有未知数； 3. 两个条件同时满足才是分式方程。 解题贴士 分母含未知数是关键，只含数字的分母不是分式方程。 ▌对点练1-1 （24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型 解分式方程（化为一元一次） ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 解题方法 1. 确定最简公分母 ； 2. 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 ； 3. 解整式方程得 ； 4. 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 解题贴士 去分母时每一项都要乘，不要漏乘； 解完必须检验，验根是解分式方程必不可少的一步。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为______． ▌对点练2-2 分式方程的解为______． 题型 根据分式方程解的情况求值 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 解题方法 1. 将已知的解代入原方程； 2. 得到关于参数的方程； 3. 解方程求出参数，并检验分母不为0。 解题贴士 代入时要注意分母不能为0； 解出参数后可代回原方程检验。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海金山·期末）若关于x的方程有增根，则________． 题型 分式方程无解问题 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 解题方法 1.去分母化为整式方程； 2. 分情况讨论： 整式方程无解（如 ）； 整式方程有解，但解是增根（使最简公分母为0）。 3. 分别求出参数的值。 解题贴士 “无解”包含“整式方程无解”和“解为增根”两种情况，分类讨论不能遗漏； 求出参数后要代回验证。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）．若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程无解，那么的值是_____． 题型 分式方程（行程问题） ▌例5（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测））已知A、B两地相距120千米，甲、乙两人都要从A地前往B地，若甲用的时间比乙少1小时，且甲的速度是乙的倍，如果设乙的速度为，则可列方程_______． 解题方法： 1.设未知数（通常设原计划速度）； 2.用含未知数的式子表示实际时间和原计划时间； 3.根据“实际时间比原计划少 小时”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 时间单位要统一（分钟化小时）； 检验既要验增根，又要验实际意义。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为：________． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程________． 题型 列分式方程（工程问题） ▌例6 （25-26七年级上·上海·期末）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是______． 解题方法 1.将工作总量设为 ； 2.甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ； 3.设合作需要 天，根据“工作效率之和 × 合作时间 = 1”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 工程问题中通常把总工作量设为“1”； 工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·期末）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为_______． 题型 列分式方程（经济问题） ▌例7 （25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 解题方法 1.设乙种商品每件进价为 元，则甲种商品每件进价为 元； 2.根据“数量相同”列方程：； 3.解方程并检验。 解题贴士 经济问题中，数量 = 总价 ÷ 单价； 注意检验解是否符合实际意义。 ▌对点练7-1 咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ______ ． ▌对点练7-2（24-25七年级上·上海青浦·期中）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为_______元． 题型 列分式方程（和差倍分问题） ▌例8 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中表示的是_______． 解题方法 1. 设这个数为 ； 2. 根据“差”、“和”、“倍”、“分”等关键词列出方程； 3. 解方程并检验。 解题贴士 抓住关键词，准确翻译成数学式子； 注意“多”、“少”、“是”、“等于”等词对应的运算。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有______克． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 题型 列分式方程（其它实际问题） ▌例9 （25-26七年级上·上海·期末）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 解题方法 1.设十位数字为 ，则个位数字为 ； 2.原两位数为 ，新两位数为 ； 3.根据“新数比原数大27”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 数字问题中，两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字； 求出解后要检验是否符合数字的范围。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程_______________． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海普陀·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为______． 题型 阅读材料：把一个分式写成几个分式的和 ▌例10（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是__________． ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海金山·期中）已知关于的分式方程有增根，则________．解题方法 1.观察分母的因式，将复杂分式拆分成简单分式的和（或差）； 2.利用通分对比系数，或利用待定系数法求解； 3.注意拆分后的形式要与原式恒等。 解题贴士 拆分时先看分母能分解成哪些因式； 待定系数法：设 ，通分后对比系数。 ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海·期末）我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 基础通关 1．（24-25七年级上·上海·阶段检测）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）关于x的方程有增根，则__________． 4.（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果关于的方程无解，那么的值是_____． 6．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的方程无解，那么_______． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）分式方程的解是：______． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 9．（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期末）若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为______． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）解方程： 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）解方程：． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·阶段测试）解分式方程． 14．（25-26七年级上·上海·期末）某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 16．（25-26七年级上·上海·期中）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）解关于的方程： 18．（25-26七年级上·上海·期中）某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 迁移创新 19．改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 20．某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？ 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）（1）计算：             （2）解方程： 22.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 分式 13.3 分式方程 课标要点 1.理解分式方程的定义，能准确识别分式方程。 2.掌握解分式方程的基本思路（去分母化为一元一次方程）和步骤，会检验增根。 3.能根据分式方程解的情况求参数的值，会处理分式方程无解（含增根）的问题。 4.能列分式方程解决行程、工程、经济、和差倍分等实际问题。 5.能通过阅读材料，理解并掌握把一个分式写成几个分式的和的拆分方法。 学习重难点 重点： 1.解分式方程的基本步骤（去分母、解整式方程、检验）； 2.分列分式方程解应用题。 难点： 1.分式方程的增根与无解问题的辨析与求值； 2.实际问题中寻找等量关系并列出分式方程； 3.分式的拆分技巧。 知识点 分式方程的定义 ◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ◆2、分式方程的定义判断要点： 1.方程中必须含有分母； 2.分母中必须含有未知数。 易错提醒 1.- 的分母是2，不含未知数，它是整式方程，不是分式方程； 2.- 的分母含未知数 ，是分式方程 随学随练 1．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程、代数式的概念、分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3.（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 知识点 解分式方程（化为一元一次） ◆1、基本思路：将分式方程转化为整式方程。 ◆2、一般步骤： 去分母： 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程： 解这个整式方程（通常是一元一次方程）； 检验： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则是原方程的解；若等于0，则是增根，原方程无解。 随学随练易错提醒 1.去分母时，每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 2.必须检验，因为去分母可能产生增根。 1.（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：D． 3.（25-26七年级上·上海·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：C． 知识点 根据分式方程解的情况求值 ◆1、运算方法： 将已知的解代入原方程（或去分母后的整式方程），得到关于参数的方程，求解即可。 随学随练易错提醒 1.代入求值时，要注意分母不能为0； 2.若已知解的情况，需先解出含参数的整式方程的解，再根据条件列式。 1.（25-26七年级上·上海·期末）如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入分式方程解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 2.（25-26七年级上·上海虹口·期末）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 3.（24-25七年级上·上海闵行·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的分式方程的解为非负数，可得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴，， 解得，且， 故选：B． 知识点 分式方程无解问题（含增根） ◆1、增根： 使最简公分母为0的整式方程的根，叫做原分式方程的增根。 ◆2、分式方程无解的两种情况： 去分母后的整式方程无解； 整式方程有解，但解是原方程的增根（即最简公分母为0）。 随学随练易错提醒 1.“无解”与“有增根”不完全等同。无解包含“整式方程无解”和“解全为增根”两种情况； 2. 求参数时，需分类讨论，不能遗漏整式方程无解的情况。 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 2.（（25-26七年级上·上海宝山·期末）如果关于的方程无解，那么的值为___． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先去分母，化为关于x的一元一次方程求解，再根据原分式方程无解得出，求得的值． 【详解】解：去分母，得， 解得：， 因为原分式方程无解， 所以， 所以， 解得：， 故答案为：． 知识点 列分式方程解应用题 ◆1、一般步骤：审、设、列、解、验、答。 ◆2、常见类型及等量关系： 行程问题： 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度； 工程问题： 工作总量通常设为1，工作效率 = 1 ÷ 工作时间； 经济问题： 总价 = 单价 × 数量； 和差倍分问题： 抓住“多、少、倍、分”等关键词找等量关系。 易错提醒 1.列方程时要注意单位统一； 2.解出方程后，既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是____________________． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设中客车的载客x人，则大客车的载客人，根据等量关系：大客车的数量中客车的数量，列出方程即可． 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 2.（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，根据两队同时开工且恰好同时完工，列出分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得：， 故答案为：． 3.（24-25七年级上·上海虹口·作业）、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是____________． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键；由题意得乙车的平均速度为千米/小时，根据等量关系：乙车比甲车早到30分钟，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得乙车的平均速度为千米/小时， 则：； 故答案为：． 知识点 阅读材料：把一个分式写成几个分式的和 解题方法：将复杂分式拆分成几个简单分式的和（或差），常用于分式化简和求值。 如： 又如：，通过通分对比系数求出 、 易错提醒 1.拆分时要注意分母的因式分解，根据分母的因式设定待定分子； 2.求出参数后要代入验证。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）已知等式对于任意正整数都成立． (1)请根据该等式，计算：； (2)解下列方程：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）原式利用拆项法变形，计算即可求出值； （2）方程左边利用拆项法变形，计算即可求出解． 【详解】（1）原式 ； （2）方程整理得：， 整理得：，即， 去分母得：， 解得：， 把代入得：， 分式方程的解为 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键． 2.（25-26七年级上·上海长宁·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【知识点】分式加减混合运算、分式方程无解问题 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 3.（25-26七年级上·上海普陀·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 拓展 分式方程的增根与无解的区别与联系 易错提醒 1.有增根：整式方程有解，但解使最简公分母为0，原方程无解； 2.无解：可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解全是增根； 3.解题时遇到“无解”，要分两种情况讨论。 活学活用 1．关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解决本题的关键．先解关于的分式方程得．再根据增根的定义，解决此题． 【详解】解： 去分母，得， 移项，得． 关于的分式方程有增根， ， ． 故选：． 2.若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，先将分式方程化成整式方程，再分两种情况：方程无解，原分式方程有增根，据此求解即可，正确分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，即，整式方程无解； 当，即时，分式方程无解， 把代入，得， 解得， ∴， 故选：． 拓展 整体思想在分式方程中的应用 易错提醒 1.当方程中出现相同的整体（如 、）时，可换元简化计算； 2.换元后要记得回代求原未知数，并检验。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为__________． 【答案】2 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 2.已知关于x的分式方程无解． (1)求a的值； (2)先化简，后求值：． 【答案】(1)a=-1 (2)-a-2；－1 【知识点】分式化简求值、分式方程无解问题 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据关于x的分式方程无解，即可求得a的值； （2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，即可将题目中的式子化简，然后将（1）中的a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）由方程得： ， ， ∵此分式方程无解， ∴此分式方程有增根， ∴即； （2）原式＝， ＝， ＝， ∵由（1）， ∴原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值． 拓展 分式方程中的数学建模（方案选择问题） 易错提醒 1.方案选择问题通常需要列出多个分式方程或代数式，比较不同方案的结果； 2.注意题目中“至少”、“不超过”等限制条件。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 题型 分式方程的定义 ▌例1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 解题方法 1. 看方程中是否含有分母； 2. 看分母中是否含有未知数； 3. 两个条件同时满足才是分式方程。 解题贴士 分母含未知数是关键，只含数字的分母不是分式方程。 ▌对点练1-1 （24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型 解分式方程（化为一元一次） ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 解题方法 1. 确定最简公分母 ； 2. 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 ； 3. 解整式方程得 ； 4. 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 解题贴士 去分母时每一项都要乘，不要漏乘； 解完必须检验，验根是解分式方程必不可少的一步。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为______． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键． 设，则，，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【详解】解：设，则，， ∴原方程可化为：，整理得：， 故答案为：． ▌对点练2-2 分式方程的解为______． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解， 故答案为：． 题型 根据分式方程解的情况求值 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 解题方法 1. 将已知的解代入原方程； 2. 得到关于参数的方程； 3. 解方程求出参数，并检验分母不为0。 解题贴士 代入时要注意分母不能为0； 解出参数后可代回原方程检验。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 因为分式方程无解， 所以， 即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海金山·期末）若关于x的方程有增根，则________． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k的值即可． 【详解】解：方程两边同乘以得， 把代入上式得， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型 分式方程无解问题 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 解题方法 1.去分母化为整式方程； 2. 分情况讨论： 整式方程无解（如 ）； 整式方程有解，但解是增根（使最简公分母为0）。 3. 分别求出参数的值。 解题贴士 “无解”包含“整式方程无解”和“解为增根”两种情况，分类讨论不能遗漏； 求出参数后要代回验证。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）．若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根． 将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可； 【详解】解：将分式方程变为整式方程得：． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故选A． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】1 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程无解的可能情况是整式方程无解或整式方程的解为增根．本题中整式方程恒有解，因此只需令解为增根即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 当时，原方程无解， 故， 解得：， 故答案为：． 题型 分式方程（行程问题） ▌例5（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测））已知A、B两地相距120千米，甲、乙两人都要从A地前往B地，若甲用的时间比乙少1小时，且甲的速度是乙的倍，如果设乙的速度为，则可列方程_______． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙的速度为，则甲的速度为，根据“甲用的时间比乙少1小时”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意得： ．故答案为： ． 解题方法： 1.设未知数（通常设原计划速度）； 2.用含未知数的式子表示实际时间和原计划时间； 3.根据“实际时间比原计划少 小时”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 时间单位要统一（分钟化小时）； 检验既要验增根，又要验实际意义。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为：________． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可． 【详解】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 由题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程________． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时，根据时间路程速度，分别计算出原计划需要的时间，前半程的时间和后半程的时间，进而列出方程即可． 【详解】解：设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时， 由题意得，， 故答案为：． 题型 列分式方程（工程问题） ▌例6 （25-26七年级上·上海·期末）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是______． 【答案】/ 【知识点】分式方程的工程问题、分式化简求值 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出的表达式，进而计算给定分式的值． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙、丙合作所需天数为， 所以， 整理得， 于是， 因此， 同理，，， 所以， 给定表达式 ． 故答案为：． 解题方法 1.将工作总量设为 ； 2.甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ； 3.设合作需要 天，根据“工作效率之和 × 合作时间 = 1”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 工程问题中通常把总工作量设为“1”； 工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·期末）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为_______． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程． 【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是， 依题意，得：， 故答案为：． 题型 列分式方程（经济问题） ▌例7 （25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得，故答案为：． 解题方法 1.设乙种商品每件进价为 元，则甲种商品每件进价为 元； 2.根据“数量相同”列方程：； 3.解方程并检验。 解题贴士 经济问题中，数量 = 总价 ÷ 单价； 注意检验解是否符合实际意义。 ▌对点练7-1 咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ______ ． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． ▌对点练7-2（24-25七年级上·上海青浦·期中）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为_______元． 【答案】4000 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元，根据卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元列出方程求解即可． 【详解】解；设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴今年三月份甲种电脑每台售价为4000元， 故答案为：4000． 题型 列分式方程（和差倍分问题） ▌例8 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中表示的是_______． 【答案】篮球的数量 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， ， 表示的是篮球的数量， 故答案为：篮球的数量． 解题方法 1. 设这个数为 ； 2. 根据“差”、“和”、“倍”、“分”等关键词列出方程； 3. 解方程并检验。 解题贴士 抓住关键词，准确翻译成数学式子； 注意“多”、“少”、“是”、“等于”等词对应的运算。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有______克． 【答案】25 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 题型 列分式方程（其它实际问题） ▌例9 （25-26七年级上·上海·期末）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，根据实际平均每人制花数量比原定多15朵，列出分式方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，则原定全班平均每人制作朵红纸花．实际有10名同学因排练节目未参加，因此实际参加劳动的同学有人，平均每人制作朵． 根据题意，实际平均每人制花数量比原定全班平均每人数量多15朵，故可得方程 ． 故答案为：． 解题方法 1.设十位数字为 ，则个位数字为 ； 2.原两位数为 ，新两位数为 ； 3.根据“新数比原数大27”列方程； 4.解方程并检验。 解题贴士 数字问题中，两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字； 求出解后要检验是否符合数字的范围。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程_______________． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了列分式方程，理清各量之间的数量关系、找到两厂产品总数的等量关系是解决本题的关键． 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲厂的合格率是x，则乙厂的合格率为，甲厂的产品总数为，乙厂的产品总数为：， 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”可列出方程：． 故答案为：． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海普陀·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为______． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为列出方程求出，，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵 ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红锦村需要晚熟香桃树棵； 设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元， ∴预算总费用为 ， 实际购买晚熟香桃树的费用为 ， 实际购买高山脆李的费用为 实际总费用为， ∴， ∴，即 ∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 题型 阅读材料：把一个分式写成几个分式的和 ▌例10（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是__________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海金山·期中）已知关于的分式方程有增根，则________．解题方法 1.观察分母的因式，将复杂分式拆分成简单分式的和（或差）； 2.利用通分对比系数，或利用待定系数法求解； 3.注意拆分后的形式要与原式恒等。 解题贴士 拆分时先看分母能分解成哪些因式； 待定系数法：设 ，通分后对比系数。 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程增根的定义，将分式方程转化为整式方程后，再代入增根到整式方程求解参数即可． 【详解】解： 去分母，得， 整理得：， 代入到方程得，， 解得， 故答案为：． ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海·期末）我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查定义新运算，理解新运算，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 利用新运算将方程变形为，然后化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故填：． 基础通关 1．（24-25七年级上·上海·阶段检测）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）关于x的方程有增根，则__________． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程有增根可得或，则或，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 4.（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【答案】3或6 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】9 【知识点】分式方程无解问题 【分析】该题考查了分式方程无解问题，将分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程无解的条件，即解为增根（使分母为零），求解m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 化简得， 即． ∵原方程无解， ∴应为增根，即， ∴， 解得． 故答案为：9． 6．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的方程无解，那么_______． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的情况． 分式方程无解有两种情况：化简后的整式方程无解，或整式方程的解是增根（使分母为零），进而作答即可． 【详解】解：原方程为， 两边同乘得， 整理得 当即时，方程化为，无解； 当整式方程的解为时，代入得，解得，此时，是增根； 故或时原方程无解． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）分式方程的解是：______． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． 分式方程去分母转化为整式方程求解，需检验解是否使分母为零． 【详解】方程两边同乘， 得， 解得， 经检验是分式方程的解 所以，原方程的解为 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键． 【详解】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴， ∴， 故答案为： 9．（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或2或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期末）若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为______． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参，熟练掌握式解分式方程是解题的关键．注意分式有意义有条件． 解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数确定m的可能值，求它们的和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∵，即，解得， ∵，即，解得． 综上，且且m为非负整数， ∴， ， ∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3． 故答案为：3． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查分式方程的求解，解题关键是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后必须进行检验，排除增根的情况．解题步骤为：先对分母因式分解确定最简公分母，两边同乘最简公分母去掉分母，解所得的整式方程，最后将解代入最简公分母检验，若不为0则是原方程的解，否则为增根． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 展开并化简得， 解得； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·阶段测试）解分式方程． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的步骤是解题的关键．根据移项，去分母，展开得到，系数化为1，最后检验即可． 【详解】解：原方程可变为， 得， 即， ∴， 即， 解得， 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 14．（25-26七年级上·上海·期末）某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；；； (2) 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种茶叶每盒进价是200元，种茶叶每盒进价是280元． 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设种茶叶每盒进价是元，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍，由此列代数式即可求解； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种茶叶每盒进价是元，种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍， ∴种茶叶每盒进价是元， ∵茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒， ∴购入种茶叶盒，购入种茶叶盒， 故答案为：；；． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 16．（25-26七年级上·上海·期中）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 【答案】0.5万平方米 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 实际每天绿化的面积为， 答：实际每天绿化的面积为0.5万平方米． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）解关于的方程： 【答案】当，或时，方程无解；否则 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简分式方程，再根据分母的取值情况分析分式方程无解时的值即可求解． 【详解】解： ， ∵当，或时方程无解， ∴，或，时无解， 解得：，或， 综上可得：当，或时，方程无解；否则． 18．（25-26七年级上·上海·期中）某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【答案】千克 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题 【分析】设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得． 【详解】解：设乙队每天采茶千克，则， 方程两边同乘以，得， 化简得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：乙队每天采茶千克． 迁移创新 19．改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 20．某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？ 【答案】自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时. 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，根据甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果同时到达，即可列方程求解. 【详解】设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，由题意得 ， 解得x=16， 经检验x=16适合题意， 2.5x=40， 答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时. 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）（1）计算：             （2）解方程： 【答案】（1）；（2）x＝3 【知识点】异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）先通分，最简公分母为，再按照同分母分式的减法进行运算即可； （2）方程两边都乘以（x＋1）（x－1），去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝ （2）解：方程两边分别乘以（x＋1）（x－1）， 得x（x＋1）－2（x－1）＝x2－1， x2＋x－2x＋2＝x2－1， 解得x＝3 检验：当x＝3时，（x＋1）（x－1）≠0 ， ∴x＝3是原方程的根． 【点睛】本题考查的是分式的减法运算，分式方程的解法，会找最简公分母，熟悉去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 22.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法、分式方程无解问题 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $